Равномерная сходимость

Режим сходимости функциональной последовательности

Последовательность функций (fₙ) сходится равномерно к f, когда для любого малого ε существует индекс N такой, что график fₙ находится в ε-трубке вокруг f всякий раз, когда n ≥ N.

В математической области анализа равномерная сходимость — это режим сходимости функций, более сильный, чем поточечная сходимость , в том смысле, что сходимость является равномерной по всей области. Последовательность функций сходится равномерно к предельной функции на множестве в качестве области определения функции, если по любому сколь угодно малому положительному числу можно найти число такое, что каждая из функций отличается от не более чем в каждой точке из . Описывая неформально, если сходится к равномерно, то насколько быстро приближение функций является «равномерным» во всем в следующем смысле: чтобы гарантировать, что отличается от менее чем на выбранное расстояние , нам нужно только убедиться, что это больше больше или равно определенному , которое мы можем найти, не зная заранее значения . Другими словами, существует число , которое может зависеть от , но не зависит от него , так что выбор будет гарантировать это для всех . Напротив, поточечная сходимость к просто гарантирует, что для любого заданного заранее мы можем найти (т. е. можем зависеть от значений обоих и ) такое, что для этого конкретного попадает в пределы всякий раз (и другое может потребовать другого , больше , чтобы гарантировать это ). ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle N=N(\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle N=N(\epsilon ,x)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$

Разница между равномерной и поточечной сходимостью не была полностью осознана на ранних этапах истории исчисления, что приводило к случаям ошибочных рассуждений. Концепция, которая была впервые формализована Карлом Вейерштрассом , важна тем, что некоторые свойства функций , такие как непрерывность , интегрируемость по Риману и, при дополнительных гипотезах, дифференцируемость , передаются в предел , если сходимость равномерна, но не обязательно, если сходимость не является равномерной. ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

История

В 1821 году Огюстен-Луи Коши опубликовал доказательство того, что сходящаяся сумма непрерывных функций всегда непрерывна, чему Нильс Хенрик Абель в 1826 году нашел предполагаемые контрпримеры в контексте рядов Фурье , утверждая, что доказательство Коши должно быть неверным. В то время не существовало совершенно стандартных представлений о сходимости, и Коши решал проблему сходимости, используя методы бесконечно малых величин. Говоря современным языком, Коши доказал, что равномерно сходящаяся последовательность непрерывных функций имеет непрерывный предел. Неспособность просто поточечно сходящегося предела непрерывных функций сходиться к непрерывной функции иллюстрирует важность различия между различными типами сходимости при работе с последовательностями функций. ^[1]

Термин «равномерная сходимость», вероятно, впервые был использован Кристофом Гудерманом в статье 1838 года об эллиптических функциях , где он использовал фразу «сходимость равномерным образом», когда «способ сходимости» ряда не зависит от переменных и . Считая сходимость ряда таким образом «замечательным фактом», он не давал формального определения и не использовал это свойство ни в одном из своих доказательств. ^[2] ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x,\phi ,\psi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi .}$

Позже ученик Гудермана Карл Вейерштрасс , посещавший его курс эллиптических функций в 1839–1840 годах, ввёл термин gleichmäßig konvergent ( нем .: равномерно сходящийся ), который он использовал в своей статье 1841 года «Zur Theorie der Potenzreihen» , опубликованной в 1894 году. сформулировано Филиппом Людвигом фон Зейделем ^[3] и Джорджем Габриэлем Стоксом . Г.Х. Харди сравнивает три определения в своей статье «Сэр Джордж Стоукс и концепция равномерной сходимости» и отмечает: «Открытие Вейерштрасса было самым ранним, и только он один полностью осознал его далеко идущее значение как одной из фундаментальных идей анализа».

Под влиянием Вейерштрасса и Бернхарда Римана это понятие и связанные с ним вопросы интенсивно изучались в конце XIX века Германом Ханкелем , Полем дю Буа-Реймоном , Улиссом Дини , Чезаре Арзела и другими.

