Ранг эллиптической кривой

Число независимых рациональных базисных точек с бесконечным порядком

В математике ранг эллиптической кривой — это рациональный ранг Морделла–Вейля эллиптической кривой, определенный над полем рациональных чисел или, в более общем смысле, числовым полем K. Теорема Морделла (обобщенная на произвольные числовые поля Андре Вейлем ) гласит, что группа рациональных точек на эллиптической кривой имеет конечный базис . Это означает, что для любой эллиптической кривой существует конечное подмножество рациональных точек на кривой, из которого могут быть получены все дальнейшие рациональные точки. Если число рациональных точек на кривой бесконечно, то некоторая точка в конечном базисе должна иметь бесконечный порядок . Число независимых базисных точек с бесконечным порядком — это ранг кривой. ${\displaystyle E}$

В математических терминах множество K -рациональных точек обозначается E(K) , а теорему Морделла можно сформулировать как существование изоморфизма абелевых групп

${\displaystyle E(K)\cong \mathbb {Z} ^{r}\oplus E(K)_{\text{tors}},}$

где — группа кручения E , о которой известно сравнительно много, а — неотрицательное целое число, называемое рангом (над K ) . ${\displaystyle E(K)_{\text{tors}}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle E}$

Ранг связан с несколькими нерешенными проблемами в теории чисел , в частности с гипотезой Бирча–Суиннертона–Дайера . В настоящее время среди экспертов нет единого мнения о том, следует ли ожидать, что ранги эллиптических кривых над будут ограниченными или нет. Было показано, что существуют кривые с рангом не менее 29, ^[1], но широко распространено мнение, что такие кривые редки. Действительно, Голдфельд ^[2] и позже Кац – Сарнак ^[3] предположили, что в подходящем асимптотическом смысле (см. ниже) ранг эллиптических кривых должен быть в среднем 1/2. Еще более сильная половина всех эллиптических кривых должна иметь ранг 0 (что означает, что бесконечная часть ее группы Морделла–Вейля тривиальна), а другая половина должна иметь ранг 1; все остальные ранги состоят из общей суммы 0% всех эллиптических кривых над . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Высоты

Чтобы получить разумное понятие «среднего», нужно как-то уметь подсчитывать эллиптические кривые . Для этого требуется введение функции высоты на множестве рациональных эллиптических кривых. Чтобы определить такую ​​функцию, напомним, что рациональная эллиптическая кривая может быть задана в терминах формы Вейерштрасса , то есть мы можем записать ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle E:y^{2}=x^{3}+Ax+B}$

для некоторых целых чисел . Более того, эта модель уникальна, если для любого простого числа, такого что делит , мы имеем . Тогда мы можем предположить, что являются целыми числами, которые удовлетворяют этому свойству, и определить функцию высоты на множестве эллиптических кривых с помощью ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{4}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p^{6}\nmid B}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle H(E)=H(E(A,B))=\max\{4|A|^{3},27B^{2}\}.}$

Тогда можно показать, что число эллиптических кривых с ограниченной высотой конечно. ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle H(E)}$

Средний рейтинг

Обозначим через ранг Морделла–Вейля эллиптической кривой . Имея на руках функцию высоты , можно определить «средний ранг» как предел, при условии, что он существует: ${\displaystyle r(E)}$ ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle H(E)}$

${\displaystyle \lim _{X\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{H(E(A,B))\leq X}r(E)}{\sum _{H(E(A,B))\leq X}1}}.}$

Неизвестно, существует ли этот предел. Однако, заменив предел на предел выше , можно получить вполне определенную величину. Получение оценок для этой величины, таким образом, является получением верхних границ для размера среднего ранга эллиптических кривых (при условии, что среднее существует).

