Функция распределения Вигнера

Анализ распределения частот по времени WDF (красный и желтый) и банка FIR (зеленый).

Функция распределения Вигнера (WDF) используется при обработке сигналов в качестве преобразования в частотно-временном анализе .

Впервые WDF была предложена в физике для учета квантовых поправок к классической статистической механике в 1932 году Юджином Вигнером и имеет важное значение в квантовой механике в фазовом пространстве (см. для сравнения: распределение квазивероятностей Вигнера , также называемое функцией Вигнера или распределением Вигнера–Вилля ).

Учитывая общую алгебраическую структуру между парами положение-импульс и время-частота , она также полезно служит в обработке сигналов, как преобразование в частотно-временном анализе, предмете этой статьи. По сравнению с кратковременным преобразованием Фурье , таким как преобразование Габора , функция распределения Вигнера обеспечивает максимально возможное временное и частотное разрешение, которое математически возможно в рамках ограничений принципа неопределенности. Недостатком является введение больших перекрестных членов между каждой парой компонентов сигнала и между положительными и отрицательными частотами, что делает исходную формулировку функции плохо подходящей для большинства аналитических приложений. Были предложены последующие модификации, которые сохраняют четкость функции распределения Вигнера, но в значительной степени подавляют перекрестные члены.

Математическое определение

Существует несколько различных определений функции распределения Вигнера. Определение, данное здесь, относится к частотно-временному анализу. Учитывая временной ряд , его нестационарная функция автоковариации задается как ${\displaystyle x[t]}$

${\displaystyle C_{x}(t_{1},t_{2})=\left\langle \left(x[t_{1}]-\mu [t_{1}]\right)\left(x[t_{2}]-\mu [t_{2}]\right)^{*}\right\rangle ,}$

где обозначает среднее значение по всем возможным реализациям процесса, а — среднее значение, которое может быть или не быть функцией времени. Функция Вигнера затем задается путем выражения функции автокорреляции сначала через среднее время и задержку , а затем путем преобразования Фурье задержки. ${\displaystyle \langle \cdots \rangle }$ ${\displaystyle \mu (t)}$ ${\displaystyle W_{x}(t,f)}$ ${\displaystyle t=(t_{1}+t_{2})/2}$ ${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }C_{x}\left(t+{\frac {\tau }{2}},t-{\frac {\tau }{2}}\right)\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$

Таким образом, для одного временного ряда (среднего значения равного нулю) функция Вигнера просто задается выражением

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$

Мотивация функции Вигнера заключается в том, что она сводится к функции спектральной плотности во все времена для стационарных процессов, но при этом полностью эквивалентна нестационарной функции автокорреляции. Таким образом, функция Вигнера говорит нам (приблизительно), как спектральная плотность изменяется во времени. ${\displaystyle t}$

Пример частотно-временного анализа

Вот несколько примеров, иллюстрирующих, как WDF используется в частотно-временном анализе.

Постоянный входной сигнал

Когда входной сигнал постоянен, его распределение по времени и частоте представляет собой горизонтальную линию вдоль оси времени. Например, если x ( t ) = 1, то

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau =\delta (f).}$

Синусоидальный входной сигнал

Когда входной сигнал является синусоидальной функцией, его распределение по времени и частоте представляет собой горизонтальную линию, параллельную оси времени, смещенную от нее на частоту синусоидального сигнала. Например, если x ( t ) = e ^{i2π kt} , то

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi k\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)}e^{-i2\pi k\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)}e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau \left(f-k\right)}\,d\tau \\&=\delta (f-k).\end{aligned}}}$

Входной сигнал ЛЧМ

Когда входной сигнал является линейной функцией чирпа , мгновенная частота является линейной функцией. Это означает, что распределение частоты во времени должно быть прямой линией. Например, если

${\displaystyle x(t)=e^{i2\pi kt^{2}}}$,

тогда его мгновенная частота равна

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d(2\pi kt^{2})}{dt}}=2kt~,}$