Определение

Сначала мы определяем равномерную сходимость для вещественнозначных функций , хотя эту концепцию легко обобщить на функции, отображающиеся в метрические пространства и, в более общем смысле, в равномерные пространства (см. ниже).

Пусть — множество , а — последовательность вещественных функций на нем. Мы говорим, что последовательность сходится равномерно с пределом, если для каждого существует натуральное число такое, что для всех и для всех ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \epsilon >0,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon .}$

Обозначение равномерной сходимости to не совсем стандартизировано, и разные авторы использовали различные символы, в том числе (примерно в порядке убывания популярности): ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f,\quad {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif\ lim} }}f_{n}=f,\quad f_{n}{\overset {\mathrm {unif.} }{\longrightarrow }}f,\quad f=\mathrm {u} \!\!-\!\!\!\lim _{n\to \infty }f_{n}.}$

Часто специальный символ не используется, а авторы просто пишут

${\displaystyle f_{n}\to f\quad \mathrm {uniformly} }$

чтобы указать, что сходимость является равномерной. (Напротив, выражение on без наречия означает поточечную сходимость на : для всех , как .) ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

Поскольку — полное метрическое пространство , критерий Коши можно использовать, чтобы дать эквивалентную альтернативную формулировку равномерной сходимости: сходится равномерно на (в предыдущем смысле) тогда и только тогда , когда для каждого существует натуральное число такое, что ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle x\in E,m,n\geq N\implies |f_{m}(x)-f_{n}(x)|<\epsilon }$.

В еще одной эквивалентной формулировке, если мы определим

${\displaystyle d_{n}=\sup _{x\in E}|f_{n}(x)-f(x)|,}$

то сходится к равномерно тогда и только тогда, когда as . Таким образом, мы можем охарактеризовать равномерную сходимость на как (простую) сходимость в функциональном пространстве относительно равномерной метрики (также называемой супремум- метрикой), определяемой формулой ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d_{n}\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{E}}$

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in E}|f(x)-g(x)|.}$

Символически,

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\iff d(f_{n},f)\to 0}$.

Последовательность называется локально равномерно сходящейся с пределом, если - метрическое пространство и для каждого существует такое , которое сходится равномерно на. Ясно, что равномерная сходимость влечет за собой локальную равномерную сходимость, из которой следует поточечная сходимость. ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle B(x,r)\cap E.}$

Примечания

Интуитивно понятно, что последовательность функций сходится равномерно к тому, если при сколь угодно малом , мы можем найти так, чтобы функции со всеми попадали в «трубу» ширины с центром вокруг (т. е. между и ) для всей области определения функции. ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle 2\epsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)-\epsilon }$ ${\displaystyle f(x)+\epsilon }$

Обратите внимание, что замена порядка кванторов в определении равномерной сходимости путем перемещения слов «для всех » перед словами «существует натуральное число » приводит к определению поточечной сходимости последовательности. Чтобы сделать это различие явным, в случае равномерной сходимости можно зависеть только от , и выбор должен работать для всех , для конкретного заданного значения . Напротив, в случае поточечной сходимости может зависеть как от , так и от , и выбор должен работать только для конкретных заданных значений и . Таким образом, равномерная сходимость подразумевает поточечную сходимость, однако обратное неверно, как иллюстрирует пример в разделе ниже. ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=N(\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle N=N(\epsilon ,x)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$

Обобщения

Эту концепцию можно напрямую распространить на функции E → M , где ( M , d ) — метрическое пространство , заменив на . ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|}$ ${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))}$

