Карта Пуанкаре

Тип отображения, используемый в математике, в частности в динамических системах

Двумерное сечение Пуанкаре уравнения Дюффинга

В математике , особенно в динамических системах , первое отображение возврата или отображение Пуанкаре , названное в честь Анри Пуанкаре , представляет собой пересечение периодической орбиты в пространстве состояний непрерывной динамической системы с определенным подпространством меньшей размерности, называемым сечением Пуанкаре , трансверсальным потоку системы. Точнее, рассматривается периодическая орбита с начальными условиями в сечении пространства, которая затем покидает это сечение, и наблюдается точка, в которой эта орбита впервые возвращается в сечение. Затем создается отображение, чтобы отправить первую точку во вторую, отсюда и название первое отображение возврата . Трансверсальность сечения Пуанкаре означает, что периодические орбиты, начинающиеся в подпространстве, протекают через него, а не параллельно ему.

Отображение Пуанкаре можно интерпретировать как дискретную динамическую систему с пространством состояний, которое на одно измерение меньше, чем исходная непрерывная динамическая система. Поскольку оно сохраняет многие свойства периодических и квазипериодических орбит исходной системы и имеет пространство состояний меньшей размерности, его часто используют для анализа исходной системы более простым способом. ^{[ необходима цитата ]} На практике это не всегда возможно, поскольку не существует общего метода построения отображения Пуанкаре.

Карта Пуанкаре отличается от рекуррентной диаграммы тем, что пространство, а не время, определяет, когда наносить точку. Например, геометрическое место Луны, когда Земля находится в перигелии, является рекуррентной диаграммой; геометрическое место Луны, когда она проходит через плоскость, перпендикулярную орбите Земли и проходящую через Солнце и Землю в перигелии, является картой Пуанкаре. ^{[ требуется ссылка ]} Она использовалась Мишелем Хеноном для изучения движения звезд в галактике , потому что путь звезды, спроецированный на плоскость, выглядит как запутанный беспорядок, в то время как карта Пуанкаре показывает структуру более четко.

Определение

В сечении Пуанкаре S отображение Пуанкаре P проецирует точку x на точку P ( x ).

Пусть ( R , M , φ ) — глобальная динамическая система , где R — действительные числа , M — фазовое пространство , а φ — функция эволюции . Пусть γ — периодическая орбита, проходящая через точку p , а S — локальное дифференцируемое и трансверсальное сечение φ через p , называемое сечением Пуанкаре через p .

Для данной открытой и связной окрестности точки p функция ${\displaystyle U\subset S}$

${\displaystyle P:U\to S}$

называется отображением Пуанкаре для орбиты γ на сечении Пуанкаре S, проходящем через точку p, если

• П ( п ) = п
• P ( U ) — окрестность точки p и P : U → P ( U ) — диффеоморфизм
• для каждой точки x в U положительная полуорбита x пересекает S в первый раз в точке P ( x )

Пример

Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений в полярных координатах : ${\displaystyle (\theta ,r)\in \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\theta }}=1\\{\dot {r}}=(1-r^{2})r\end{cases}}}$

Поток системы можно получить путем интегрирования уравнения: для компонента мы просто имеем , а для компонента нам нужно разделить переменные и проинтегрировать: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}+t}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{(1-r^{2})r}}dr=\int dt\Longrightarrow \log \left({\frac {r}{\sqrt {1-r^{2}}}}\right)=t+c}$

Инвертирование последнего выражения дает

${\displaystyle r(t)={\sqrt {\frac {e^{2(t+c)}}{1+e^{2(t+c)}}}}}$

и с тех пор

${\displaystyle r(0)={\sqrt {\frac {e^{2c}}{1+e^{2c}}}}}$

мы находим

${\displaystyle r(t)={\sqrt {\frac {e^{2t}r_{0}^{2}}{1+r_{0}^{2}(e^{2t}-1)}}}={\sqrt {\frac {1}{1+e^{-2t}\left({\frac {1}{r_{0}^{2}}}-1\right)}}}}$

Таким образом, поток системы

${\displaystyle \Phi _{t}(\theta ,r)=\left(\theta +t,{\sqrt {\frac {1}{1+e^{-2t}\left({\frac {1}{r_{0}^{2}}}-1\right)}}}\right)}$

Поведение потока следующее:

• Угол увеличивается монотонно и с постоянной скоростью. ${\displaystyle \theta }$
• Радиус стремится к равновесию для каждого значения. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\bar {r}}=1}$

Таким образом, решение с начальными данными рисует спираль, стремящуюся к окружности радиусом 1. ${\displaystyle (\theta _{0},r_{0}\neq 1)}$

Мы можем взять в качестве сечения Пуанкаре для этого потока положительную горизонтальную ось, а именно : очевидно, мы можем использовать в качестве координаты на сечении. Каждая точка в возвращается в сечение через некоторое время (это можно понять, посмотрев на эволюцию угла): мы можем взять в качестве отображения Пуанкаре ограничение на сечение, вычисленное в момент времени , . Таким образом, отображение Пуанкаре имеет вид: ${\displaystyle \Sigma =\{(\theta ,r)\ :\ \theta =0\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle t=2\pi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \Phi _{2\pi }|_{\Sigma }}$ ${\displaystyle \Psi (r)={\sqrt {\frac {1}{1+e^{-4\pi }\left({\frac {1}{r^{2}}}-1\right)}}}}$

Поведение орбит дискретной динамической системы следующее: ${\displaystyle (\Sigma ,\mathbb {Z} ,\Psi )}$

• Точка фиксирована, поэтому для каждого . ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle \Psi ^{n}(1)=1}$ ${\displaystyle n}$
• Каждая другая точка монотонно стремится к равновесию, поскольку . ${\displaystyle \Psi ^{n}(z)\to 1}$ ${\displaystyle n\to \pm \infty }$

Карты Пуанкаре и анализ устойчивости

Отображения Пуанкаре можно интерпретировать как дискретную динамическую систему . Устойчивость периодической орбиты исходной системы тесно связана с устойчивостью неподвижной точки соответствующего отображения Пуанкаре.

Пусть ( R , M , φ ) — дифференцируемая динамическая система с периодической орбитой γ через p . Пусть

${\displaystyle P:U\to S}$

будет соответствующим отображением Пуанкаре через p . Мы определяем

${\displaystyle P^{0}:=\operatorname {id} _{U}}$

${\displaystyle P^{n+1}:=P\circ P^{n}}$

${\displaystyle P^{-n-1}:=P^{-1}\circ P^{-n}}$

и

${\displaystyle P(n,x):=P^{n}(x)}$

тогда ( Z , U , P ) — дискретная динамическая система с пространством состояний U и функцией эволюции

${\displaystyle P:\mathbb {Z} \times U\to U.}$

По определению эта система имеет неподвижную точку в точке p .

Периодическая орбита γ непрерывной динамической системы устойчива тогда и только тогда, когда устойчива неподвижная точка p дискретной динамической системы.

Периодическая орбита γ непрерывной динамической системы асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда неподвижная точка p дискретной динамической системы асимптотически устойчива.

Смотрите также

• Повторение Пуанкаре
• Стробоскопическая карта
• Карта Энона
• График повторяемости
• Функция отражения Мироненко
• Инвариантная мера

Ссылки

• Тешль, Джеральд . Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество .

Внешние ссылки

• Шивакумар Джолад, Отображение Пуанкаре и его применение к проблеме «Вращающегося магнита» , (2005)