и его WDF

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi k\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)^{2}}e^{-i2\pi k\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{2}}e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i4\pi kt\tau }e^{-i2\pi \tau f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau (f-2kt)}\,d\tau \\&=\delta (f-2kt)~.\end{aligned}}}$

Дельта-входной сигнал

Когда входной сигнал является дельта-функцией, поскольку он не равен нулю только при t=0 и содержит бесконечные частотные компоненты, его распределение по времени и частоте должно быть вертикальной линией через начало координат. Это означает, что распределение по времени и частоте дельта-функции также должно быть дельта-функцией. По WDF

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\delta \left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=4\int _{-\infty }^{\infty }\delta (2t+\tau )\delta (2t-\tau )e^{-i2\pi \tau f}\,d\tau \\&=4\delta (4t)e^{i4\pi tf}\\&=\delta (t)e^{i4\pi tf}\\&=\delta (t).\end{aligned}}}$

Функция распределения Вигнера лучше всего подходит для частотно-временного анализа, когда фаза входного сигнала имеет 2-й порядок или ниже. Для таких сигналов WDF может точно генерировать частотно-временное распределение входного сигнала.

Функция Boxcar

${\displaystyle x(t)={\begin{cases}1&|t|<1/2\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\qquad }$,

прямоугольная функция ⇒

${\displaystyle W_{x}(t,f)={\begin{cases}{\frac {1}{\pi f}}\sin(2\pi f\{1-2|t|\})&|t|<1/2\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

Свойство перекрестного термина

Функция распределения Вигнера не является линейным преобразованием. Перекрестный член («такты времени») возникает, когда во входном сигнале присутствует более одного компонента, аналогичного по времени частотным тактам . ^[1] В предковой физике распределении квазивероятности Вигнера этот член имеет важные и полезные физические следствия, необходимые для точных значений ожидания. Напротив, кратковременное преобразование Фурье не имеет этой особенности. Отрицательные особенности ВДФ отражают предел Габора классического сигнала и физически не связаны с какой-либо возможной основой квантовой структуры.

Ниже приведены некоторые примеры, демонстрирующие перекрестную особенность функции распределения Вигнера.

• ${\displaystyle x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t)&t\leq -2\\\cos(4\pi t)&-2<t\leq 2\\\cos(3\pi t)&t>2\end{cases}}}$
• ${\displaystyle x(t)=e^{it^{3}}}$

Для уменьшения перекрестной трудности в литературе было предложено несколько подходов ^{[2] [3],} некоторые из которых привели к новым преобразованиям, таким как модифицированная функция распределения Вигнера , преобразование Габора–Вигнера , функция распределения Чои–Вильямса и распределение классов Коэна .

Свойства функции распределения Вигнера

Функция распределения Вигнера обладает несколькими очевидными свойствами, перечисленными в следующей таблице.

Проекционное свойство

${\displaystyle {\begin{aligned}|x(t)|^{2}&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,df\\|X(f)|^{2}&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,dt\end{aligned}}}$

Энергетическая собственность

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,df\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}\,df}$

Восстановление собственности

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}\left({\frac {t}{2}},f\right)e^{i2\pi ft}\,df&=x(t)x^{*}(0)\\\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}\left(t,{\frac {f}{2}}\right)e^{i2\pi ft}\,dt&=X(f)X^{*}(0)\end{aligned}}}$

Средняя частота состояний и среднее время состояний

${\displaystyle {\begin{aligned}X(f)&=|X(f)|e^{i2\pi \psi (f)},\quad x(t)=|x(t)|e^{i2\pi \phi (t)},\\{\text{if }}\phi '(t)&=|x(t)|^{-2}\int _{-\infty }^{\infty }fW_{x}(t,f)\,df\\{\text{ and }}-\psi '(f)&=|X(f)|^{-2}\int _{-\infty }^{\infty }tW_{x}(t,f)\,dt\end{aligned}}}$

Свойства момента

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }t^{n}W_{x}(t,f)\,dt\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }t^{n}|x(t)|^{2}\,dt\\\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f^{n}W_{x}(t,f)\,dt\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }f^{n}|X(f)|^{2}\,df\end{aligned}}}$