Наиболее общей постановкой является равномерная сходимость сетей функций E → X , где X — равномерное пространство . Мы говорим, что сеть сходится равномерно с пределом f  : E → X тогда и только тогда, когда для любого окружения V в X существует такое , что для каждого x в E и каждого находится в V. В этой ситуации равномерный предел непрерывных функций остается непрерывным. ${\displaystyle (f_{\alpha })}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \alpha \geq \alpha _{0}}$ ${\displaystyle (f_{\alpha }(x),f(x))}$

Определение в гиперреальной обстановке

Равномерная сходимость допускает упрощенное определение в гиперреальной среде. Таким образом , последовательность сходится к f равномерно, если для всех гипервещественных x в области и всех бесконечных n бесконечно близка к ( аналогичное определение равномерной непрерывности см. в разделе « Микронепрерывность »). Напротив, поточечная непрерывность требует этого только для вещественного x . ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f_{n}^{*}(x)}$ ${\displaystyle f^{*}(x)}$

Примеры

Для основной пример равномерной сходимости можно проиллюстрировать следующим образом: последовательность сходится равномерно, а не сходится. В частности, предположим . Каждая функция меньше или равна, когда , независимо от значения . С другой стороны, он меньше или равен только при постоянно возрастающих значениях, когда значения выбираются все ближе и ближе к 1 (подробнее объясняется ниже). ${\displaystyle x\in [0,1)}$ ${\displaystyle (1/2)^{x+n}}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle \epsilon =1/4}$ ${\displaystyle (1/2)^{x+n}}$ ${\displaystyle 1/4}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle 1/4}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

Учитывая топологическое пространство X , мы можем снабдить пространство ограниченных действительных или комплекснозначных функций над X топологией равномерной нормы с равномерной метрикой, определяемой формулой

${\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|.}$

Тогда равномерная сходимость просто означает сходимость в топологии с равномерной нормой :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0}$.

Последовательность функций ${\displaystyle (f_{n})}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [0,1]\\f_{n}(x)=x^{n}\end{cases}}}$

является классическим примером последовательности функций, которая сходится к функции поточечно, но не равномерно. Чтобы показать это, мы сначала заметим, что поточечный предел as является функцией , заданной формулой ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\begin{cases}0,&x\in [0,1);\\1,&x=1.\end{cases}}}$

Поточечная сходимость: Сходимость тривиальна для и , поскольку и , для всех . Для и учитывая , мы можем гарантировать, что всякий раз , выбирая , который является минимальным целым показателем степени , который позволяет ему достичь или опуститься ниже (здесь верхние квадратные скобки указывают на округление вверх, см. функцию потолка ). Следовательно, точечно для всех . Обратите внимание, что выбор зависит от значения и . Более того, при фиксированном выборе , (которое нельзя определить как меньшее) неограниченно растет при приближении к 1. Эти наблюдения исключают возможность равномерной сходимости. ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle f_{n}(0)=f(0)=0}$ ${\displaystyle f_{n}(1)=f(1)=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x\in (0,1)}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle N=\lceil \log \epsilon /\log x\rceil }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$

Неравномерность сходимости: Сходимость не является равномерной, потому что мы можем найти такое , что независимо от того, насколько большим мы выберем, будут значения и такие, что Чтобы увидеть это, сначала заметим, что независимо от того, насколько большим становится, всегда существует такое, что Таким образом, если мы выберем, мы никогда не сможем найти такое, что для всех и . Явно, какой бы кандидат мы ни выбрали для , учитывайте значение at . С ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\geq \epsilon .}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$ ${\displaystyle f_{n}(x_{0})=1/2.}$ ${\displaystyle \epsilon =1/4,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{N}}$ ${\displaystyle x_{0}=(1/2)^{1/N}}$

${\displaystyle \left|f_{N}(x_{0})-f(x_{0})\right|=\left|\left[\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{N}}\right]^{N}-0\right|={\frac {1}{2}}>{\frac {1}{4}}=\epsilon ,}$

кандидат терпит неудачу, потому что мы нашли пример , который «ускользнул» от нашей попытки «ограничить» каждого рамками для всех . На самом деле, это легко увидеть ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle f_{n}\ (n\geq N)}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=1,}$

