Раздельные наборы

Тип отношения для подмножеств топологического пространства

В топологии и смежных разделах математики разделенные множества — это пары подмножеств заданного топологического пространства , которые связаны друг с другом определенным образом: грубо говоря, не перекрываются и не касаются друг друга. Понятие того, когда два множества разделены или нет, важно как для понятия связных пространств (и их связных компонентов), так и для аксиом разделения для топологических пространств.

Разделенные множества не следует путать с разделенными пространствами (определенными ниже), которые в некоторой степени связаны, но различны. Разделимые пространства — это снова совершенно иная топологическая концепция.

Определения

Существуют различные способы, которыми два подмножества и топологического пространства можно считать разделенными. Самый простой способ, которым два множества можно разделить, — если они не пересекаются , то есть если их пересечение является пустым множеством . Это свойство не имеет ничего общего с топологией как таковой, а только с теорией множеств . Каждое из следующих свойств строже, чем непересекаемость, и включает некоторую топологическую информацию. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

Приведенные ниже свойства представлены в порядке возрастания специфичности, причем каждое последующее является более сильным понятием, чем предыдущее.

Наборы и являются ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$разделены ,замыканиемдругого: ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle A\cap {\bar {B}}=\varnothing ={\bar {A}}\cap B.}$$

Это свойство известно как Условие Разделения Хаусдорфа-Леннеса . ^[1] Поскольку каждое множество содержится в своем замыкании, два разделенных множества автоматически должны быть непересекающимися. Сами замыкания не обязательно должны быть непересекающимися друг с другом; например, интервалы и разделены на действительной прямой, даже если точка 1 принадлежит обоим их замыканиям. Более общий пример заключается в том, что в любом метрическом пространстве два открытых шара и разделены всякий раз Свойство быть разделенным также может быть выражено в терминах производного множества (обозначенного символом штриха): и разделены, когда они не пересекаются и каждое не пересекается с производным множеством другого, то есть, (Как и в случае первой версии определения, производные множества и не обязаны быть непересекающимися друг с другом.) ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle (1,2]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\}}$ ${\displaystyle B_{s}(q)=\{x\in X:d(q,x)<s\}}$ ${\displaystyle d(p,q)\geq r+s.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\textstyle A'\cap B=\varnothing =B'\cap A.}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle B'}$

Наборы и являются ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$разделены соседствами, если существуютсоседства итакие, чтоинепересекаются. (Иногда вы увидите требование, чтобыибыли открытыми соседствами, но это не имеет значения в конечном итоге.) Для примераивы можете взятьиОбратите внимание, что если любые два множества разделены соседствами, то они, безусловно, разделены. Еслииоткрыты и не пересекаются, то они должны быть разделены соседствами; просто возьмитеиПо этой причине разделенность часто используется с замкнутыми множествами (как внормальной аксиоме разделения). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A=[0,1)}$ ${\displaystyle B=(1,2],}$ ${\displaystyle U=(-1,1)}$ ${\displaystyle V=(1,3).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U=A}$ ${\displaystyle V=B.}$

Наборы и являются ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$разделены замкнутыми окрестностями, если существуетзамкнутаяокрестностьи замкнутая окрестностьтакие, чтоине пересекаются. Наши примерыинеразделены замкнутыми окрестностями. Вы можете сделать либоиливы, безусловно, разделены окрестностями. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle (1,2],}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

Наборы и являются ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$разделены непрерывной функцией, если существуетнепрерывная функция из пространствав вещественную прямуютакая, чтои, то есть членыотображения в 0 и членыотображения в 1. (Иногдав этом определениивместо используетсяединичный интервалине разделены функцией, поскольку нет способа непрерывно определитьв точке 1.^[2]Если два множества разделены непрерывной функцией, то они также разделены замкнутыми окрестностями; окрестности могут быть заданы в терминахпрообразакакигде— любоеположительное действительное число,меньшее ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle B\subseteq f^{-1}(1)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle (1,2]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U=f^{-1}[-c,c]}$ ${\displaystyle V=f^{-1}[1-c,1+c],}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1/2.}$

Наборы и являются ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$точно разделены непрерывной функцией, если существует непрерывная функция,такая чтои(Опять же, вы также можете увидеть единичный интервал вместои снова это не имеет значения.) Обратите внимание, что если любые два множества точно разделены функцией, то они разделены функцией. Посколькуизамкнуты втолько замкнутые множества могут быть точно разделены функцией, но то, что два множества замкнуты и разделены функцией, не означает, что они автоматически точно разделены функцией (даже другой функцией). ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A=f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle B=f^{-1}(1).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Отношение к аксиомам разделения и разделенным пространствам

Аксиомы разделения — это различные условия, которые иногда накладываются на топологические пространства, многие из которых можно описать в терминах различных типов разделенных множеств. В качестве примера мы определим аксиому T ₂ , которая является условием, налагаемым на разделенные пространства. В частности, топологическое пространство разделено , если для любых двух различных точек x и y одноэлементные множества { x } и { y } разделены окрестностями.

Разделенные пространства обычно называются пространствами Хаусдорфа или _{пространствами} T2 .

Отношение к связанным пространствам

При наличии топологического пространства X иногда полезно рассмотреть, возможно ли, чтобы подмножество A было отделено от своего дополнения . Это, безусловно, верно, если A является либо пустым множеством, либо всем пространством X , но могут быть и другие возможности. Топологическое пространство X связно, если это единственные две возможности. И наоборот, если непустое подмножество A отделено от своего дополнения, и если единственным подмножеством A , разделяющим это свойство, является пустое множество, то A является открыто-связным компонентом X. (В вырожденном случае, когда X само является пустым множеством , мнения расходятся относительно того, является ли оно связным и является ли оно открыто-связным компонентом самого себя.) ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \emptyset }$

Отношение к топологически различимым точкам

Если задано топологическое пространство X , то две точки x и y топологически различимы , если существует открытое множество , которому принадлежит одна точка, а другая — нет. Если x и y топологически различимы, то множества синглетонов { x } и { y } должны быть непересекающимися. С другой стороны, если синглетоны { x } и { y } разделены, то точки x и y должны быть топологически различимыми. Таким образом, для синглетонов топологическая различимость является условием между непересекаемостью и разделенностью.

Смотрите также

• Хаусдорфово пространство  – Тип топологического пространства
• Локально Хаусдорфово пространство
• Аксиома разделения  – Аксиомы в топологии, определяющие понятия «разделения»

Цитаты

1. Первин 1964, стр. 51
2. Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Prentice Hall. стр. 211. ISBN 0-13-181629-2.

Источники

• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология . Prentice-Hall . ISBN 0-13-181629-2.
• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Эддисон-Уэсли . ISBN 0-486-43479-6.
• Первин, Уильям Дж. (1964), Основы общей топологии , Academic Press