Сфера холма

Область, в которой астрономическое тело доминирует над притяжением спутников

В разрезе/виде сбоку, двумерное представление трехмерной концепции сферы Хилла, здесь показан "гравитационный колодец" Земли (гравитационный потенциал Земли, синяя линия), то же самое для Луны (красная линия) и их объединенный потенциал (черная толстая линия). Точка P - это место, свободное от сил, где гравитационные силы Земли и Луны нейтрализуются. Размеры Земли и Луны пропорциональны, но расстояния и энергии не в масштабе.

Сфера Хилла — это распространённая модель для расчёта гравитационной сферы влияния . Это наиболее часто используемая модель для расчёта пространственной протяжённости гравитационного влияния астрономического тела ( m ), в которой оно доминирует над гравитационным влиянием других тел, в частности, первичного ( M ). ^[1] Иногда её путают с другими моделями гравитационного влияния, такими как сфера Лапласа ^[1] или называют сферой Роша , последнее вызывает путаницу с пределом Роша . ^{[2] [3]} Она была определена американским астрономом Джорджем Уильямом Хиллом на основе работы французского астронома Эдуарда Роша . ^{[ не проверено в теле ]}

Чтобы удерживаться более гравитационно притягивающим астрофизическим объектом — планетой более массивной звездой, луной более массивной планетой — менее массивное тело должно иметь орбиту , лежащую в пределах гравитационного потенциала, представленного сферой Хилла более массивного тела. ^{[ не проверено в body ]} Эта луна, в свою очередь, имела бы свою собственную сферу Хилла, и любой объект в пределах этого расстояния имел бы тенденцию становиться спутником луны, а не самой планеты. ^{[ не проверено в body ]}

Контурный график эффективного гравитационного потенциала системы из двух тел, в данном случае Солнца и Земли, с указанием пяти точек Лагранжа . ^{[ необходимо пояснение ] [ необходима ссылка ]}

Один из простых взглядов на размеры Солнечной системы заключается в том, что она ограничена сферой Хилла Солнца ( образованной взаимодействием Солнца с галактическим ядром или другими более массивными звездами). ^{[4] [ требуется проверка ]} Более сложный пример — справа, сфера Хилла Земли, которая простирается между точками Лагранжа L 1 и L 2 , ^{[ требуется уточнение ]} которые лежат вдоль линии центров Земли и более массивного Солнца. ^{[ не проверено в теле ]} Гравитационное влияние менее массивного тела наименьшее в этом направлении, и поэтому оно действует как ограничивающий фактор для размера сферы Хилла; ^{[ требуется уточнение ]} за пределами этого расстояния третий объект на орбите вокруг Земли провел бы по крайней мере часть своей орбиты за пределами сферы Хилла и был бы постепенно возмущен приливными силами более массивного тела, Солнца, в конечном итоге закончив вращением вокруг последнего. ^{[ не проверено в теле ]}

Для двух массивных тел с гравитационными потенциалами и любой заданной энергией третьего объекта пренебрежимо малой массы, взаимодействующего с ними, можно определить поверхность нулевой скорости в пространстве, которую нельзя преодолеть, контур интеграла Якоби . ^{[ не проверено в body ]} Когда энергия объекта мала, поверхность нулевой скорости полностью окружает менее массивное тело (этой ограниченной системы из трех тел ), что означает, что третий объект не может вырваться; при более высокой энергии будет один или несколько зазоров или узких мест, через которые третий объект может вырваться из менее массивного тела и выйти на орбиту вокруг более массивного. ^{[ не проверено в body ]} Если энергия находится на границе между этими двумя случаями, то третий объект не может вырваться, но ограничивающая его поверхность нулевой скорости касается большей поверхности нулевой скорости вокруг менее массивного тела ^{[ необходима проверка ]} в одной из близлежащих точек Лагранжа, образуя там конусообразную точку. ^{[ требуется уточнение ] [ не проверено в теле ]} На противоположной стороне менее массивного тела поверхность нулевой скорости приближается к другой точке Лагранжа. ^{[ не проверено в теле ]} Эта предельная поверхность нулевой скорости вокруг менее массивного тела является его «сферой» Хилла. ^{[ согласно кому? ] [ оригинальное исследование? ]}