Недвижимость

${\displaystyle W_{x}^{*}(t,f)=W_{x}(t,f)}$

Свойства региона

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}x(t)&=0{\text{ for }}t>t_{0}{\text{ then }}W_{x}(t,f)=0{\text{ for }}t>t_{0}\\{\text{If }}x(t)&=0{\text{ for }}t<t_{0}{\text{ then }}W_{x}(t,f)=0{\text{ for }}t<t_{0}\end{aligned}}}$

Теорема умножения

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=x(t)h(t)\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,\rho )W_{h}(t,f-\rho )\,d\rho \end{aligned}}}$

Теорема о свертке

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )h(\tau )\,d\tau \\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\rho ,f)W_{h}(t-\rho ,f)\,d\rho \end{aligned}}}$

Теорема корреляции

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau )h^{*}(\tau )\,d\tau {\text{ then }}\\W_{y}(t,\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\rho ,\omega )W_{h}(-t+\rho ,\omega )\,d\rho \end{aligned}}}$

Ковариация сдвига во времени

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=x(t-t_{0})\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(t-t_{0},f)\end{aligned}}}$

Ковариация модуляции

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=e^{i2\pi f_{0}t}x(t)\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(t,f-f_{0})\end{aligned}}}$

Масштабная ковариация

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&={\sqrt {a}}x(at){\text{ for some }}a>0{\text{ then }}\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(at,{\frac {f}{a}})\end{aligned}}}$

Функция распределения Вигнера с оконным методом

Когда сигнал не ограничен по времени, его функцию распределения Вигнера трудно реализовать. Таким образом, мы добавляем новую функцию (маску) к его части интегрирования, так что нам нужно реализовать только часть исходной функции вместо того, чтобы интегрировать весь путь от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности. Исходная функция: Функция с маской: является реальной и ограниченной по времени ${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$ ${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$ ${\displaystyle w(\tau )}$

Выполнение

Согласно определению:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\W_{x}(t,f)=2\int _{-\infty }^{\infty }w(2\tau ')x\left(t+\tau '\right)\cdot x^{*}\left(t-\tau '\right)e^{-j4\pi \tau 'f}\cdot d\tau '\\W_{x}(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=2\sum _{p=-\infty }^{\infty }w(2p\Delta _{t})x((n+p)\Delta _{t})x^{\ast }((n-p)\Delta _{t})e^{-j4\pi mp\Delta _{t}\Delta _{f}}\Delta _{t}\end{aligned}}}$

Предположим, что для и ${\displaystyle w(t)=0}$ ${\displaystyle |t|>B\rightarrow w(2p\Delta _{t})=0}$ ${\displaystyle p<-Q}$ ${\displaystyle p>Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=2\sum _{p=-Q}^{Q}w(2p\Delta _{t})x((n+p)\Delta _{t})x^{\ast }((n-p)\Delta _{t})e^{-j4\pi mp\Delta _{t}\Delta _{f}}\Delta _{t}\end{aligned}}}$

Мы берем в качестве примера ${\displaystyle x(t)=\delta (t-t_{1})+\delta (t-t_{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \,,\end{aligned}}}$

где действительная функция ${\displaystyle w(\tau )}$

А затем мы сравниваем разницу между двумя условиями.

Идеально: ${\displaystyle W_{x}(t,f)=0,{\text{ for }}t\neq t_{2},t_{1}}$

Когда функция маски активна , это означает отсутствие функции маски. ${\displaystyle w(\tau )=1}$

${\displaystyle y(t,\tau )=x(t+{\frac {\tau }{2}})}$ ${\displaystyle y^{*}(t,-\tau )=x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}d\tau }$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }[\delta (t+{\frac {\tau }{2}}-t_{1})+\delta (t+{\frac {\tau }{2}}-t_{2})][\delta (t-{\frac {\tau }{2}}-t_{1})+\delta (t-{\frac {\tau }{2}}-t_{2})]e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$

