Функциональное исчисление Бореля

Раздел функционального анализа

В функциональном анализе , разделе математики , функциональное исчисление Бореля является функциональным исчислением (то есть присвоением операторов из коммутативных алгебр функциям, определенным на их спектрах ), которое имеет особенно широкую область применения. ^{[1] [2]} Таким образом, например, если T является оператором, применение функции возведения в квадрат s → s ² к T дает оператор T ² . Используя функциональное исчисление для более крупных классов функций, мы можем, например, строго определить «квадратный корень» (отрицательного) оператора Лапласа −Δ или экспоненциальную ${\displaystyle e^{it\Delta }.}$

Под «областью действия» здесь понимается вид функции оператора , который разрешен. Функциональное исчисление Бореля является более общим, чем непрерывное функциональное исчисление , и его фокус отличается от голоморфного функционального исчисления .

Точнее, функциональное исчисление Бореля позволяет применять произвольную функцию Бореля к самосопряженному оператору таким образом, что это обобщает применение полиномиальной функции .

Мотивация

Если T — самосопряженный оператор на конечномерном пространстве скалярного произведения H , то H имеет ортонормированный базис { e ₁ , ..., e _ℓ }, состоящий из собственных векторов T , то есть $${\displaystyle Te_{k}=\lambda _{k}e_{k},\qquad 1\leq k\leq \ell .}$$

Таким образом, для любого положительного целого числа n , $${\displaystyle T^{n}e_{k}=\lambda _{k}^{n}e_{k}.}$$

Если рассматривать только полиномы от T , то получается голоморфное функциональное исчисление . Соотношение справедливо и для более общих функций от T. Если задана борелевская функция h , можно определить оператор h ( T ), указав его поведение на основе: $${\displaystyle h(T)e_{k}=h(\lambda _{k})e_{k}.}$$

В общем случае любой самосопряженный оператор T унитарно эквивалентен оператору умножения; это означает, что для многих целей T можно рассматривать как оператор, действующий на L ² некоторого пространства с мерой . Область определения T состоит из тех функций, выражение выше которых находится в L ² . В таком случае можно определить аналогично $${\displaystyle [T\psi ](x)=f(x)\psi (x)}$$ $${\displaystyle [h(T)\psi ](x)=[h\circ f](x)\psi (x).}$$

Для многих технических целей предыдущая формулировка вполне хороша. Однако желательно сформулировать функциональное исчисление таким образом, чтобы оно не зависело от конкретного представления T как оператора умножения. Именно это мы и сделаем в следующем разделе.

Ограниченное функциональное исчисление

Формально ограниченное борелевское функциональное исчисление самосопряженного оператора T в гильбертовом пространстве H представляет собой отображение, определенное на пространстве ограниченных комплекснозначных борелевских функций f на действительной прямой, такое, что выполняются следующие условия: $${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{T}:L^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\\f\mapsto f(T)\end{cases}}}$$

• π _T — гомоморфизм , сохраняющий инволюцию и единицу, из кольца комплекснозначных ограниченных измеримых функций на R.
• Если ξ — элемент H , то — счетно - аддитивная мера на борелевских множествах E из R. В приведенной выше формуле 1 _E обозначает индикаторную функцию E. Эти меры ν _ξ называются спектральными мерами T. $${\displaystyle \nu _{\xi }:E\mapsto \langle \pi _{T}(\mathbf {1} _{E})\xi ,\xi \rangle }$$
• Если η обозначает отображение z → z на C , то: $${\displaystyle \pi _{T}\left([\eta +i]^{-1}\right)=[T+i]^{-1}.}$$

Теорема  —  Любой самосопряженный оператор T имеет единственное борелевское функциональное исчисление.

Это определяет функциональное исчисление для ограниченных функций, применяемое к возможно неограниченным самосопряженным операторам. Используя ограниченное функциональное исчисление, можно доказать часть теоремы Стоуна об однопараметрических унитарных группах :

Теорема  —  Если A — самосопряженный оператор, то — однопараметрическая сильно непрерывная унитарная группа, инфинитезимальный генератор которой равен iA . $${\displaystyle U_{t}=e^{itA},\qquad t\in \mathbb {R} }$$

В качестве приложения мы рассматриваем уравнение Шредингера или, что эквивалентно, динамику квантово-механической системы. В нерелятивистской квантовой механике оператор Гамильтона H моделирует полную энергию, наблюдаемую квантово -механической системой S. Унитарная группа, генерируемая iH, соответствует временной эволюции S.

Мы также можем использовать функциональное исчисление Бореля для абстрактного решения некоторых линейных задач с начальными значениями, таких как уравнение теплопроводности или уравнения Максвелла.

