Радиан

Производная единица угла СИ

Радиан , обозначаемый символом рад , является единицей измерения угла в Международной системе единиц (СИ) и стандартной единицей измерения угла, используемой во многих областях математики . Он определяется так, что один радиан — это угол, опирающийся в центре круга на дугу, длина которой равна радиусу. ^[2] Раньше эта единица была дополнительной единицей СИ , а в настоящее время является безразмерной производной единицей СИ , ^[2] определяемой в СИ как 1 рад = 1 ^[3] и выражаемой через базовую единицу СИ метр (м) как рад = м/м . ^[4] Обычно считается, что углы без явно указанных единиц измерения измеряются в радианах, особенно в математических трудах. ^[5]

Определение

Один радиан определяется как угол, образуемый из центра круга и образующий дугу, длина которой равна радиусу круга. ^[6] В более общем смысле, величина стянутого угла в радианах равна отношению длины дуги к радиусу круга; то есть , где θ — стянутый угол в радианах, s — длина дуги, а r — радиус. Прямой угол равен ровно радианам. ^[7] ${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

Угол поворота (360°), соответствующий одному полному обороту, равен длине окружности, делённой на радиус, который равен , или 2 π . Таким образом, 2 π  радиан равны 360 градусам. ${\displaystyle {\frac {2\pi r}{r}}}$

Соотношение 2 π рад = 360° можно получить по формуле для длины дуги , . Поскольку радиан является мерой угла, опирающегося на дугу длиной, равной радиусу окружности, . Это можно еще упростить до . Умножив обе части на 360° , получим 360° = 2 π рад . ${\textstyle \ell _{\text{arc}}=2\pi r\left({\tfrac {\theta }{360^{\circ }}}\right)}$ ${\textstyle 1=2\pi \left({\tfrac {1{\text{ rad}}}{360^{\circ }}}\right)}$ ${\textstyle 1={\tfrac {2\pi {\text{ rad}}}{360^{\circ }}}}$

Символ единицы

Международное бюро мер и весов ^[7] и Международная организация по стандартизации ^[8] определяют радиан как символ. Альтернативные символы, которые использовались в 1909 году, - это ^c (надстрочная буква c для «круговой меры»), буква r или верхний индекс ^R , ^[1] , но эти варианты используются нечасто, так как их можно ошибочно принять за степень . символ (°) или радиус (r). Следовательно, угол в 1,2 радиана сегодня будет записываться как 1,2 рад; архаичные обозначения могли включать 1,2 r, 1,2 рад ^, 1,2 ^c или 1,2 ^R.

В математических произведениях символ «рад» часто опускается. При количественном определении угла при отсутствии какого-либо символа принимаются радианы, а когда имеются в виду градусы, используется знак градуса ° .

Размерный анализ

Плоский угол можно определить как θ = s / r , где θ — стянутый угол в радианах, s — длина дуги, а r — радиус. Один радиан соответствует углу, для которого s = r , следовательно, 1 радиан = 1 м/м . ^[9] Однако рад следует использовать только для выражения углов, а не для выражения отношений длин в целом. ^[7] Аналогичный расчет с использованием площади кругового сектора θ = 2 A / r ² дает 1 радиан как 1 м ² /м ² . ^[10] Ключевым фактом является то, что радиан — это безразмерная единица, равная 1 . В СИ 2019 года радиан определяется соответственно как 1 рад = 1 . ^[11] Использование рад = 1 является давней практикой в ​​математике и во всех областях науки . ^{[4] [12]}

Джакомо Прандо пишет, что «текущее положение дел неизбежно приводит к призрачным появлениям и исчезновениям радиана в размерном анализе физических уравнений». ^[13] Например, объект, подвешенный на веревке на шкиве, поднимется или опустится на y = rθ сантиметров, где r — радиус шкива в сантиметрах, а θ — угол поворота шкива в радианах. При умножении r на θ из результата исчезает единица радиан. Аналогично в формуле для угловой скорости катящегося колеса ω = v / r радианы появляются в единицах ω , но не в правой части. ^[14] Энтони Френч называет это явление «вечной проблемой преподавания механики». ^[15] Оберхофер говорит, что типичный совет игнорировать радианы во время анализа размерностей и добавлять или удалять радианы в единицах в соответствии с соглашением и контекстуальными знаниями «педагогически неудовлетворителен». ^[16]