Определение

Радиус Хилла или сфера (последний определяется первым радиусом ^{[ требуется ссылка ]} ) описывается как «область вокруг планетарного тела, где его собственная гравитация (по сравнению с гравитацией Солнца или других близлежащих тел) является доминирующей силой в притяжении спутников», как естественных, так и искусственных. ^{[5] [ требуется лучший источник ]}

Как описывают де Патер и Лиссауэр, все тела в системе, такой как Солнечная система Солнца , «чувствуют гравитационную силу друг друга», и в то время как движения всего двух гравитационно взаимодействующих тел — составляющие «задачу двух тел» — «полностью интегрируемы ([имеется в виду]... существует один независимый интеграл или ограничение на степень свободы)» и, таким образом, являются точным аналитическим решением, взаимодействия трех (или более) таких тел «не могут быть выведены аналитически», требуя вместо этого решений путем численного интегрирования, когда это возможно. ^{[6] : стр. 26} Это так, если только незначительная масса одного из трех тел не позволяет аппроксимировать систему как задачу двух тел, формально известную как «ограниченная задача трех тел». ^{[6] : стр. 26}

Для таких двух- или ограниченных трехчастичных задач, как простейшие примеры, например, одно более массивное первичное астрофизическое тело, масса которого равна m1, и менее массивное вторичное тело, масса которого равна m2, понятие радиуса Хилла или сферы является приблизительным пределом «гравитационного доминирования» вторичной массы ^[6], пределом, определяемым «протяженностью» ее сферы Хилла, которая математически представлена ​​следующим образом: ^{[6] : стр.29  [7]}

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}}$,

где в этом представлении большая ось «a» может пониматься как «мгновенное гелиоцентрическое расстояние» между двумя массами (в другом месте сокращенно r p ). ^{[6] : стр.29  [7]}

В более общем случае, если менее массивное тело, , вращается вокруг более массивного тела (m1, например, как планета, вращающаяся вокруг Солнца) и имеет большую полуось и эксцентриситет , то радиус Хилла или сфера менее массивного тела, рассчитанная в перицентре , приблизительно равна: ^{[8] [ необходим непервичный источник ] [ необходим лучший источник ]} ${\displaystyle m2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle R_{\mathrm {H} }}$

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }\approx a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}.}$

Когда эксцентриситет незначителен (наиболее благоприятный случай для орбитальной устойчивости), это выражение сводится к представленному выше. ^{[ необходима цитата ]}

Пример и вывод

Схематическое, немасштабное представление сфер Хилла (как 2D-радиусы) и пределов Роша каждого тела системы Солнце-Земля-Луна. Фактический радиус Хилла для пары Земля-Луна составляет порядка 60 000 км (т.е. простирается менее чем на одну шестую расстояния в 378 000 км между Луной и Землей). ^[9]

В примере Земля-Солнце Земля (5,97 × 10 ²⁴  кг ) вращается вокруг Солнца (1,99 × 10 ³⁰  кг ) на расстоянии 149,6 млн км или одной астрономической единицы (а.е.). Сфера Хилла для Земли, таким образом, простирается примерно на 1,5 млн км (0,01 а.е.). Орбита Луны, находящаяся на расстоянии 0,384 млн км от Земли, удобно расположена в пределах гравитационной сферы влияния Земли, и поэтому ей не грозит вытягивание на независимую орбиту вокруг Солнца.

Предыдущую формулу, игнорирующую эксцентриситет, можно переформулировать следующим образом:

${\displaystyle {\frac {R_{\mathrm {H} }^{3}}{a^{3}}}\approx 1/3{\frac {m2}{M}}}$, или , ${\displaystyle 3{\frac {R_{\mathrm {H} }^{3}}{a^{3}}}\approx {\frac {m2}{M}}}$

где M — сумма взаимодействующих масс.

