Равномерная ограниченность

В математике равномерно ограниченное семейство функций — это семейство ограниченных функций , которые могут быть ограничены одной и той же константой. Эта константа больше или равна абсолютному значению любого значения любой из функций в семействе.

Определение

Действительная прямая и комплексная плоскость

Позволять

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to K,i\in I\}}$

быть семейством функций, индексированных , где - произвольный набор и - набор действительных или комплексных чисел . Мы называем равномерно ограниченным, если существует действительное число такое, что ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle |f_{i}(x)|\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.}$

Метрическое пространство

В общем случае пусть будет метрическим пространством с метрикой , тогда множество ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to Y,i\in I\}}$

называется равномерно ограниченным , если существует элемент из и действительное число такое, что ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d(f_{i}(x),a)\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X.}$

Примеры

• Всякая равномерно сходящаяся последовательность ограниченных функций равномерно ограничена.
• Семейство функций, определенных для действительных чисел с перемещением по целым числам , равномерно ограничено 1. ${\displaystyle f_{n}(x)=\sin nx}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$
• Семейство производных указанного выше семейства не является равномерно ограниченным. Каждое ограничено , но не существует действительного числа такого, что для всех целых чисел ${\displaystyle f'_{n}(x)=n\,\cos nx,}$ ${\displaystyle f'_{n}}$ ${\displaystyle |n|,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle |n|\leq M}$ ${\displaystyle n.}$

Ссылки

• Ma, Tsoy-Wo (2002). Банахово-Гильбертово пространство, векторные меры, групповые представления . World Scientific. стр. 620 стр. ISBN 981-238-038-8.