В 1993 году Метрический комитет Американской ассоциации учителей физики уточнил, что радиан должен явно указываться в количествах только в том случае, если при использовании других угловых мер будут получены разные числовые значения, например, в величинах угловой меры (рад), угловой скорости (рад). /с), угловое ускорение (рад/с ² ) и крутильную жесткость (Н⋅м/рад), а не в величинах крутящего момента (Н⋅м) и углового момента (кг⋅м ² /с). ^[17]

По крайней мере дюжина ученых в период с 1936 по 2022 год внесли предложения рассматривать радиан как базовую единицу измерения базовой величины (и измерения) «плоского угла». ^{[18] [19] [20]} Обзор предложений Куинси выделяет два класса предложений. Первый вариант меняет единицу измерения радиуса на метры на радиан, но это несовместимо с анализом размеров площади круга π r ² . Другой вариант — ввести размерную константу. По словам Куинси, этот подход «логически строг» по сравнению с SI, но требует «модификации многих знакомых математических и физических уравнений». ^[21] Размерная константа для угла является «довольно странной», и сложность изменения уравнений для добавления размерной константы, вероятно, помешает широкому использованию. ^[20]

В частности, Куинси идентифицирует предложение Торренса ввести константу η , равную 1 обратному радиану (1 рад ^-1 ), аналогично введению константы ε ₀ . ^{[21] [a]} С этим изменением формула для угла, образуемого в центре круга, s = rθ , изменяется и становится s = ηrθ , а ряд Тейлора для синуса угла θ становится: ^{[20] [22]}

$${\displaystyle \operatorname {Sin} \theta =\sin _{\text{rad}}x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\eta \theta -{\frac {(\eta \theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(\eta \theta )^{5}}{5!}}-{\frac {(\eta \theta )^{7}}{7!}}+\cdots ,}$$

Sin,^[22]sin _radчистых чисел^{[23][20] [24]} ${\displaystyle x=\eta \theta =\theta /{\text{rad}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sin} }$ ${\displaystyle \sin }$

Текущую систему SI можно рассматривать относительно этой системы как естественную систему единиц , в которой предполагается, что выполняется уравнение η = 1 , или, аналогично, 1 рад = 1 . Это соглашение о радианах позволяет опускать η в математических формулах. ^[25]

Определение радиана как базовой единицы может быть полезно для программного обеспечения, где недостаток более длинных уравнений минимален. ^[26] Например, библиотека единиц измерения Boost определяет угловые единицы с plane_angleразмером, ^[27] и система единиц Mathematica аналогичным образом считает, что углы имеют угловое измерение. ^{[28] [29]}

Конверсии

Между градусами

Как уже говорилось, один радиан равен . Таким образом, чтобы перевести радианы в градусы, необходимо умножить на . ${\displaystyle {180^{\circ }}/{\pi }}$ ${\displaystyle {180^{\circ }}/{\pi }}$

${\displaystyle {\text{angle in degrees}}={\text{angle in radians}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}}$

Например:

${\displaystyle 1{\text{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.2958^{\circ }}$

${\displaystyle 2.5{\text{ rad}}=2.5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143.2394^{\circ }}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}{\text{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }}$

И наоборот, чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте на . ${\displaystyle {\pi }/{180^{\circ }}}$

${\displaystyle {\text{angle in radians}}={\text{angle in degrees}}\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}}$

Например:

${\displaystyle 1^{\circ }=1^{\circ }\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0.0175{\text{ rad}}}$

${\displaystyle 23^{\circ }=23^{\circ }\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0.4014{\text{ rad}}}$

Радианы можно преобразовать в обороты (один оборот — это угол, соответствующий обороту), разделив количество радиан на 2 π .

Между градианами

${\displaystyle 2\pi }$радианы равны одному обороту , что по определению составляет 400 градиан (400 гонов или 400 ^г ). Чтобы преобразовать радианы в градины, умножьте на , а для перевода из градианов в радианы умножьте на . Например, ${\displaystyle 200^{\text{g}}/\pi }$ ${\displaystyle \pi /200^{\text{g}}}$

${\displaystyle 1.2{\text{ rad}}=1.2\cdot {\frac {200^{\text{g}}}{\pi }}\approx 76.3944^{\text{g}}}$

${\displaystyle 50^{\text{g}}=50^{\text{g}}\cdot {\frac {\pi }{200^{\text{g}}}}\approx 0.7854{\text{ rad}}}$

Применение

Математика

Некоторые распространенные углы, измеряемые в радианах. Все большие многоугольники на этой диаграмме являются правильными многоугольниками .