Верхние границы среднего ранга

За последние два десятилетия был достигнут определенный прогресс в решении задачи нахождения верхних границ для среднего ранга. А. Брумер ^[4] показал, что при условии гипотезы Бирча–Суиннертона–Дайера и обобщенной гипотезы Римана можно получить верхнюю границу для среднего ранга. Хит-Браун показал ^[5] , что можно получить верхнюю границу , по-прежнему предполагая те же две гипотезы. Наконец, Янг показал ^[6] , что можно получить границу ; по-прежнему предполагая обе гипотезы. ${\displaystyle 2.3}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 25/14}$

Бхаргава и Шанкар показали, что средний ранг эллиптических кривых ограничен сверху ^[7] и ^[8] без предположения гипотезы Бирча–Суиннертона–Дайера или обобщенной гипотезы Римана. Это достигается путем вычисления среднего размера групп -Селмера и -Селмера эллиптических кривых соответственно. ${\displaystyle 1.5}$ ${\displaystyle {\frac {7}{6}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$

Подход Бхаргавы и Шанкара

Безусловное доказательство Бхаргавы и Шанкара ограниченности среднего ранга эллиптических кривых получается с помощью некоторой точной последовательности, включающей группу Морделла-Вейля эллиптической кривой . Обозначим через группу Морделла-Вейля рациональных точек на эллиптической кривой , -группу Сельмера , и пусть Ш обозначает -часть группы Тейта-Шафаревича . Тогда мы имеем следующую точную последовательность ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {Sel} _{p}(E)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {}_{E}[p]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle 0\rightarrow E(\mathbb {Q} )/pE(\mathbb {Q} )\rightarrow \operatorname {Sel} _{p}(E)\rightarrow }$Ш ${\displaystyle {}_{E}[p]\rightarrow 0.}$

Это показывает, что ранг , также называемый рангом -Селмера для , определяемый как неотрицательное целое число, такое что , является верхней границей ранга Морделла-Вейля для . Следовательно, если можно вычислить или получить верхнюю границу ранга -Селмера для , то можно было бы также ограничить ранг Морделла-Вейля в среднем. ${\displaystyle \operatorname {Sel} _{p}(E)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \#\operatorname {Sel} _{p}(E)=p^{s}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$

В Двоичные квартичные формы, имеющие ограниченные инварианты, и ограниченность среднего ранга эллиптических кривых [ ^7] Бхаргава и Шанкар вычислили 2-ранг Сельмера эллиптических кривых в среднем. Они сделали это, подсчитав бинарные квартичные формы , используя метод, использованный Бирчем и Суиннертоном-Дайером в их первоначальном вычислении аналитического ранга эллиптических кривых, что привело к их знаменитой гипотезе.

Предположения об ограниченности рангов

В общем случае открытая проблема заключается в том, ограничен ли ранг всех эллиптических кривых над фиксированным полем K числом или нет. Эта проблема имеет долгую историю мнений экспертов в этой области. Парк и др. дают отчет. ^{[9] : стр. 5ff} Популярная статья может быть найдена в журнале Quanta. ^[10] По техническим причинам вместо одного рассматривается (потенциально бесконечная) граница эллиптических кривых E , определенных над K , которая возникает для бесконечного множества различных таких E . Имеем и . ${\displaystyle {\tilde {B}}_{K}}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{K}}$ ${\displaystyle B_{K}}$ ${\displaystyle {\text{rk}}(E(K))}$ ${\displaystyle B_{K}\leq {\tilde {B}}_{K}}$ ${\displaystyle (B_{K}<\infty )\Leftrightarrow ({\tilde {B}}_{K}<\infty )}$

Эллиптические кривые над числовыми полямиК

Согласно Парку и др., Нерон в 1950 году считал существование абсолютной границы для ранга вероятным. Хонда в 1960 году выдвинул гипотезу для общего абелева многообразия A , определенного над , которое, в частности, включает эллиптические кривые, о существовании константы такой, что - такая граница не переводится напрямую в некоторые или , но дает благоприятное отношение к таким границам. ${\displaystyle B_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle r_{E}}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle c_{A}}$ ${\displaystyle {\text{rk}}(A(K))\leq c_{A}[K:\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{K}}$ ${\displaystyle B_{K}}$

В 1966 году Касселс , 1974 году Тейт и 1982 году Местре выразили свое неверие в такую ​​границу в различных общностях относительно K. Это было консенсусом среди ведущих экспертов вплоть до 2010-х годов. Однако Местре в 1982 году безоговорочно доказал, что для эллиптических кривых E существует граница в терминах проводника эллиптической кривой , которая сама по себе неограничена при изменении E. ${\displaystyle B_{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\text{rk}}(E(\mathbb {Q} ))\leq O(\log(N(E)))}$ ${\displaystyle N(E)}$