вопреки требованию, что если . ${\displaystyle \|f_{n}-f\|_{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$

На этом примере легко увидеть, что поточечная сходимость не сохраняет дифференцируемости и непрерывности. Хотя каждая функция последовательности является гладкой, то есть для всех n предел даже не является непрерывным. ${\displaystyle f_{n}\in C^{\infty }([0,1])}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}}$

Экспоненциальная функция

С помощью M-теста Вейерштрасса можно показать, что разложение показательной функции в ряд равномерно сходится на любом ограниченном подмножестве . ${\displaystyle S\subset \mathbb {C} }$

Теорема (М-критерий Вейерштрасса). Пусть – последовательность функций и пусть – последовательность положительных действительных чисел такая, что для всех и Если сходится, то сходится абсолютно и равномерно на . ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ ${\textstyle \sum _{n}M_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n}f_{n}}$ ${\displaystyle E}$

Комплексную показательную функцию можно выразить в виде ряда:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Любое ограниченное подмножество является подмножеством некоторого круга радиуса с центром в начале координат в комплексной плоскости . М-критерий Вейерштрасса требует от нас найти верхнюю границу членов ряда независимо от положения на диске: ${\displaystyle D_{R}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle M_{n}}$

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq M_{n},\forall z\in D_{R}.}$

Для этого замечаем

${\displaystyle \left|{\frac {z^{n}}{n!}}\right|\leq {\frac {|z|^{n}}{n!}}\leq {\frac {R^{n}}{n!}}}$

и возьми ${\displaystyle M_{n}={\tfrac {R^{n}}{n!}}.}$

Если сходится, то M-тест утверждает, что исходный ряд сходится равномерно. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}}$

Здесь можно использовать тест соотношения :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {M_{n+1}}{M_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R^{n+1}}{R^{n}}}{\frac {n!}{(n+1)!}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {R}{n+1}}=0}$

что означает, что ряд сходится . Таким образом, исходный ряд сходится равномерно для всех и, поскольку , ряд сходится равномерно и на ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle z\in D_{R},}$ ${\displaystyle S\subset D_{R}}$ ${\displaystyle S.}$

Характеристики

• Любая равномерно сходящаяся последовательность сходится локально равномерно.
• Любая локально равномерно сходящаяся последовательность компактно сходящаяся .
• Для локально компактных пространств локальная равномерная сходимость и компактная сходимость совпадают.
• Последовательность непрерывных функций на метрических пространствах с полным образом метрического пространства сходится равномерно тогда и только тогда, когда она равномерно Коши .
• Если это компактный интервал (или, вообще говоря, компактное топологическое пространство) и монотонно возрастающая последовательность (то есть для всех n и x ) непрерывных функций с поточечным пределом , который также является непрерывным, то сходимость обязательно равномерная ( теорема Дини ). Равномерная сходимость также гарантируется, если – компактный интервал и равнонепрерывная последовательность, сходящаяся поточечно. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (f_{n})}$

Приложения

Чтобы преемственность

Контрпример к усилению теоремы о равномерной сходимости, в которой предполагается поточечная, а не равномерная сходимость. Непрерывные зеленые функции сходятся к прерывистой красной функции. Это может произойти только в том случае, если сходимость не является равномерной. ${\displaystyle \sin ^{n}(x)}$

Если и — топологические пространства , то имеет смысл говорить о непрерывности функций . Если мы далее предположим, что — метрическое пространство , то (равномерная) сходимость к также корректно определена. Следующий результат утверждает, что непрерывность сохраняется при равномерной сходимости: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f_{n},f:E\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$

Равномерная предельная теорема  .  Предположим , что это топологическое пространство, метрическое пространство и последовательность непрерывных функций . Если на , то также непрерывно. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle f_{n}:E\to M}$ ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f}$

Эта теорема доказывается с помощью « трюка ε/3 » и является архетипическим примером этого трюка: для доказательства заданного неравенства ( ε ) используются определения непрерывности и равномерной сходимости, чтобы получить 3 неравенства ( ε/3 ), а затем объединяет их с помощью неравенства треугольника , чтобы получить желаемое неравенство.

