Во многих областях науки закон Брэгга , условие Вульфа -Брэгга или интерференция Лауэ-Брэгга являются частным случаем дифракции Лауэ , определяя углы когерентного рассеяния волн на большой кристаллической решетке. Он описывает, как суперпозиция волновых фронтов, рассеянных плоскостями решетки, приводит к строгой зависимости между длиной волны и углом рассеяния. Этот закон изначально был сформулирован для рентгеновских лучей, но он также применим ко всем типам волн материи , включая нейтронные и электронные волны, если имеется большое количество атомов, а также к видимому свету с искусственными периодическими микромасштабными решетками.
Дифракция Брэгга (также называемая брэгговской формулировкой дифракции рентгеновских лучей ) была впервые предложена Лоуренсом Брэггом и его отцом Уильямом Генри Брэггом в 1913 году [1] после того, как они открыли, что кристаллические твердые тела производят удивительные картины отраженных рентгеновских лучей ( в отличие от тех, которые производятся, например, с жидкостью). Они обнаружили, что эти кристаллы при определенных длинах волн и углах падения производят интенсивные пики отраженного излучения.
Лоуренс Брэгг объяснил этот результат, смоделировав кристалл как набор дискретных параллельных плоскостей, разделенных постоянным параметром d . Он предположил, что падающее рентгеновское излучение будет создавать пик Брэгга, если отражения от различных плоскостей будут конструктивно интерферировать. Интерференция является конструктивной, когда разность фаз волны, отраженной от разных атомных плоскостей, кратна 2π ; это условие (см. раздел «Условия Брэгга » ниже) было впервые представлено Лоуренсом Брэггом 11 ноября 1912 года Кембриджскому философскому обществу . [2] Несмотря на свою простоту, закон Брэгга подтвердил существование реальных частиц на атомном уровне, а также предоставил новый мощный инструмент для изучения кристаллов . Лоуренс Брэгг и его отец Уильям Генри Брэгг были удостоены Нобелевской премии по физике в 1915 году за работу по определению кристаллических структур, начиная с NaCl , ZnS и алмаза . [3] Это единственная команда отца и сына, которая выиграла вместе.
Понятие брэгговской дифракции применимо в равной степени к дифракции нейтронов [4] и приблизительно к дифракции электронов . [5] В обоих случаях длины волн сравнимы с межатомными расстояниями (~ 150 пм). Было также показано, что многие другие типы материальных волн дифрагируют, [6] [7] , а также свет от объектов с более крупной упорядоченной структурой, таких как опалы . [8]
Дифракция Брэгга возникает, когда излучение с длиной волны λ , сравнимой с расстоянием между атомами, зеркально рассеивается (зеркальное отражение) плоскостями атомов в кристаллическом материале и подвергается конструктивной интерференции. [10] Когда рассеянные волны падают под определенным углом, они остаются в фазе и конструктивно интерферируют . Угол скольжения θ (см. рисунок справа и обратите внимание, что он отличается от соглашения в законе Снелла , где θ измеряется от нормали к поверхности), длина волны λ и «постоянная решётки» d кристалла связаны отношение: [11] : 1026
Карта интенсивностей рассеянных волн в зависимости от их угла называется дифракционной картиной. Сильные интенсивности, известные как пики Брэгга, получаются на дифракционной картине, когда углы рассеяния удовлетворяют условию Брэгга. Это частный случай более общих уравнений Лауэ , и можно показать, что уравнения Лауэ сводятся к условию Брэгга с дополнительными предположениями. [13]
Предположим, что плоская волна (любого типа) падает на плоскости узлов решетки с расстоянием между ними под углом, показанным на рисунке. Точки А и С лежат в одной плоскости, а В — в плоскости ниже. Точки ABCC' образуют четырехугольник .
Будет разница в пути между лучом , который отражается вдоль AC' , и лучом, который проходит вдоль AB , а затем отражается вдоль BC . Эта разница в пути
Две отдельные волны придут в точку (бесконечно далеко от этих плоскостей решетки) с одинаковой фазой и, следовательно, подвергнутся конструктивной интерференции тогда и только тогда, когда эта разность хода равна любому целому значению длины волны , т.е.
где и – целое число и длина волны падающей волны соответственно.
Следовательно, из геометрии
из чего следует, что
Собрав все вместе,
что упрощает закон Брэгга, показанный выше.
Если бы дифрагировали только две плоскости атомов, как показано на рисунке, то переход от конструктивной интерференции к деструктивной был бы постепенным в зависимости от угла, с пологими максимумами при углах Брэгга. Однако, поскольку в большинстве реальных материалов участвует множество атомных плоскостей, типичны острые пики. [5] [13]
Доступен строгий вывод из более общих уравнений Лауэ (см. страницу: Уравнения Лауэ ).
