Теорема распада

Теорема в теории меры

В математике теорема о распаде является результатом теории меры и теории вероятности . Она строго определяет идею нетривиального «ограничения» меры до подмножества меры нуль рассматриваемого пространства меры . Она связана с существованием условных вероятностных мер . В некотором смысле «распад» является обратным процессом к построению меры произведения .

Мотивация

Рассмотрим единичный квадрат в евклидовой плоскости . Рассмотрим вероятностную меру, определенную на ограничением двумерной меры Лебега на . То есть вероятность события — это просто площадь . Мы предполагаем, что — измеримое подмножество . ${\displaystyle S=[0,1]\times [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E\subseteq S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S}$

Рассмотрим одномерное подмножество, например, отрезок прямой . имеет -меру ноль; каждое подмножество является -нулевым множеством ; поскольку пространство меры Лебега является полным пространством меры , ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L_{x}=\{x\}\times [0,1]}$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle E\subseteq L_{x}\implies \mu (E)=0.}$$

Хотя это и правда, это несколько неудовлетворительно. Было бы неплохо сказать, что «ограничено» одномерной мерой Лебега , а не нулевой мерой . Вероятность «двумерного» события тогда можно было бы получить как интеграл одномерных вероятностей вертикальных «срезов» : более формально, если обозначает одномерную меру Лебега на , то для любого «хорошего» . Теорема о распаде делает этот аргумент строгим в контексте мер на метрических пространствах . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle \lambda ^{1}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\cap L_{x}}$ ${\displaystyle \mu _{x}}$ ${\displaystyle L_{x}}$ $${\displaystyle \mu (E)=\int _{[0,1]}\mu _{x}(E\cap L_{x})\,\mathrm {d} x}$$ ${\displaystyle E\subseteq S}$

Формулировка теоремы

(Далее будем обозначать совокупность борелевских вероятностных мер на топологическом пространстве .) Предположения теоремы следующие: ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle (X,T)}$

• Пусть и — два пространства Радона (т. е. топологическое пространство , в котором каждая борелевская вероятностная мера на нем является внутренней регулярной , например, сепарабельно метризуемыми пространствами; в частности, каждая вероятностная мера на нем является прямой мерой Радона ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
• Позволять . ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(Y)}$
• Пусть будет измеримой по Борелю функцией . Здесь следует думать о функции , которую нужно «дезинтегрировать» в смысле разбиения на . Например, для мотивирующего примера выше можно определить , , что дает , срез, который мы хотим захватить. ${\displaystyle \pi :Y\to X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{\pi ^{-1}(x)\ |\ x\in X\}}$ ${\displaystyle \pi ((a,b))=a}$ ${\displaystyle (a,b)\in [0,1]\times [0,1]}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(a)=a\times [0,1]}$
• Пусть будет мерой продвижения . Эта мера обеспечивает распределение (которое соответствует событиям ). ${\displaystyle \nu \in {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle \nu =\pi _{*}(\mu )=\mu \circ \pi ^{-1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$

Вывод теоремы: существует - почти всюду однозначно определенное семейство вероятностных мер , которое обеспечивает "распад" на , такое, что: ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}}$

• функция измерима по Борелю в том смысле, что является измеримой по Борелю функцией для каждого измеримого по Борелю множества ; ${\displaystyle x\mapsto \mu _{x}}$ ${\displaystyle x\mapsto \mu _{x}(B)}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$
• ${\displaystyle \mu _{x}}$«живет» на волокне : для - почти всех , и так ; ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle \mu _{x}\left(Y\setminus \pi ^{-1}(x)\right)=0,}$$ ${\displaystyle \mu _{x}(E)=\mu _{x}(E\cap \pi ^{-1}(x))}$
• для каждой измеримой по Борелю функции , в частности, для любого события , принимая в качестве индикаторной функции , [ ^1] ${\displaystyle f:Y\to [0,\infty ]}$ $${\displaystyle \int _{Y}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=\int _{X}\int _{\pi ^{-1}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu _{x}(y)\,\mathrm {d} \nu (x).}$$ ${\displaystyle E\subseteq Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle \mu (E)=\int _{X}\mu _{x}(E)\,\mathrm {d} \nu (x).}$$

Приложения

Пространства продукта

Первоначальный пример представлял собой частный случай задачи о произведениях пространств, к которому применима теорема о распаде.

Когда записано как декартово произведение и является естественной проекцией , то каждое волокно может быть канонически отождествлено с и существует борелевское семейство вероятностных мер в (которое почти всюду однозначно определено), такое что, в частности, ^{[ необходимо разъяснение ]} и ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y=X_{1}\times X_{2}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:Y\to X_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(x_{1})}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \{\mu _{x_{1}}\}_{x_{1}\in X_{1}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X_{2})}$ ${\displaystyle (\pi _{1})_{*}(\mu )}$ $${\displaystyle \mu =\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right)=\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mathrm {d} (\pi _{1})_{*}(\mu )(x_{1}),}$$ $${\displaystyle \int _{X_{1}\times X_{2}}f(x_{1},x_{2})\,\mu (\mathrm {d} x_{1},\mathrm {d} x_{2})=\int _{X_{1}}\left(\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2}\mid x_{1})\right)\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right)}$$ $${\displaystyle \mu (A\times B)=\int _{A}\mu \left(B\mid x_{1}\right)\,\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right).}$$

Отношение к условному ожиданию задается тождествами $${\displaystyle \operatorname {E} (f\mid \pi _{1})(x_{1})=\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2}\mid x_{1}),}$$ $${\displaystyle \mu (A\times B\mid \pi _{1})(x_{1})=1_{A}(x_{1})\cdot \mu (B\mid x_{1}).}$$

Векторные исчисления

Теорему о распаде можно также рассматривать как оправдание использования «ограниченной» меры в векторном исчислении . Например, в теореме Стокса , примененной к векторному полю , протекающему через компактную поверхность , подразумевается, что «правильная» мера на является распадом трехмерной меры Лебега на , и что распад этой меры на ∂Σ такой же, как распад на . [ ^2] ${\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda ^{3}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda ^{3}}$ ${\displaystyle \partial \Sigma }$

Условные распределения

Теорему распада можно применять для строгой обработки условных распределений вероятностей в статистике, избегая при этом чисто абстрактных формулировок условной вероятности. ^[3] Теорема связана , например, с парадоксом Бореля–Колмогорова .

Смотрите также

• Теорема Ионеску-Тулчи  - Теорема вероятности
• Совместное распределение вероятностей  – Тип распределения вероятностей
• Копула (статистика)  – статистическое распределение зависимости между случайными величинами.
• Условное ожидание  – ожидаемое значение случайной величины при условии, что известны определенные условия.
• Парадокс Бореля-Колмогорова
• Обычная условная вероятность

Ссылки

1. Деллашери, К.; Мейер, П.-А. (1978). Вероятности и потенциал . North-Holland Mathematics Studies. Амстердам: North-Holland. ISBN 0-7204-0701-X.
2. Амброзио, Л.; Джильи, Н.; Саваре, Г. (2005). Градиентные потоки в метрических пространствах и в пространстве вероятностных мер . ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Базель. ISBN 978-3-7643-2428-5.
3. Чанг, Дж. Т.; Поллард, Д. (1997). «Обусловливание как распад» (PDF) . Statistica Neerlandica . 51 (3): 287. CiteSeerX 10.1.1.55.7544 . doi :10.1111/1467-9574.00056. S2CID  16749932.