${\displaystyle =4\int _{-\infty }^{\infty }[\delta (2t+\tau -2t_{1})+\delta (2t+\tau -2t_{2})][\delta (2t-\tau -2t_{1})+\delta (2t-\tau -2t_{2})]e^{j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$

3 условия

Затем рассмотрим условие с функцией маски:

Мы видим, что имеют значение только между –B и B, таким образом, проведение с может удалить перекрестный член функции. Но если x(t) не является дельта-функцией или узкочастотной функцией, вместо этого это функция с широкой частотой или пульсацией. Край сигнала может все еще существовать между –B и B, что все еще вызывает проблему перекрестного члена. ${\displaystyle w(\tau )}$ ${\displaystyle w(\tau )}$

например:

Смотрите также

• Частотно-временное представление
• Кратковременное преобразование Фурье
• Спектрограмма
• преобразование Габора
• Автокорреляция
• Преобразование Габора–Вигнера
• Модифицированная функция распределения Вигнера
• Теорема оптической эквивалентности
• Полиномиальное распределение Вигнера–Вилля
• Функция распределения классов Коэна
• Распределение квазивероятности Вигнера
• Преобразование между распределениями в частотно-временном анализе
• Билинейная зависимость частоты от времени

Ссылки

1. Ф. Хлаватч и П. Фландрин, «Структура интерференции распределения Вигнера и связанные с ним представления сигналов во времени и частоте», в книге В. Мекленбройкер и Ф. Хлаватч, Распределение Вигнера — теория и применение в обработке сигналов
2. Б. Боашах (ред.), Анализ и обработка частотно-временных сигналов , Elsevier, 2003
3. П. Фландрен, Анализ частоты времени/шкалы времени , Elsevier, 1998

Дальнейшее чтение

• Вигнер, Э. (1932). «О квантовой поправке для термодинамического равновесия» (PDF) . Physical Review . 40 (5): 749–759. Bibcode :1932PhRv...40..749W. doi :10.1103/PhysRev.40.749. hdl :10338.dmlcz/141466.
• Ж. Виль, 1948. «Теория и применение понятия анализа сигналов», Câbles et Transmission , 2 , 61–74.
• TACM Classen и WFG Mecklenbrauker, 1980. «Распределение Вигнера — инструмент для частотно-временного анализа сигналов; Часть I», Philips J. Res., т. 35, стр. 217–250.
• Л. Коэн (1989): Труды IEEE 77 стр. 941–981, Частотно-временные распределения --- обзор
• Л. Коэн, Частотно-временной анализ , Prentice-Hall, Нью-Йорк, 1995. ISBN 978-0135945322 
• С. Цянь и Д. Чен, Совместный частотно-временной анализ: методы и приложения , Глава 5, Prentice Hall, Нью-Джерси, 1996.
• B. Boashash, «Note on the Use of the Wigner Distribution for Time-Frequency Signal Analysis», IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing , Vol. 36 , No. 9, pp. 1518–1521, Sept. 1988. doi :10.1109/29.90380. B. Boashash, редактор, Time-Frequency Signal Analysis and Processing – A Comprehensive Reference , Elsevier Science, Oxford, 2003, ISBN 0-08-044335-4 . 
• Ф. Хлаватч, Г. Ф. Будро-Бартельс : «Линейное и квадратичное представление сигнала по времени и частоте», Журнал обработки сигналов IEEE, стр. 21–67, апрель 1992 г.
• RL Allen и DW Mills, Анализ сигналов: время, частота, масштаб и структура , Wiley-Interscience, Нью-Джерси, 2004.
• Цзянь-Цзюнь Дин, Заметки к занятиям по частотно-временному анализу и вейвлет-преобразованию, Кафедра электротехники, Национальный тайваньский университет (NTU), Тайбэй, Тайвань, 2015.
• Какофенгитис, Д. и Штойернагель, О. (2017). «Ток квантового фазового пространства Вигнера в слабоангармонических слабовозбужденных двухуровневых системах» European Physical Journal Plus 14.07.2017

Внешние ссылки

• Sonogram Visible Speech — бесплатное программное обеспечение под лицензией GPL для визуального извлечения дистрибутива Вигнера.