Размерная редукция — это предел компактифицированной теории , где размер компактного измерения стремится к нулю. В физике теория в D измерениях пространства-времени может быть переопределена в меньшем числе измерений d , принимая все поля независимыми от местоположения в дополнительных D − d измерениях.
Например, рассмотрим периодическое компактное измерение с периодом L. Пусть x будет координатой вдоль этого измерения. Любое поле можно описать как сумму следующих членов:
с A n константой. Согласно квантовой механике , такой член имеет импульс nh / L вдоль x , где h — постоянная Планка . [1] Следовательно, когда L стремится к нулю, импульс стремится к бесконечности, как и энергия , если только n = 0. Однако n = 0 дает поле, которое является постоянным относительно x . Поэтому в этом пределе и при конечной энергии не будет зависеть от x .
Этот аргумент обобщает. Компактное измерение накладывает определенные граничные условия на все поля, например, периодические граничные условия в случае периодического измерения и, как правило, граничные условия Неймана или Дирихле в других случаях. Теперь предположим, что размер компактного измерения равен L ; тогда возможные собственные значения при градиенте вдоль этого измерения являются целыми или полуцелыми кратными 1/ L (в зависимости от точных граничных условий). В квантовой механике это собственное значение является импульсом поля и, следовательно, связано с его энергией. При L → 0 все собственные значения, кроме нуля, стремятся к бесконечности, как и энергия. Следовательно, в этом пределе с конечной энергией ноль является единственным возможным собственным значением при градиенте вдоль компактного измерения, что означает, что от этого измерения ничего не зависит.
Размерная редукция также относится к специфическому сокращению расходимостей в диаграммах Фейнмана. Она была выдвинута Амноном Ахарони , Йозефом Имри и Шан-кеном Ма , которые доказали в 1976 году, что «для всех порядков в разложении возмущений критические показатели в d -мерной ( 4 < d < 6 ) системе с короткодействующим обменом и случайным замороженным полем такие же, как и в ( d − 2 )-мерной чистой системе». [2] Их аргументы показали, что «диаграммы Фейнмана, которые дают ведущее сингулярное поведение для случайного случая, тождественно равны, за исключением комбинаторных факторов, соответствующим диаграммам Фейнмана для чистого случая в двух измерениях меньше». [3] Это уменьшение размерности было дополнительно исследовано в контексте суперсимметричной теории стохастических дифференциальных уравнений Ланжевена Джорджио Паризи и Николя Сурласом [4], которые «заметили, что наиболее инфракрасно-расходящиеся диаграммы — это те, которые имеют максимальное количество случайных вставок источников, и, если пренебречь другими диаграммами, то остается диаграммное расширение для классической теории поля в присутствии случайных источников... Паризи и Сурлас объяснили это уменьшение размерности скрытой суперсимметрией». [3]
