Равноугольная карта

В дифференциальной геометрии эквиплощадное отображение , иногда называемое аутентичным отображением , представляет собой гладкое отображение одной поверхности на другую, сохраняющее площади фигур.

Характеристики

Если M и N — две римановы (или псевдоримановы ) поверхности, то равноплощадное отображение f из M в N может быть охарактеризовано любым из следующих эквивалентных условий:

Площадь поверхности f ( U ) равна площади U для любого открытого множества U на M.
Откат элемента площади µ N на N равен µ _M , элемента площади на _M .
В каждой точке p из M и касательных векторах v и w к M в точке p ,

${\bigl |}df_{p}(v)\wedge df_{p}(w){\bigr |}=|v\wedge w|\,$

где обозначает евклидово клиновое произведение векторов, а df обозначает движение вперед вдоль f . ${\ textstyle \ клин }$

Пример

Примером равноплощадной карты, предложенной Архимедом Сиракузским , является проекция единичной сферы x ² + y ² + z ² = 1 на единичный цилиндр x ² + y ² = 1 наружу от их общей оси. Явная формула

f(x,y,z)=\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt { x^{2}+y^{2}}}},z\вправо)

для ( x , y , z ) точки на единичной сфере.

Линейные преобразования

Любая евклидова изометрия евклидовой плоскости эквиареальна, но обратное неверно. Фактически, карты сдвига и отображения сжатия являются контрпримерами обратного.

Отображение сдвига преобразует прямоугольник в параллелограмм той же площади. Записанное в матричной форме отображение сдвига вдоль оси $x$ имеет вид

{\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\, {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix}x+vy\\y \end{pmatrix}}.

Отображение сжатия удлиняет и сжимает стороны прямоугольника обратным образом, так что область сохраняется. Записанное в матричной форме, при λ > 1 сжатие имеет вид

{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&1/\lambda \end{pmatrix}}\, {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ лямбда x\\y/\lambda .\end{pmatrix}}

Линейное преобразование умножает площади на $абсолютное$ значение определителя | $объявление$ $-$ $до н.э.$ $|$ . ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

Метод исключения Гаусса показывает, что каждое равноплощадное линейное преобразование ( включая вращения ) можно получить, сложив не более двух сдвигов вдоль осей, сжатия и (если определитель отрицательный) отражения .

В картографических проекциях

В контексте географических карт картографическая проекция называется равновеликой , эквивалентной , аутентичной , равноплощадной или сохраняющей площадь , если площади сохраняются с точностью до постоянного коэффициента; встраивая целевую карту, обычно считающуюся подмножеством R ² , очевидным образом в R ³ , приведенное выше требование ослабляется до:

|df_{p}(v)\times df_{p}(w)|=\kappa |v\times w|

для некоторого κ > 0, не зависящего от и . Примеры таких проекций см. в разделе Равновеликая картографическая проекция . $v$ $ш$

Смотрите также