В исчислении и большинстве других разделов математики, помимо практической геометрии , углы измеряются в радианах. Это связано с тем, что радианы обладают математической естественностью, которая приводит к более элегантной формулировке некоторых важных результатов.

Результаты анализа с использованием тригонометрических функций можно элегантно изложить, если аргументы функций выражены в радианах. Например, использование радианов приводит к простой формуле предела

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1,}$

что лежит в основе многих других тождеств в математике, в том числе

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x=-\sin x.}$

Благодаря этим и другим свойствам тригонометрические функции появляются при решениях математических задач, не связанных явно с геометрическим смыслом функций (например, решения дифференциального уравнения , вычисление интеграла и т. д.). Во всех таких случаях обнаруживается, что аргументы функций наиболее естественно записываются в форме, которая в геометрическом контексте соответствует радианному измерению углов. ${\displaystyle {\tfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-y}$ ${\displaystyle \textstyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}},}$

Тригонометрические функции также имеют простое и элегантное разложение в ряд при использовании радианов. Например, если x выражен в радианах, ряд Тейлора для sin  x принимает вид:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

Если бы x было выражено в градусах, то ряд содержал бы беспорядочные множители, включающие степени π /180: если x — количество градусов, то число радиан равно y = π x /180 , поэтому

${\displaystyle \sin x_{\mathrm {deg} }=\sin y_{\mathrm {rad} }={\frac {\pi }{180}}x-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{3}\ {\frac {x^{3}}{3!}}+\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{5}\ {\frac {x^{5}}{5!}}-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{7}\ {\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

Подобным же образом математически важные отношения между функциями синуса и косинуса и экспоненциальной функцией (см., например, формулу Эйлера ) могут быть элегантно сформулированы, когда аргументы функций выражаются в радианах (и в противном случае это беспорядочно).

Физика

Радиан широко используется в физике , когда требуются угловые измерения. Например, угловая скорость обычно выражается в единицах радиан в секунду (рад/с). Один оборот в секунду соответствует 2 π радиан в секунду.

Аналогичным образом, единицей измерения углового ускорения часто является радиан в секунду в секунду (рад/с ² ).

Для анализа размеров единицами угловой скорости и углового ускорения являются с ^-1 и с ^-2 соответственно.

Аналогично, разность фаз двух волн также может быть выражена с использованием радиана в качестве единицы измерения. Например, если разность фаз двух волн равна ( n ⋅2 π ) радиан, где n является целым числом, они считаются синфазными , а если разность фаз двух волн равна ( n ⋅2 π + π ) с n целое число, они считаются находящимися в противофазе.

Обратные радианы или обратные радианы (рад ^-1 ) используются в производных единицах, таких как метры на радиан (для угловой длины волны ) или джоуль на радиан (эквивалент ньютон-метра ).

Префиксы и варианты

Метрические префиксы для дольных дробей используются с радианами. Миллирадиан (мрад) — это тысячная доля радиана (0,001 рад), т.е. ¹ рад = 10 3 мрад . В окружности 2 π × 1000 миллирадиан (≈ 6283,185 мрад). Итак, миллирадиан чуть меньше1/6283угла, образуемого полной окружностью. Эта единица измерения угла окружности широко используется производителями оптических прицелов , использующих (стадиометрическую) дальномерную сетку . Расходимость лазерных лучей также обычно измеряется в миллирадианах.

Угловой мил является приближением к миллирадиану, используемому НАТО и другими военными организациями при стрельбе и прицеливании . Каждый угловой мил представляет1/6400круга и является15/8% или на 1,875% меньше миллирадиана. Для небольших углов, обычно встречающихся при наведении на цель, удобство использования числа 6400 в расчетах перевешивает небольшие математические ошибки, которые оно вносит. В прошлом другие артиллерийские системы использовали различные приближения к цели.1/2000 π; например, Швеция использовала1/6300 стрэк и СССР использовали1/6000. Основанный на миллирадианах, мил НАТО составляет примерно 1 м на расстоянии 1000 м (при таких малых углах кривизна незначительна).

