Распределение приподнятого косинуса

В теории вероятностей и статистике распределение приподнятого косинуса — это непрерывное распределение вероятностей, поддерживаемое на интервале . Функция плотности вероятности (PDF) — это ${\displaystyle [\mu -s,\mu +s]}$

${\displaystyle f(x;\mu ,s)={\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right){\text{ for }}\mu -s\leq x\leq \mu +s}$

и ноль в противном случае. Кумулятивная функция распределения (CDF) - это

${\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]}$

для и ноль для и единица для . ${\displaystyle \mu -s\leq x\leq \mu +s}$ ${\displaystyle x<\mu -s}$ ${\displaystyle x>\mu +s}$

Моменты распределения приподнятого косинуса несколько сложны в общем случае, но значительно упрощаются для стандартного распределения приподнятого косинуса. Стандартное распределение приподнятого косинуса — это просто распределение приподнятого косинуса с и . Поскольку стандартное распределение приподнятого косинуса является четной функцией , нечетные моменты равны нулю. Четные моменты определяются как: ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle s=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (x^{2n})&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}[1+\cos(x\pi )]x^{2n}\,dx=\int _{-1}^{1}x^{2n}\operatorname {hvc} (x\pi )\,dx\\[5pt]&={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{1+2n}}\,_{1}F_{2}\left(n+{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}},n+{\frac {3}{2}};{\frac {-\pi ^{2}}{4}}\right)\end{aligned}}}$

где — обобщенная гипергеометрическая функция . ${\displaystyle \,_{1}F_{2}}$

Смотрите также

• Функция Ханна
• Хаверкозин (hvc)

Ссылки

• Хорст Ринне (2010). "Распределения масштаба местоположения – линейная оценка и построение вероятностного графика с использованием MATLAB" (PDF) . стр. 116 . Получено 16.11.2012 .