Вывод

Выражение для радиуса Хилла можно найти, приравняв гравитационные и центробежные силы, действующие на пробную частицу (массой намного меньше ), вращающуюся вокруг вторичного тела. Предположим, что расстояние между массами и равно , и что пробная частица вращается на расстоянии от вторичного тела. Когда пробная частица находится на линии, соединяющей первичное и вторичное тела, баланс сил требует, чтобы ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {H} }}$

${\displaystyle {\frac {Gm}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {GM}{(r-r_{\mathrm {H} })^{2}}}+\Omega ^{2}(r-r_{\mathrm {H} })=0,}$

где - гравитационная постоянная, а - ( кеплеровская ) угловая скорость вторичного компонента вокруг первичного (предполагая, что ). Уравнение выше можно также записать как ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Omega ={\sqrt {\frac {GM}{r^{3}}}}}$ ${\displaystyle m\ll M}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)^{-2}+{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)=0,}$

который, посредством биномиального разложения до ведущего порядка по , можно записать как ${\displaystyle r_{\mathrm {H} }/r}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(1+2{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)+{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)={\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(3{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)\approx 0.}$

Следовательно, соотношение, указанное выше,

${\displaystyle {\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\approx {\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}.}$

Если орбита вторичной звезды вокруг первичной звезды эллиптическая, радиус Хилла максимален в апоцентре , где является наибольшим, и минимален в перицентре орбиты. Поэтому для целей стабильности тестовых частиц (например, малых спутников) необходимо учитывать радиус Хилла на расстоянии перицентра. ${\displaystyle r}$

В ведущем порядке радиус Хилла выше также представляет собой расстояние точки Лагранжа L ₁ от вторичного зеркала. ${\displaystyle r_{\mathrm {H} }/r}$

Регионы стабильности

Сфера Хилла является лишь приближением, и другие силы (такие как давление излучения или эффект Ярковского ) могут в конечном итоге вывести объект из сферы. ^{[ требуется ссылка ]} Как уже говорилось, спутник (третья масса) должен быть достаточно мал, чтобы его гравитация вносила незначительный вклад. ^{[6] : стр.26 и далее}

Подробные численные расчеты показывают, что орбиты на сфере Хилла или непосредственно внутри нее нестабильны в долгосрочной перспективе; похоже, что стабильные спутниковые орбиты существуют только внутри от 1/2 до 1/3 радиуса Хилла. ^{[ необходима ссылка ]}

Область стабильности для ретроградных орбит на большом расстоянии от первичной больше, чем область для прямовращающихся орбит на большом расстоянии от первичной. Считалось, что это объясняет преобладание ретроградных лун вокруг Юпитера; однако у Сатурна более равномерная смесь ретроградных/прямовращающихся лун, поэтому причины более сложные. ^[10]

Дополнительные примеры

Сфера Хилла может быть настолько мала, что невозможно поддерживать орбиту вокруг тела. Например, астронавт не смог бы вывести 104- тонный космический челнок на орбиту в 300 км над Землей, потому что 104-тонный объект на такой высоте имеет сферу Хилла радиусом всего 120 см, что намного меньше, чем у космического челнока. Сфера такого размера и массы будет плотнее свинца , и действительно, на низкой околоземной орбите сферическое тело должно быть плотнее свинца, чтобы поместиться внутри своей собственной сферы Хилла, иначе оно не сможет поддерживать орбиту. Однако спутникам, находящимся дальше на геостационарной орбите , нужно будет иметь плотность более 6% от плотности воды, чтобы поместиться внутри своей собственной сферы Хилла. ^{[ требуется ссылка ]}

В Солнечной системе планетой с самым большим радиусом Хилла является Нептун , с 116 миллионами км, или 0,775 а.е.; его большое расстояние от Солнца в достаточной степени компенсирует его малую массу относительно Юпитера (собственный радиус Хилла которого составляет 53 миллиона км). Астероид из пояса астероидов будет иметь сферу Хилла, которая может достигать 220 000 км (для 1 Цереры ), быстро уменьшаясь с уменьшением массы. Сфера Хилла 66391 Мошупа , астероида, пересекающего Меркурий , у которого есть луна (названная Скуаннит), имеет радиус 22 км. ^[11]