Префиксы размером меньше милли- полезны при измерении очень малых углов. Микрорадианы (мкрад,10-6 ^рад ) и  нанорадиан (нрад,10 ⁻⁹  рад ) используются в астрономии, а также могут использоваться для измерения качества луча лазеров со сверхмалой расходимостью. Более распространенным является угловая секунда , котораяπ/648 000 рад (около 4,8481 микрорадиан).

История

До 20 века

Идея измерения углов по длине дуги использовалась математиками довольно рано. Например, аль-Каши (ок. 1400 г.) в качестве единиц использовал так называемые части диаметра , где одна часть диаметра составляла1/60радиан. Они также использовали шестидесятеричные единицы диаметральной части. ^[30] Ньютон в 1672 году говорил об «угловой величине кругового движения тела», но использовал ее только как относительную меру для разработки астрономического алгоритма. ^[31]

Понятие радианной меры обычно приписывают Роджеру Коутсу , который умер в 1716 году. К 1722 году его двоюродный брат Роберт Смит собрал и опубликовал математические сочинения Коутса в книге Harmonia mensurarum . ^[32] В главе редакционных комментариев Смит привел, вероятно, первое опубликованное вычисление одного радиана в градусах, цитируя не сохранившуюся заметку Котеса. Смит описал радиан во всем, кроме названия – «Теперь это число равно 180 градусам как радиус круга к полуокружности , это как 1 к 3,141592653589» – и признал его естественность как единицу угловой меры. ^{[33] [34]}

В 1765 году Леонард Эйлер неявно принял радиан за единицу угла. ^[31] В частности, Эйлер определил угловую скорость как «Угловая скорость во вращательном движении — это скорость той точки, расстояние которой от оси вращения выражается единицей». ^[35] Эйлер, вероятно, был первым, кто принял это соглашение, называемое соглашением о радианах, которое дает простую формулу для угловой скорости ω = v / r . Как обсуждалось в § Анализ размерностей , соглашение о радианах получило широкое распространение, а другие соглашения имеют тот недостаток, что требуют размерной константы, например ω = v /( ηr ) . ^[25]

До того, как термин «радиан» получил широкое распространение, единицу измерения обычно называли круговой мерой угла. ^[36] Термин радиан впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных вопросах, заданных Джеймсом Томсоном (братом лорда Кельвина ) в Королевском колледже в Белфасте . Он использовал этот термин еще в 1871 году, в то время как в 1869 году Томас Мьюир , тогда работавший в Сент-Эндрюсском университете , колебался между терминами «рад» , «радиал » и «радиан» . В 1874 году, после консультации с Джеймсом Томсоном, Мьюир принял радиан . ^{[37] [38] [39]} Название радиан не было общепринятым в течение некоторого времени после этого. Тригонометрия школы Лонгмана, опубликованная в 1890 году, до сих пор называлась радианом круговой меры ^{. [40]}

В 1893 году Александр Макфарлейн писал: «Истинным аналитическим аргументом в пользу круговых отношений является не отношение дуги к радиусу, а отношение удвоенной площади сектора к квадрату радиуса». ^[41] По какой-то причине статья была изъята из опубликованных протоколов математического конгресса, состоявшегося в связи со Всемирной Колумбийской выставкой в ​​Чикаго (подтверждено на стр. 167), и опубликована в частном порядке в его статьях по космическому анализу (1894). Макфарлейн пришел к этой идее соотношения площадей, рассматривая основу для гиперболического угла , который определяется аналогичным образом. ^[42]

Как единица СИ

Как Пол Куинси и др. пишет, «статус углов в Международной системе единиц (СИ) уже давно является источником споров и путаницы». ^[43] В 1960 году CGPM установила систему СИ, а радиан был классифицирован как «дополнительная единица» наряду со стерадианом . Этот специальный класс официально рассматривался «либо как базовая единица, либо как производная единица», поскольку CGPM не могла принять решение о том, является ли радиан базовой единицей или производной единицей. ^[44] Ричард Нельсон пишет: «Эта двусмысленность [в классификации дополнительных единиц] вызвала оживленную дискуссию по поводу их правильной интерпретации». ^[45] В мае 1980 года Консультативный комитет по единицам измерения (CCU) рассмотрел предложение сделать радианы базовой единицей СИ с использованием постоянной α ₀ = 1 рад , ^{[46] [25]} , но отклонил его, чтобы избежать изменений в нынешней системе единиц. упражняться. ^[25]

