Разнообразие персонажей

В математике теории модулей , если заданы алгебраическая , редуктивная , группа Ли и конечно порожденная группа , многообразие -характеров представляет собой пространство классов эквивалентности гомоморфизмов групп из в : ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathfrak {R}}(\pi ,G)=\operatorname {Hom} (\pi ,G)/\!\sim \,.}$

Точнее, действует на сопряжением , и два гомоморфизма определяются как эквивалентные (обозначаются ) тогда и только тогда, когда их замыкания орбит пересекаются. Это самое слабое отношение эквивалентности на множестве орбит сопряжения, , которое дает хаусдорфово пространство . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi ,G)}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi ,G)/G}$

Формулировка

Формально, когда редуктивная группа определена над комплексными числами , многообразие -характеров является спектром простых идеалов кольца инвариантов (т.е. аффинным фактором GIT ). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \mathbb {C} [\operatorname {Hom} (\pi ,G)]^{G}.}$

Здесь в более общем случае можно рассматривать алгебраически замкнутые поля простой характеристики. В этой общности многообразия характеров являются только алгебраическими множествами и не являются фактическими многообразиями. Чтобы избежать технических проблем, часто рассматривают связанное редуцированное пространство путем деления на радикал 0 (исключая нильпотенты ). Однако это не обязательно дает неприводимое пространство. Более того, если мы заменим комплексную группу действительной группой, мы можем даже не получить алгебраическое множество. В частности, максимальная компактная подгруппа обычно дает полуалгебраическое множество . С другой стороны, всякий раз, когда является свободным, мы всегда получаем честное многообразие; однако оно является сингулярным. ${\displaystyle \pi }$

Примеры

Интересный класс примеров возникает из римановых поверхностей : если — риманова поверхность, то многообразие характеров , или пространство модулей Бетти , является многообразием характеров группы поверхностей ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi =\pi _{1}(X)}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{B}(X,G)={\mathfrak {R}}(\pi _{1}(X),G)}$.

Например, если и — сфера Римана, проколотая три раза, то есть свободная от ранга два, то Анри Г. Фогт, Роберт Фрике и Феликс Клейн доказали ^{[1] [2]} , что многообразие характеров есть ; его координатное кольцо изоморфно комплексному кольцу многочленов от 3 переменных, . Ограничение до дает замкнутый действительный трехмерный шар (полуалгебраический, но не алгебраический). ${\displaystyle G=\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi =\pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]}$ ${\displaystyle G=\mathrm {SU} (2)}$

Другой пример, также изученный Фогтом и Фрике–Клейном, — это случай с и является сферой Римана, проколотой четыре раза, поэтому не имеет ранга три. Тогда многообразие характеров изоморфно гиперповерхности в , заданной уравнением ${\displaystyle G=\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi =\pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{7}}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ab+cd)x-(ad+bc)y-(ac+bd)z+abcd+xyz-4=0.}$

Это многообразие характеров появляется в теории шестого уравнения Пенлеве ^[3] и имеет естественную структуру Пуассона, такую, что являются функциями Казимира, поэтому симплектические листы являются аффинными кубическими поверхностями вида ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}+c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z=c_{4}}$

Варианты

Эта конструкция многообразия характеров не обязательно совпадает с конструкцией Марка Каллера и Питера Шалена (сгенерированной оценками следов), хотя когда они соглашаются, поскольку Клаудио Прочези показал, что в этом случае кольцо инвариантов фактически генерируется только следами. Поскольку функции следов инвариантны всеми внутренними автоморфизмами, конструкция Каллера–Шалена по сути предполагает, что мы действуем по даже если . ^{[ необходимо разъяснение ]} ${\displaystyle G=\mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle G=\mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}=\operatorname {Hom} (\pi ,H)}$ ${\displaystyle G\neq H}$

Например, когда — свободная группа ранга 2 и , действие сопряжения тривиально, а многообразие -характеров — это тор ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G=\mathrm {SO} (2)}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle S^{1}\times S^{1}.}$

Но алгебра следов является строго малой подалгеброй (инвариантов меньше). Это обеспечивает инволютивное действие на торе, которое необходимо учитывать, чтобы получить многообразие характеров Каллера–Шалена. Инволюция на этом торе дает 2-сферу. Дело в том, что с точностью до -сопряжения все точки различны, но след идентифицирует элементы с различными антидиагональными элементами (инволюция). ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$

Связь с геометрией

Существует взаимодействие между этими пространствами модулей и пространствами модулей главных расслоений , векторных расслоений , расслоений Хиггса и геометрических структур на топологических пространствах, заданное в общем случае наблюдением, что, по крайней мере локально, эквивалентные объекты в этих категориях параметризуются классами сопряженности гомоморфизмов голономии плоских связностей. Другими словами, относительно базового пространства для расслоений или фиксированного топологического пространства для геометрических структур гомоморфизм голономии является групповым гомоморфизмом из в структурную группу расслоения. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle G}$

Подключение к модулям мотков

Координатное кольцо многообразия характеров было связано с модулями скейн в теории узлов . ^{[4] [5]} Модуль скейн является грубой деформацией (или квантованием) многообразия характеров. Он тесно связан с топологической квантовой теорией поля в размерности 2+1.

Смотрите также

• Геометрическая инвариантная теория

Ссылки

1. Горовиц, РД (1972). «Характеристики свободных групп, представленных в двумерной специальной линейной группе». Сообщения по чистой и прикладной математике . XXV (6): 635–649. doi :10.1002/cpa.3160250602.
2. Магнус, В. (1980). «Кольца характеров Фрике и группы автоморфизмов свободных групп». Math. Z. 170 : 91–103. doi :10.1007/BF01214715. S2CID  120977131.
3. Ивасаки, К. (2002). «Действие модулярной группы на кубических поверхностях и монодромия уравнения Пенлеве VI». Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci . 78 (7): 131–5. doi : 10.3792/pjaa.78.131 . MR  1930217. Zbl  1058.34125.
4. Дуг Буллок, Кольца -характеров и модуль скобок Кауфмана ${\displaystyle {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {C} )}$ , Commentarii Mathematici Helvetici 72 (1997), № 4, 521–542. MR 1600138
5. Przytycki, Józef H. ; Sikora, Adam S. (2000). "On skein algebras and -character variations". Topology . 39 (1): 115–148. arXiv : q-alg/9705011 . doi :10.1016/S0040-9383(98)00062-7. MR  1710996. S2CID  14740329. ${\displaystyle {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {C} )}$