Типичный внесолнечный « горячий юпитер », HD 209458 b , ^[12] имеет радиус сферы Хилла 593 000 км, что примерно в восемь раз больше его физического радиуса, составляющего около 71 000 км. Даже самая маленькая близкая внесолнечная планета, CoRoT-7b , ^[13] все еще имеет радиус сферы Хилла (61 000 км), что в шесть раз больше ее физического радиуса (около 10 000 км). Следовательно, эти планеты могут иметь небольшие луны близко, хотя и не в пределах их соответствующих пределов Роша . ^{[ требуется ссылка ]}

Сферы Хилла для солнечной системы

Следующая таблица и логарифмический график показывают радиус сфер Хилла некоторых тел Солнечной системы, рассчитанный с помощью первой формулы, указанной выше (включая эксцентриситет орбиты), с использованием значений, полученных из эфемерид JPL DE405 и с веб-сайта NASA Solar System Exploration. ^[14]

Логарифмический график радиусов Хилла (в км) для тел Солнечной системы

Смотрите также

• сфера Лапласа
• Межпланетная транспортная сеть
• n- проблема тела
• Доля Роша
• Сфера влияния (астродинамика)
• Сфера влияния (черная дыра)

Пояснительные записки

1. На среднем расстоянии, как видно с Солнца. Угловой размер , как видно с Земли, меняется в зависимости от близости Земли к объекту.

Ссылки

1. Souami, D.; Cresson, J.; Biernacki, C.; Pierret, F. (2020). «О локальных и глобальных свойствах гравитационных сфер влияния». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 496 (4): 4287–4297. arXiv : 2005.13059 . doi : 10.1093/mnras/staa1520 .
2. Уильямс, Мэтт (2015-12-30). «Сколько лун у Меркурия?». Вселенная сегодня . Получено 2023-11-08 .
3. Хилл, Родерик Дж. (2022). «Гравитационное очищение естественных спутниковых орбит». Публикации Астрономического общества Австралии . 39. Издательство Кембриджского университета. Bibcode : 2022PASA...39....6H. doi : 10.1017/pasa.2021.62. ISSN  1323-3580. S2CID  246637375.
4. Чеботарев, Г. А. (март 1965 г.). «О динамических пределах Солнечной системы». Советская астрономия . 8 : 787. Bibcode :1965SvA.....8..787C.
5. Лоретта, Данте и сотрудники миссии по возврату образца астероида Osiris-Rex (2023). «Слово недели: Hill Sphere». Миссия по возврату образца астероида Osiris-Rex (AsteroidMission.org) . Темпе, Аризона: Университет Аризоны . Получено 22 июля 2023 г.
6. de Pater, Imke & Lissauer, Jack (2015). «Динамика (задача трех тел, возмущения и резонансы)». Планетарные науки (2-е изд.). Кембридж, Англия: Cambridge University Press. стр. 26, 28–30, 34. ISBN 9781316195697. Получено 22 июля 2023 г. .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Higuchi1, A. & Ida, S. (апрель 2017 г.). «Временный захват астероидов эксцентричной планетой». The Astronomical Journal . 153 (4). Вашингтон, округ Колумбия: Американское астрономическое общество: 155. arXiv : 1702.07352 . Bibcode : 2017AJ....153..155H. doi : 10.3847/1538-3881/aa5daa . S2CID  119036212.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
8. Гамильтон, DP и Бернс, JA (март 1992 г.). «Зоны орбитальной устойчивости астероидов: II. Дестабилизирующие эффекты эксцентричных орбит и солнечной радиации». Icarus . 96 (1). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Academic Press: 43–64. Bibcode :1992Icar...96...43H. doi : 10.1016/0019-1035(92)90005-R .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)См. также Hamilton, DP & Burns, JA (март 1991 г.). «Зоны орбитальной устойчивости астероидов» (PDF) . Icarus . 92 (1). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Academic Press: 118–131. Bibcode :1991Icar...92..118H. doi :10.1016/0019-1035(91)90039-V . Получено 22 июля 2023 г. .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)цитируется там.
9. Далее, Майк (4 октября 2017 г.). «Все уменьшающиеся круги». NewScientist.com . Получено 23 июля 2023 г. Радиус сферы Хилла Луны составляет 60 000 километров, что составляет примерно одну шестую расстояния между ней и Землей.
10. Астахов, Сергей А.; Бербанкс, Эндрю Д.; Виггинс, Стивен и Фаррелли, Дэвид (2003). «Захват нерегулярных лун с помощью хаоса». Nature . 423 (6937): 264–267. Bibcode :2003Natur.423..264A. doi :10.1038/nature01622. PMID  12748635. S2CID  16382419.
11. Джонстон, Роберт (20 октября 2019 г.). "(66391) Moshup and Squannit". Архив Джонстона . Получено 30 марта 2017 г.
12. "HD 209458 b". Энциклопедия внесолнечных планет . Архивировано из оригинала 2010-01-16 . Получено 2010-02-16 .
13. "Планета CoRoT-7 b". Энциклопедия внесолнечных планет . 2024.
14. "NASA Solar System Exploration". NASA . Получено 22.12.2020 .