В октябре 1980 года ГКМВ решила, что дополнительные единицы — это безразмерные производные единицы, для которых ГКМВ допускала свободу использовать или не использовать их в выражениях для производных единиц СИ [ ^45] на том основании, что «[не существует формализма], который бы в то же время последовательными и удобными, и в которых величины плоского угла и телесного угла можно рассматривать как основные величины» и что «[возможность рассматривать радиан и стерадиан как основные единицы СИ] ставит под угрозу внутреннюю согласованность СИ, основанной только на семь базовых единиц». ^[47] В 1995 году ГКМВ исключила класс дополнительных единиц и определила радиан и стерадиан как «безразмерные производные единицы, названия и символы которых могут, но не обязательно, использоваться в выражениях для других производных единиц СИ, как это удобный". ^[48] ​​Михаил Калинин в 2019 году раскритиковал решение CGPM 1980 года как «необоснованное» и заявил, что решение CGPM 1995 года использовало противоречивые аргументы и внесло «многочисленные неточности, несоответствия и противоречия в формулировки SI». ^[49]

На заседании CCU в 2013 году Питер Мор выступил с докладом о предполагаемых несоответствиях, возникающих из-за определения радиана как безразмерной единицы, а не базовой единицы. Президент CCU Ян М. Миллс объявил это «огромной проблемой», и была создана Рабочая группа CCU по углам и безразмерным величинам в системе СИ . ^[50] Последний раз КТС собирался в 2021 году, ^{[обновлять]}но не достиг консенсуса. Небольшое количество членов решительно утверждало, что радиан должен быть базовой единицей, но большинство считало, что статус-кво является приемлемым или что изменение вызовет больше проблем, чем решит. Была создана целевая группа, среди прочего, для «рассмотрения исторического использования дополнительных единиц СИ и рассмотрения вопроса о том, принесет ли их повторное введение пользу». ^{[51] [52]}

Смотрите также

• Угловая частота
• Минута и секунда дуги
• Стерадиан , многомерный аналог радиана, который измеряет телесный угол.
• Тригонометрия

Примечания

1. Другие предложения включают аббревиатуру «рад» (Бринсмейд, 1936), обозначения (Ромен, 1962) и константы ם (Браунштейн, 1997), ◁ (Леви-Леблон, 1998), k (Фостер, 2010), θ _C (Квинси, 2021). и (Мор и др., 2022). ${\displaystyle \langle \theta \rangle }$ ${\displaystyle {\cal {C}}={\frac {2\pi }{\Theta }}}$