Эта теорема является важной в истории вещественного анализа и анализа Фурье, поскольку многие математики XVIII века интуитивно понимали, что последовательность непрерывных функций всегда сходится к непрерывной функции. На изображении выше показан контрпример, и многие разрывные функции фактически могут быть записаны как ряды Фурье непрерывных функций. Ошибочное утверждение о том, что поточечный предел последовательности непрерывных функций непрерывен (первоначально сформулированное в терминах сходящихся рядов непрерывных функций), печально известно как «неправильная теорема Коши». Равномерная предельная теорема показывает, что для обеспечения сохранения непрерывности предельной функции необходима более сильная форма сходимости, равномерная сходимость.

Точнее, эта теорема утверждает, что равномерный предел равномерно непрерывных функций равномерно непрерывен; для локально компактного пространства непрерывность эквивалентна локальной равномерной непрерывности, и, следовательно, равномерный предел непрерывных функций непрерывен.

К дифференцируемости

Если - интервал и все функции дифференцируемы и сходятся к пределу , часто желательно определить производную функцию , взяв предел последовательности . Однако это, вообще говоря, невозможно: даже если сходимость равномерна, предельная функция не обязательно должна быть дифференцируемой (даже если последовательность состоит из всюду аналитических функций, см. функцию Вейерштрасса ), и даже если она дифференцируема, производная предельная функция не обязательно должна быть равна пределу производных. Рассмотрим, например , единый предел . Ясно, что также тождественно ноль. Однако производные последовательности функций имеют вид , и последовательность не сходится или вообще не сходится ни к какой функции. Для того чтобы обеспечить связь предела последовательности дифференцируемых функций с пределом последовательности производных, необходима равномерная сходимость последовательности производных плюс сходимость последовательности функций хотя бы в одной точке: [4 ^{] ]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}(x)=n^{-1/2}{\sin(nx)}}$ ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\equiv 0}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'_{n}(x)=n^{1/2}\cos nx,}$ ${\displaystyle f'_{n}}$ ${\displaystyle f',}$

Если - последовательность дифференцируемых функций на такой, которая существует (и конечна) для некоторых и последовательность сходится равномерно на , то сходится равномерно к функции на , и для . ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$ ${\displaystyle (f'_{n})}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f'(x)=\lim _{n\to \infty }f'_{n}(x)}$ ${\displaystyle x\in [a,b]}$

К интегрируемости

Точно так же часто хочется поменять местами интегралы и ограничить процессы. Для интеграла Римана это можно сделать, если предположить равномерную сходимость:

Если это последовательность функций, интегрируемых по Риману, определенных на компактном интервале , которые равномерно сходятся с пределом , то она интегрируема по Риману, и ее интеграл можно вычислить как предел интегралов от : ${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}}$

$${\displaystyle \int _{I}f=\lim _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}.}$$

Действительно, для равномерно сходящегося семейства ограниченных функций на интервале верхний и нижний интегралы Римана сходятся к верхнему и нижнему интегралам Римана предельной функции. Это следует из того, что для достаточно большого n график находится в пределах ε от графика f , и поэтому верхняя сумма и нижняя сумма находятся в пределах значения верхней и нижней сумм соответственно. ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon |I|}$ ${\displaystyle f}$

Гораздо более сильные теоремы в этом отношении, требующие не более чем поточечной сходимости, можно получить, если отказаться от интеграла Римана и использовать вместо него интеграл Лебега .