В 2016 году Парк и др. представили новую случайную модель, основанную на аналогиях с эвристикой Коэна-Ленстры для групп классов числовых полей и эвристикой Китинга - Снейта , основанной на теории случайных матриц для L-функций . Их модель была ориентирована на известные результаты по распределению эллиптических кривых в низких рангах и их группах Тейта-Шафаревича. Она предсказывает предположительную границу . Модель делает дальнейшие предсказания относительно верхних границ, которые согласуются со всеми известными в настоящее время нижними границами из примеров семейств эллиптических кривых в особых случаях (таких как ограничения на тип групп кручения). ${\displaystyle B_{\mathbb {Q} }\in \{20,21\}}$

Для общего числового поля K та же модель предсказывает ту же границу, которая, однако, не может быть выполнена. Парк и др. показывают существование числовых полей возрастающей степени для каждого такого, что существует бесконечно много эллиптических кривых E, определенных над (на самом деле эти эллиптические кривые имеют положительную плотность ) , поэтому равномерная граница для всех числовых полей невозможна. Они приписывают неудачу своей модели в этом случае существованию эллиптических кривых E над общими числовыми полями K , которые возникают из-за изменения базы собственного подполя , что их модель не учитывает. Вместо семейства всех эллиптических кривых, определенных над K, они предлагают рассматривать только семейство всех таких эллиптических кривых, которые не возникают из-за изменения базы собственного подполя. Затем модель предсказывает, что аналоговая граница должна быть выполнена, однако Парк и др. также показывают существование числового поля K, такого что Хотя по состоянию на 2024 год нельзя исключить, что и даже конечны для каждого числового поля K (Парк и др. даже утверждают, что это правдоподобно ), неясно, какая модифицированная эвристика предсказывает правильные значения, не говоря уже о том, какой подход докажет такие границы. ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle [K_{n}:\mathbb {Q} ]=2^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle {\text{rk}}(E(K_{n}))\geq 2^{n}=[K_{n}:\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle K_{0}\subsetneq K}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{K}^{\circ }\subset {\mathcal {E}}_{K}}$ ${\displaystyle B_{K}^{\circ }\in \{20,21\}}$ ${\displaystyle B_{K}^{\circ }\geq 68.}$ ${\displaystyle B_{K}^{\circ }}$ ${\displaystyle B_{K}}$

По состоянию на 2024 год среди экспертов нет единого мнения относительно того, следует ли ожидать, что ранг эллиптической кривой будет ограничен равномерно только по полю ее базовых чисел или нет.

Эллиптические кривые над другими полями

Парк и др. утверждают, что их модель (соответствующим образом модифицированная) должна применяться не только к числовым полям, но и к общим глобальным полям , в частности, включая случай, когда K является полем функций над конечным полем. Они также указывают ^{[9] : стр. 35} , что поля функций K известны тем, что существуют с , но что для всех таких K нельзя исключать. ${\displaystyle B_{K}=\infty }$ ${\displaystyle B_{K}^{\circ }<\infty }$

Для того, чтобы вопрос об ограниченности рангов эллиптических кривых над некоторым полем K имел смысл, нужна теорема типа Морделла-Вейля над этим полем, которая гарантирует конечную генерацию для группы K -рациональных точек. Это справедливо гораздо более общо, чем только для глобальных полей, по результату Нерона это верно для всех K конечного типа над их простым полем. ^[11]

Это не выполняется для локальных полей , таких как , поскольку группа рациональных точек больше не является конечно порожденной. В этом случае ранг всегда будет бесконечным. Для локальных полей K -рациональные точки имеют другие полезные структуры, поскольку можно говорить об измерениях как о многообразиях или алгебраических многообразиях, поскольку имеется бесконечная фильтрация, где последовательные факторы являются конечными группами хорошо классифицированной структуры. Но для общего K нет универсального аналога вместо ранга, который является интересным объектом изучения. ${\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Q} _{p},\mathbb {F} _{q}((x))\}}$ ${\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ ${\displaystyle K\in \{\mathbb {Q} _{p},\mathbb {F} _{q}((x))\}}$

Самые большие известные ранги

Распространенная гипотеза заключается в том, что не существует предела максимально возможному рангу для эллиптической кривой. В 2006 году Ноам Элкис открыл эллиптическую кривую с рангом не менее 28. ^[1] Было показано ^[12] , что в рамках GRH она имеет ранг ровно 28:

у2 + ху + у = х3 − ^х2 − 20 067 762 415 575 526 585 033 ²⁰⁸ 209 338 542 750 930 230 312 178 956 ⁵⁰² х + 34 481 611 795 030 556 467 032 985 690 390 720 374 855 944 359 319 180 361 266 008 296 291 939 448 732 243 429​​​

Известно много других примеров (семейств) эллиптических кривых над . ^[1] В частности, Элкис дал бесконечное семейство эллиптических кривых над каждым рангом не ниже 19. ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

В 2024 году Элкис и Зев Клагсбрун обнаружили кривую с рангом не ниже 29 (в рамках GRH ранг равен ровно 29): ^{[1] [13]}

у2 + ху = х3 − 27 006 183 241 630 922 218 434 652 145 297 453 784 768 054 621 836 357 954 737 385 х + 55 258 058 551 342 376 475 736 699 ⁵⁹¹ 118 ¹⁹¹ 821 521 067 032 535 079 608 372 404 779 149 413 277 716 173 425 636 721 497 .​​

Ссылки

1. Дуелла, Андрей . "История записей ранга эллиптических кривых". Университет Загреба . Получено 2024-05-04 . Следующая таблица содержит некоторые исторические данные о записях ранга эллиптических кривых.
2. D. Goldfeld, Conjectures on elliptic curves over squaretic fields, в Number Theory, Carbondale 1979 (Proc. Southern Illinois Conf., Southern Illinois Univ., Carbondale, Ill., 1979), Lecture Notes in Math. 751, Springer-Verlag, New York, 1979, стр. 108–118. MR 0564926. Zbl  0417.14031. doi :10.1007/BFb0062705.
3. Н. М. Кац и П. Сарнак, Случайные матрицы, собственные значения Фробениуса и монодромия, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. 45, Amer. Math. Soc., 1999. MR 1659828. Zbl  0958.11004.
4. А. Брумер, Средний ранг эллиптических кривых. I, Invent. Math. 109 (1992), 445–472. MR 1176198. Zbl  0783.14019. doi :10.1007/BF01232033.
5. DR Heath-Brown, Средний аналитический ранг эллиптических кривых, Duke Math. J. 122 (2004), 591–623. MR 2057019. Zbl  1063.11013. doi :10.1215/S0012-7094-04-12235-3.
6. MP Young, Низколежащие нули семейств эллиптических кривых, J. Amer. Math. Soc. 19 (2006), 205–250. MR 2169047. Zbl  1086.11032. doi :10.1090/S0894-0347-05-00503-5.
7. М. Бхаргава и А. Шанкар, Бинарные формы четвертой степени, имеющие ограниченные инварианты, и ограниченность среднего ранга эллиптических кривых, Annals of Mathematics 181 (2015), 191–242 doi :10.4007/annals.2015.181.1.3
8. М. Бхаргава и А. Шанкар, Тернарные кубические формы, имеющие ограниченные инварианты, и существование положительной доли эллиптических кривых, имеющих ранг 0, Annals of Mathematics 181 (2015), 587–621 doi :10.4007/annals.2015.181.2.4
9. Дженнифер Парк, Бьорн Пунен, Джон Войт, Мелани Матчетт Вуд, Эвристика ограниченности рангов эллиптических кривых. J. Eur. Math. Soc. 21 (2019), № 9, стр. 2859–2903. doi :10.4171/JEMS/893
10. Хартнетт, Кевин (31 октября 2018 г.). «Без доказательства математики задаются вопросом, сколько доказательств достаточно». Журнал Quanta . Получено 18 июля 2019 г.
11. Конрад, Брайан. "K/k-образ и K/k-след Чжоу и теорема Ланга-Нерона" (PDF) . Брайан Конрад . Факультет математики Стэнфордского университета . Получено 2024-05-04 .
12. Klagsbrun, Zev; Sherman, Travis; Weigandt, James (2019). «Кривая Элки имеет ранг 28, если подчиняется только GRH». Math. Comp . 88 (316): 837–846. arXiv : 1606.07178 . doi :10.1090/mcom/3348 . Получено 04.05.2024 .
13. Elkies, Noam (29 августа 2024 г.). "Z^29 in E(Q)". Архив NMBRTHRY . Архивировано из оригинала 18 сентября 2024 г.