Рекомендации

1. Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (январь 1909 г.). «Глава VII. Общий ракурс [55] Признаки и ограничения ценности. Упражнение XV». Написано в Анн-Арборе, штат Мичиган, США. Тригонометрия. Том. Часть I: Плоская тригонометрия. Нью-Йорк, США: Генри Холт и компания / Norwood Press / JS Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Норвуд, Массачусетс, США. п. 73 . Проверено 12 августа 2017 г.
2. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151: «CGPM решила интерпретировать дополнительные единицы системы СИ, а именно радиан и стерадиан, как безразмерные производные единицы».
3. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151: «Один радиан соответствует углу, для которого s = r, таким образом, 1 рад = 1».
4. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 137.
5. Протоколы оптики океана для проверки спутниковых датчиков цвета океана, редакция 3. Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства, Центр космических полетов Годдарда. 2002. с. 12.
6. Проттер, Мюррей Х.; Морри, Чарльз Б. младший (1970), Колледжское исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , с. АПП-4, LCCN  76087042
7. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151.
8. «ISO 80000-3:2006 Величины и единицы измерения. Пространство и время». 17 января 2017 г.
9. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151: «Один радиан соответствует углу, для которого s = r »
10. Куинси 2016, с. 844: «Кроме того, как упоминалось в Mohr & Phillips 2015, радиан можно определить через площадь A сектора ( A =1/2 θ r ² ), и в этом случае он имеет единицы m ² ⋅m ⁻² ».
11. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151: «Один радиан соответствует углу, для которого s = r , таким образом, 1 рад = 1 ».
12. Бриджмен, Перси Уильямс (1922). Размерный анализ. Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. Угловая амплитуда качания [...] Размеры отсутствуют.
13. Прандо, Джакомо (август 2020 г.). «Спектральная единица». Физика природы . 16 (8): 888. Бибкод : 2020NatPh..16..888P. дои : 10.1038/s41567-020-0997-3 . S2CID  225445454.
14. Леонард, Уильям Дж. (1999). Minds-on Physics: Продвинутые темы в механике. Кендалл Хант. п. 262. ИСБН 978-0-7872-5412-4.
15. Френч, Энтони П. (май 1992 г.). «Что происходит с радианами? (комментарий)». Учитель физики . 30 (5): 260–261. дои : 10.1119/1.2343535.
16. Оберхофер, ES (март 1992 г.). «Что происходит с радианами?». Учитель физики . 30 (3): 170–171. Бибкод : 1992PhTea..30..170O. дои : 10.1119/1.2343500.
17. Обрехт, Гордон Дж.; Френч, Энтони П.; Иона, Марио; Уэлч, Дэниел В. (февраль 1993 г.). «Радиан — эта неприятная единица». Учитель физики . 31 (2): 84–87. Бибкод : 1993PhTea..31...84A. дои : 10.1119/1.2343667.
18. Бринсмэйд, 1936 г.; Ромен 1962; Эдер 1982 г.; Торренс 1986; Браунштейн 1997; Леви-Леблон, 1998 г.; Фостер 2010; Миллс 2016; Квинси 2021; Леонард 2021; Мор и др. 2022 год
19. Мор и Филлипс 2015.
20. Куинси, Пол; Браун, Ричард Дж. К. (1 июня 2016 г.). «Последствия принятия плоского угла в качестве базовой величины в системе СИ». Метрология . 53 (3): 998–1002. arXiv : 1604.02373 . Бибкод : 2016Метро..53..998Q. дои : 10.1088/0026-1394/53/3/998. S2CID  119294905.
21. Куинси, 2016.
22. Торренс 1986.
23. Мор и др. 2022, с. 6.
24. Мор и др. 2022, стр. 8–9.
25. Куинси 2021.
26. Куинси, Пол; Браун, Ричард Дж.К. (1 августа 2017 г.). «Более четкий подход к определению систем единиц». Метрология . 54 (4): 454–460. arXiv : 1705.03765 . Бибкод : 2017Метро..54..454Q. дои : 10.1088/1681-7575/aa7160. S2CID  119418270.
27. Шабель, Матиас К.; Ватанабэ, Стивен. «Часто задаваемые вопросы по Boost.Units – 1.79.0». www.boost.org . Проверено 5 мая 2022 г. Углы рассматриваются как единицы
28. Мор и др. 2022, с. 3.
29. «UnityDimensions — Документация по языку Wolfram». ссылка.wolfram.com . Проверено 1 июля 2022 г.
30. Лаки, Пол (1953) [Перевод книги 1424 года]. Сигель, А. (ред.). Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Масуд аль-Каси [ Трактат об окружности аль-Каши ]. Берлин: Академия Верлаг. п. 40.
31. Рош, Джон Дж. (21 декабря 1998 г.). Математика измерения: критическая история. Springer Science & Business Media. п. 134. ИСБН 978-0-387-91581-4.
32. О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF (февраль 2005 г.). «Биография Роджера Котса». MacTutor История математики . Архивировано из оригинала 19 октября 2012 г. Проверено 21 апреля 2006 г.