К аналитичности

Используя теорему Мореры , можно показать, что если последовательность аналитических функций сходится равномерно в области S комплексной плоскости, то предел является аналитическим в S. Этот пример демонстрирует, что комплексные функции ведут себя более хорошо, чем действительные функции, поскольку равномерный предел аналитических функций на вещественном интервале даже не обязательно должен быть дифференцируемым (см. функцию Вейерштрасса ).

В серию

Мы говорим, что сходится: ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$

1. поточечно на E тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм сходится для каждого . ${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(x)}$ ${\displaystyle x\in E}$
2. равномерно на E тогда и только тогда, когда _sn сходится равномерно при . ${\displaystyle n\to \infty }$
3. абсолютно на E тогда и только тогда, когда сходится для каждого . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|f_{n}|}$ ${\displaystyle x\in E}$

Это определение дает следующий результат:

Пусть x ₀ содержится в множестве E и каждая f _n непрерывна в точке x ₀ . Если сходится равномерно на E , то f непрерывен в _точке x0 в E. Предположим, что и каждая f _n интегрируема на E . Если сходится равномерно на E _, то f интегрируемо на E и ряд интегралов от fn равен интегралу ряда от _fn . ${\textstyle f=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ ${\displaystyle E=[a,b]}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$

Почти равномерная сходимость

Если областью определения функций является пространство с мерой E , то можно определить связанное с этим понятие почти равномерной сходимости . Мы говорим, что последовательность функций сходится почти равномерно на E , если для каждого существует измеримое множество с мерой меньше такой, что последовательность функций сходится равномерно на . Другими словами, почти равномерная сходимость означает, что существуют множества сколь угодно малой меры, для которых последовательность функций сходится равномерно на своем дополнении. ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle E_{\delta }}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (f_{n})}$ ${\displaystyle E\setminus E_{\delta }}$

Заметим, что почти равномерная сходимость последовательности не означает, что она сходится равномерно почти всюду , как следует из названия. Однако теорема Егорова гарантирует, что на конечном пространстве с мерой последовательность функций, сходящаяся почти всюду, также сходится почти равномерно на одном и том же множестве.

Почти равномерная сходимость предполагает сходимость почти всюду и сходимость по мере .

Смотрите также

• Равномерная сходимость по вероятности
• Способы конвергенции (аннотированный указатель)
• Теорема Дини
• Теорема Арсела – Асколи

Примечания

1. Соренсен, Хенрик Краг (2005). «Исключения и контрпримеры: понимание комментария Абеля к теореме Коши». История Математики . 32 (4): 453–480. дои : 10.1016/j.hm.2004.11.010.
2. Янке, Ханс Нильс (2003). «6.7 Основы анализа в XIX веке: Вейерштрасс». История анализа . Книжный магазин АМС. п. 184. ИСБН 978-0-8218-2623-2.
3. Лакатос, Имре (1976). Доказательства и опровержения . Издательство Кембриджского университета. стр. 141. ISBN. 978-0-521-21078-2.
4. Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа, 3-е издание, Теорема 7.17. МакГроу-Хилл: Нью-Йорк.

Рекомендации

• Конрад Кнопп , Теория и применение бесконечных рядов ; Блэки и сын, Лондон, 1954 г., переиздано Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2 . 
• Г.Х. Харди , сэр Джордж Стоукс и концепция равномерной конвергенции ; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 19 , стр. 148–156 (1918).
• Бурбаки ; Элементы математики: Общая топология. Главы 5–10 (мягкая обложка) ; ISBN 0-387-19374-X 
• Уолтер Рудин , Принципы математического анализа , 3-е изд., McGraw – Hill, 1976.
• Джеральд Фолланд , Реальный анализ: современные методы и их применение, второе издание, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0 . 
• Уильям Уэйд, Введение в анализ , 3-е изд., Pearson, 2005 г.

Внешние ссылки

• «Равномерная сходимость», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Графические примеры равномерной сходимости рядов Фурье от Университета Колорадо.