Существование функционального исчисления

Существование отображения со свойствами функционального исчисления требует доказательства. Для случая ограниченного самосопряженного оператора T существование борелевского функционального исчисления может быть показано элементарным образом следующим образом:

Сначала переходим от полиномиального к непрерывному функциональному исчислению, используя теорему Стоуна–Вейерштрасса . Решающим фактом здесь является то, что для ограниченного самосопряженного оператора T и полинома p , $${\displaystyle \|p(T)\|=\sup _{\lambda \in \sigma (T)}|p(\lambda )|.}$$

Следовательно, отображение является изометрией и плотно определенным гомоморфизмом на кольце полиномиальных функций. Расширение по непрерывности определяет f ( T ) для непрерывной функции f на спектре T . Теорема Рисса-Маркова затем позволяет нам перейти от интегрирования по непрерывным функциям к спектральным мерам , и это функциональное исчисление Бореля. $${\displaystyle p\mapsto p(T)}$$

В качестве альтернативы непрерывное исчисление может быть получено с помощью преобразования Гельфанда в контексте коммутативных банаховых алгебр. Расширение до измеримых функций достигается применением Рисса-Маркова, как указано выше. В этой формулировке T может быть нормальным оператором .

При наличии оператора T областью значений непрерывного функционального исчисления h → h ( T ) является (абелева) C*-алгебра C ( T ), порожденная T . Функциональное исчисление Бореля имеет большую область значений, то есть замыкание C ( T ) в слабой операторной топологии , (все еще абелева) алгебра фон Неймана .

Общее функциональное исчисление

Мы также можем определить функциональное исчисление для не обязательно ограниченных борелевских функций h ; результатом является оператор, который в общем случае не может быть ограничен. Используя модель умножения на функцию f самосопряженного оператора, заданную спектральной теоремой, это умножение на композицию h с f .

Теорема  —  Пусть T — самосопряженный оператор на H , h — вещественная функция Бореля на R. Существует единственный оператор S такой, что $${\displaystyle \operatorname {dom} S=\left\{\xi \in H:h\in L_{\nu _{\xi }}^{2}(\mathbb {R} )\right\}}$$ $${\displaystyle \langle S\xi ,\xi \rangle =\int _{\mathbb {R} }h(t)\ d\nu _{\xi }(t),\quad {\text{for}}\quad \xi \in \operatorname {dom} S}$$

Оператор S предыдущей теоремы обозначается h ( T ).

В более общем смысле функциональное исчисление Бореля существует также для (ограниченных) нормальных операторов.

Разрешение идентичности

Пусть будет самосопряженным оператором. Если — борелевское подмножество R , а — индикаторная функция E , то — самосопряженная проекция на H. Тогда отображение — проекционнозначная мера . Мера R относительно — это тождественный оператор на H. Другими словами, тождественный оператор можно выразить как спектральный интеграл ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{E}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{E}(T)}$ $${\displaystyle \Omega _{T}:E\mapsto \mathbf {1} _{E}(T)}$$ ${\textstyle \Omega _{T}}$

${\displaystyle I=\Omega _{T}([-\infty ,\infty ])=\int _{-\infty }^{\infty }d\Omega _{T}}$.

Формула Стоуна ^[3] выражает спектральную меру через резольвенту : ${\displaystyle \Omega _{T}}$ ${\displaystyle R_{T}(\lambda )\equiv \left(T-\lambda I\right)^{-1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}\left[R_{T}(\lambda +i\epsilon ))-R_{T}(\lambda -i\epsilon )\right]\,d\lambda =\Omega _{T}((a,b))+{\frac {1}{2}}\left[\Omega _{T}(\{a\})+\Omega _{T}(\{b\})\right].}$

В зависимости от источника разрешение тождества определяется либо как проекционно-значная мера , ^[4] , либо как однопараметрическое семейство проекционно-значных мер с . ^[5] ${\displaystyle \Omega _{T}}$ ${\displaystyle \{\Sigma _{\lambda }\}}$ ${\displaystyle -\infty <\lambda <\infty }$

В случае дискретной меры (в частности, когда H конечномерен), можно записать как в обозначениях Дирака, где каждый является нормированным собственным вектором T. Набор является ортонормированным базисом H. ${\textstyle I=\int 1\,d\Omega _{T}}$ $${\displaystyle I=\sum _{i}\left|i\right\rangle \left\langle i\right|}$$ ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle \{|i\rangle \}}$

В физической литературе, используя вышеизложенное как эвристику, переходят к случаю, когда спектральная мера уже не является дискретной, и записывают разложение тождества как и говорят о «непрерывном базисе» или «континууме базисных состояний». Математически, если не даны строгие обоснования, это выражение является чисто формальным. $${\displaystyle I=\int \!\!di~|i\rangle \langle i|}$$ ${\displaystyle \{|i\rangle \}}$

Ссылки

1. Кадисон, Ричард В.; Рингроуз, Джон Р. (1997). Основы теории операторных алгебр: Том 1. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0819-2.
2. Рид, Майкл; Саймон, Барри (1981). Методы современной математической физики . Academic Press. ISBN 0-12-585050-6.
3. Тахтаджан, Леон А. (2020). «Этюды резольвенты». Математические обзоры . 75 (1): 147–186. arXiv : 2004.11950 . doi :10.1070/RM9917.
4. Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. С. 316–317. ISBN 978-0-07-054236-5.
5. Ахиезер, Наум Ильич (1981). Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве . Бостон: Питман. п. 213. ИСБН 0-273-08496-8.