33. Котес, Роджер (1722). «Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum». Смит, Роберт (ред.). Harmonia mensurarum (на латыни). Кембридж, Англия. стр. 94–95. В Canon Logarithmico exhibetur Systema quoddam menfurarum numeralium, quæ Logarithmi dicuntur: atque hujus systematis Modulus - это логарифм, который соответствует Rationem Modularem в Corol. 6. определенность. Аналогично в Canone Trigonometrico Finuum & Tangentium, exhibetur Systema quoddam menfurarum numeralium, quæ Gradus appellantur: atque hujus systematis Modulus is est Numerus Graduum, qui metitur Angulum Modularem modo definitun, hoc est, qui continetur in arcu Radio æquali. Eft autem hic Numerus ad Gradus 180 ut Circuli Radius ad Semicircuinferentiam, hoc eft ut 1 ad 3.141592653589 и т. д. Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57,2957795130 и т. д. Cujus Reciprocus eft 0,0174532925 и т. д. Hujus moduli subsidio (quem inchartula quadam Auctoris manu descriptum inveni) commodissime computabis mensuras angulares, queinadmodum часто dam в Nota III. [В логарифмическом каноне представлена ​​определенная система числовых мер, называемая логарифмами: и модулем этой системы является логарифм, который измеряет модульное отношение, определенное в следствии 6. Аналогично, в тригонометрическом каноне синусов и тангенсов представлена ​​определенная система числовых мер, называемая градусами: и модуль этой системы - это количество градусов, которое измеряет модульный угол, определенный определенным образом, то есть содержащийся в дуге равного радиуса. Теперь это число равно 180 градусам как радиус круга к полуокружности, это от 1 до 3,141592653589 и т. д. Следовательно, модуль тригонометрического канона будет равен 57,2957795130 и т. д. Чья обратная величина равна 0,0174532925 и т. д. С помощью этого модуля (который я нашел описанным в примечании, сделанном рукой Автора) вам будет удобнее всего вычислить угловые меры, как упомянуто в примечании III.]
34. Гоуинг, Рональд (27 июня 2002 г.). Роджер Коутс – натурфилософ. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-52649-4.
35. Эйлер, Леонард. Theoria Motus Corporum Solidorum seu Rigidorum [ Теория движения твердых или твердых тел ] (PDF) (на латыни). Перевод Брюса, Яна. Определение 6, пункт 316.
36. Исаак Тодхантер, Плоская тригонометрия: для использования в колледжах и школах , с. 10, Кембридж и Лондон: Макмиллан, 1864 г., OCLC  500022958.
37. Каджори, Флориан (1929). История математических обозначений . Том. 2. Дуврские публикации. стр. 147–148. ISBN 0-486-67766-4.
38. • Мьюир, Тос. (1910). «Термин «Радиан» в тригонометрии». Природа . 83 (2110): 156. Бибкод : 1910Natur..83..156M. дои : 10.1038/083156a0 . S2CID  3958702.
    • Томсон, Джеймс (1910). «Термин «Радиан» в тригонометрии». Природа . 83 (2112): 217. Бибкод : 1910Natur..83..217T. дои : 10.1038/083217c0 . S2CID  3980250.
    • Мьюир, Тос. (1910). «Термин «Радиан» в тригонометрии». Природа . 83 (2120): 459–460. Бибкод : 1910Natur..83..459M. дои : 10.1038/083459d0. S2CID  3971449.
39. Миллер, Джефф (23 ноября 2009 г.). «Самые ранние известные варианты использования некоторых математических слов» . Проверено 30 сентября 2011 г.
40. Фредерик Спаркс, Тригонометрия школы Лонгмана , с. 6, Лондон: Longmans, Green и Co., 1890 г., OCLC  877238863 (издание 1891 г.)
41. А. Макфарлейн (1893) «Об определениях тригонометрических функций», страница 9, ссылка в Интернет-архиве.
42. Геометрия/Единые углы в Wikibooks
43. Куинси, Пол; Мор, Питер Дж; Филлипс, Уильям Д. (1 августа 2019 г.). «Углы по своей сути не являются ни отношениями длин, ни безразмерными». Метрология . 56 (4): 043001. arXiv : 1909.08389 . Бибкод : 2019Metro..56d3001Q. дои : 10.1088/1681-7575/ab27d7. S2CID  198428043.
44. Le Système International d'Unités (PDF) (на французском языке), 1970, стр. 12. Для тех, кто объединяет международные системы, Генеральная конференция ни разу не прошла или не прошла на бис, решила, что будет действовать объединение баз или объединений производных. [Для некоторых единиц СИ ГКМВ до сих пор не решила, являются ли они базовыми или производными единицами.]
45. Нельсон, Роберт А. (март 1984 г.). «Дополнительные единицы». Учитель физики . 22 (3): 188–193. Бибкод : 1984PhTea..22..188N. дои : 10.1119/1.2341516.
46. Отчет 7-го заседания (PDF) (на французском языке), Консультативный комитет по единицам, май 1980 г., стр. 6–7.
47. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 174–175.
48. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 179.
49. Калинин, Михаил I (1 декабря 2019 г.). «О статусе плоских и телесных углов в Международной системе единиц (СИ)». Метрология . 56 (6): 065009. arXiv : 1810.12057 . Бибкод : 2019Metro..56f5009K. дои : 10.1088/1681-7575/ab3fbf. S2CID  53627142.
50. Консультативный комитет по подразделениям (11–12 июня 2013 г.). Отчет о 21-м заседании Международного комитета мер и весов (Отчет). стр. 18–20.
51. Консультативный комитет по подразделениям (21–23 сентября 2021 г.). Отчет 25-го заседания Международного комитета мер и весов (Отчет). стр. 16–17.
52. «Целевая группа CCU по углам и безразмерным величинам в брошюре SI (CCU-TG-ADQSIB)» . БИПМ . Проверено 26 июня 2022 г.

