Подкольцо с фиксированной точкой

В алгебре подкольцо неподвижных точек автоморфизма f кольца R — это подкольцо неподвижных точек f , то есть ${\displaystyle R^{f}}$

${\displaystyle R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.}$

В более общем случае, если G — группа , действующая на R , то подкольцо R

${\displaystyle R^{G}=\{r\in R\mid g\cdot r=r,\,g\in G\}}$

называется фиксированным подкольцом или, более традиционно, кольцом инвариантов относительно G. Если S — множество автоморфизмов R , то элементы R , которые фиксируются элементами S, образуют кольцо инвариантов относительно группы, порожденной S. В частности, фиксированное подкольцо автоморфизма f — это кольцо инвариантов циклической группы, порожденной f .

В теории Галуа , когда R — поле , а G — группа автоморфизмов поля, неподвижное кольцо является подполем , называемым неподвижным полем группы автоморфизмов; см. Основная теорема теории Галуа .

Наряду с модулем ковариантов , кольцо инвариантов является центральным объектом изучения в теории инвариантов . Геометрически кольца инвариантов являются координатными кольцами (аффинных или проективных) факторов GIT и играют фундаментальную роль в конструкциях в геометрической теории инвариантов .

Пример : Пусть — кольцо многочленов от n переменных. Симметрическая группа S _n действует на R, переставляя переменные. ^Тогда кольцо инвариантов — это кольцо симметрических многочленов . Если редуктивная алгебраическая группа G действует на R , то основная теорема теории инвариантов описывает генераторы RG . ${\displaystyle R=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle R^{G}=k[x_{1},\dots ,x_{n}]^{\operatorname {S} _{n}}}$

Четырнадцатая проблема Гильберта спрашивает, является ли кольцо инвариантов конечно порожденным или нет (ответ утвердительный, если G является редуктивной алгебраической группой по теореме Нагаты.) Конечное порождение легко увидеть для конечной группы G, действующей на конечно порожденной алгебре R : поскольку R целочисленна над RG ^, [ ^1] лемма Артина –Тейта подразумевает, что RG является конечно порожденной алгеброй ^. Ответ отрицательный для некоторых унипотентных групп .

Пусть G — конечная группа. Пусть S — симметрическая алгебра конечномерного G -модуля . Тогда G является группой отражений тогда и только тогда, когда — свободный модуль (конечного ранга ) над S ^G (теорема Шевалле). ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle S}$

В дифференциальной геометрии , если G — группа Ли и ее алгебра Ли , то каждое главное G -расслоение на многообразии M определяет гомоморфизм градуированной алгебры (называемый гомоморфизмом Черна–Вейля ) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{2*}(M;\mathbb {C} )}$

где — кольцо полиномиальных функций на , а G действует на присоединенным представлением . ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$

Смотрите также

• Разнообразие персонажей

Примечания

1. При наличии r в R многочлен является моническим многочленом над RG и имеет r в качестве ^одного из своих корней. ${\displaystyle \prod _{g\in G}(t-g\cdot r)}$

Ссылки

• Мукаи, Сигеру; Оксбери, ВМ (8 сентября 2003 г.) [1998], Введение в инварианты и модули , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 81, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-80906-1, МР  2004218
• Springer, Tonny A. (1977), Теория инвариантов , Lecture Notes in Mathematics, т. 585, Springer