Дальнейшее чтение

• де Патер, Имке и Лиссауэр, Джек (2015). «Динамика (задача трех тел, возмущения и резонансы)». Планетарные науки (2-е изд.). Кембридж, Англия: Cambridge University Press. стр. 28–30, 34. ISBN 9781316195697. Получено 22 июля 2023 г. .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• де Патер, Имке и Лиссауэр, Джек (2015). «Формирование планет (Формирование гигантских планет, спутников планет и малых планет)». Планетарные науки (2-е изд.). Кембридж, Англия: Cambridge University Press. стр. 539, 544. ISBN 9781316195697. Получено 22 июля 2023 г. .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Гурзадян, Григор А. (2020). «Сфера притяжения, сфера действия и сфера Хилла». Теория межпланетных перелетов. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. С. 258–263. ISBN 9781000116717. Получено 22 июля 2023 г. .
• Гурзадян, Григор А. (2020). «Предел Роша». Теория межпланетных перелетов. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. стр. 263f. ISBN 9781000116717. Получено 22 июля 2023 г. .
• Ida, S.; Kokubo, E. & Takeda, T. (2012). "N-Body Simulations of Moon Accretion". В Marov, Michael Ya. & Rickman, Hans (ред.). Collisional Processes in the Solar System. Astrophysics and Space Science Library. Том 261. Берлин, Германия: Springer Science & Business Media. стр. 206, 209f. ISBN 9789401007122. Получено 22 июля 2023 г. .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Ip, W.-H. & Fernandez, JA (2012). "Accreational Origin of the Giant Planers and its Consequences". В Marov, Michael Ya. & Rickman, Hans (ред.). Collisional Processes in the Solar System. Astrophysics and Space Science Library. Том 261. Берлин, Германия: Springer Science & Business Media. стр. 173 и далее. ISBN 9789401007122. Получено 22 июля 2023 г. .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Эшер, DJ; Бейли, ME и Стил (2012). «Роль негравитационных сил в разъединении орбит с Юпитером». В Маров, Михаил Я. и Рикман, Ганс (ред.). Столкновительные процессы в Солнечной системе. Библиотека астрофизики и космической науки. Том 261. Берлин, Германия: Springer Science & Business Media. стр. 122. ISBN 9789401007122. Получено 22 июля 2023 г. .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Внешние ссылки

• Может ли астронавт выйти на орбиту космического челнока?
• Луна, которая поднялась на холм, но спустилась на планету. Архивировано 30 сентября 2008 г. на Wayback Machine.