• Международное бюро мер и весов (20 мая 2019 г.), Международная система единиц (СИ) (PDF) (9-е изд.), ISBN 978-92-822-2272-0, заархивировано (PDF) из оригинала 8 мая 2021 г.
• Бринсмэйд, Дж. Б. (декабрь 1936 г.). «Плоские и телесные углы. Их педагогическое значение при явном представлении». Американский журнал физики . 4 (4): 175–179. Бибкод : 1936AmJPh...4..175B. дои : 10.1119/1.1999110.
• Ромен, Жак Э. (июль 1962 г.). «Угол как четвертая фундаментальная величина». Журнал исследований Национального бюро стандартов. Раздел B. 66B (3): 97. doi : 10.6028/jres.066B.012 .
• Эдер, МЫ (январь 1982 г.). «Точка зрения на величину «плоского угла»". Metrologia . 18 (1): 1–12. Бибкод : 1982Metro..18....1E. doi : 10.1088/0026-1394/18/1/002. S2CID  250750831.
• Торренс, AB (1 января 1986 г.). «Об углах и угловых величинах». Метрология . 22 (1): 1–7. Бибкод : 1986Метро..22....1Т. дои : 10.1088/0026-1394/22/1/002. S2CID  250801509.
• Браунштейн, КР (июль 1997 г.). «Углы — давайте относиться к ним честно». Американский журнал физики . 65 (7): 605–614. Бибкод : 1997AmJPh..65..605B. дои : 10.1119/1.18616 .
• Леви-Леблон, Жан-Марк (сентябрь 1998 г.). «Размерные углы и универсальные константы». Американский журнал физики . 66 (9): 814–815. Бибкод : 1998AmJPh..66..814L. дои : 10.1119/1.18964.
• Фостер, Маркус П. (1 декабря 2010 г.). «Следующие 50 лет SI: обзор возможностей эпохи электронной науки». Метрология . 47 (6): Р41–Р51. дои : 10.1088/0026-1394/47/6/R01. S2CID  117711734.
• Мор, Питер Дж; Филлипс, Уильям Д. (1 февраля 2015 г.). «Безразмерные единицы в системе СИ». Метрология . 52 (1): 40–47. arXiv : 1409.2794 . Бибкод : 2015Метро..52...40М. дои : 10.1088/0026-1394/52/1/40 .
• Куинси, Пол (1 апреля 2016 г.). «Диапазон возможностей обработки плоского угла и телесного угла в системе единиц». Метрология . 53 (2): 840–845. Бибкод : 2016Metro..53..840Q. дои : 10.1088/0026-1394/53/2/840. S2CID  125438811.
• Миллс, Ян (1 июня 2016 г.). «О единицах радиан и цикл для величины плоского угла». Метрология . 53 (3): 991–997. Бибкод : 2016Метро..53..991М. дои : 10.1088/0026-1394/53/3/991. S2CID  126032642.
• Куинси, Пол (1 октября 2021 г.). «Углы в СИ: подробное предложение решения проблемы». Метрология . 58 (5): 053002. arXiv : 2108.05704 . Бибкод : 2021Metro..58e3002Q. дои : 10.1088/1681-7575/ac023f. S2CID  236547235.
• Леонард, BP (1 октября 2021 г.). «Предложение по размерной согласованности угла и телесного угла в Международной системе единиц (СИ)». Метрология . 58 (5): 052001. Бибкод : 2021Metro..58e2001L. дои : 10.1088/1681-7575/abe0fc. S2CID  234036217.
• Мор, Питер Дж; Ширли, Эрик Л; Филлипс, Уильям Д; Тротт, Майкл (23 июня 2022 г.). «О размерности углов и их единиц». Метрология . 59 (5): 053001. arXiv : 2203.12392 . Бибкод : 2022Метро..59e3001M. дои : 10.1088/1681-7575/ac7bc2 .

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с Радианом, на Викискладе?