Условие Брэгга справедливо для очень больших кристаллов. Поскольку рассеяние рентгеновских лучей и нейтронов относительно слабое, во многих случаях используются довольно крупные кристаллы размером 100 нм и более. Хотя могут быть дополнительные эффекты из-за дефектов кристалла , они часто весьма малы. Напротив, электроны взаимодействуют с твердыми телами в тысячи раз сильнее, чем рентгеновские лучи, [5] и также теряют энергию ( неупругое рассеяние ). [14] Поэтому образцы, используемые в дифракции электронов на просвечивание , намного тоньше. Типичные дифракционные картины, например рисунок, показывают пятна разных направлений ( плоские волны ) электронов, покидающих кристалл. Углы, предсказываемые законом Брэгга, все еще примерно правильные, но в целом существует решетка пятен, близкая к проекциям обратной решетки , расположенная под прямым углом к направлению электронного луча. (Напротив, закон Брэгга предсказывает, что будет присутствовать только один или, возможно, два, а не десятки или сотни одновременно.) При дифракции низкоэнергетических электронов , где энергия электронов обычно составляет 30-1000 электрон-вольт , результат аналогичен отражению электронов. назад от поверхности. [15] Аналогичной является и дифракция быстрых электронов при отражении , которая обычно приводит к образованию колец дифракционных пятен. [16]
В рентгеновских лучах эффект наличия мелких кристаллов описывается уравнением Шеррера . [13] [17] [18] Это приводит к уширению пиков Брэгга, что можно использовать для оценки размера кристаллов.
Коллоидный кристалл представляет собой высокоупорядоченный массив частиц, образующийся на большом расстоянии (от нескольких миллиметров до одного сантиметра в длину); Коллоидные кристаллы имеют внешний вид и свойства, примерно аналогичные своим атомным или молекулярным аналогам. [8] Уже много лет известно, что из-за отталкивающих кулоновских взаимодействий электрически заряженные макромолекулы в водной среде могут проявлять дальнодействующие кристаллоподобные корреляции, при этом расстояния между частицами часто значительно превышают диаметр отдельной частицы. Периодические массивы сферических частиц создают межузельные пустоты (пространства между частицами), которые действуют как естественная дифракционная решетка для видимых световых волн , когда межузельное расстояние имеет тот же порядок величины, что и падающая световая волна. [19] [20] [21] В этих случаях блестящая переливчатость (или игра цветов) объясняется дифракцией и конструктивной интерференцией видимых световых волн в соответствии с законом Брэгга, что аналогично рассеянию рентгеновских лучей в кристаллическом твердом теле. . Эффекты происходят в видимых длинах волн, поскольку межплоскостное расстояние d намного больше, чем в настоящих кристаллах. Драгоценный опал — один из примеров коллоидного кристалла с оптическими эффектами.
Объемные брэгговские решетки (ВБГ) или объемные голографические решетки (ВГР) состоят из объема, в котором происходит периодическое изменение показателя преломления . В зависимости от ориентации модуляции показателя преломления VBG может использоваться либо для передачи , либо для отражения небольшой полосы длин волн . [22] Закон Брэгга (адаптированный для объемной голограммы) определяет, какая длина волны будет дифрагировать: [23]
где m — порядок Брэгга (положительное целое число), λ B — дифрагированная длина волны, Λ — расстояние между полосами решетки, θ — угол между падающим лучом и нормалью ( N ) входной поверхности и φ — угол между нормалью и вектор решетки ( K G ). Излучение, не подчиняющееся закону Брэгга, пройдет через ВБГ без дифрагии. Выходную длину волны можно настроить на несколько сотен нанометров, изменяя угол падения ( θ ). VBG используются для создания широко настраиваемых лазерных источников или для создания глобальных гиперспектральных изображений (см. «Фотон» и т. д. ). [23]
Измерение углов можно использовать для определения кристаллической структуры; более подробную информацию см. в рентгеновской кристаллографии . [5] [13] В качестве простого примера можно использовать закон Брэгга, как указано выше, для получения шага решетки конкретной кубической системы с помощью следующего соотношения:
где — период решетки кубического кристалла , а h , k и ℓ — индексы Миллера плоскости Брэгга. Объединение этого соотношения с законом Брэгга дает:
Можно вывести правила выбора индексов Миллера для различных кубических решеток Браве, а также для многих других, некоторые из правил выбора приведены в таблице ниже.
Эти правила отбора можно использовать для любого кристалла с заданной кристаллической структурой. KCl имеет гранецентрированную кубическую решетку Браве . Однако ион K + и Cl- имеют одинаковое число электронов и достаточно близки по размерам, так что картина дифракции становится практически такой же, как и для простой кубической структуры с половиной параметра решетки . На правила выбора для других структур можно ссылаться в другом месте или на их основе . Шаг решеток для других кристаллических систем можно найти здесь .
{{cite book}}
: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ){{cite book}}
: CS1 maint: дата и год ( ссылка )