stringtranslate.com

Сходимость Громова – Хаусдорфа

В математике сходимость Громова–Хаусдорфа , названная в честь Михаила Громова и Феликса Хаусдорфа , — это понятие сходимости метрических пространств , которое является обобщением сходимости Хаусдорфа .

Расстояние Громова – Хаусдорфа

Насколько далеко и насколько близко находятся некоторые фигуры ниже расстояния Громова – Хаусдорфа.

Расстояние Громова–Хаусдорфа было введено Дэвидом Эдвардсом в 1975 году, [1] [2] , а позже оно было переоткрыто и обобщено Михаилом Громовым в 1981 году. [3] [4] Это расстояние измеряет, насколько далеки два компактных метрических пространства от изометрический . Если X и Y — два компактных метрических пространства, то d GH ( X , Y ) определяется как нижняя нижняя грань всех чисел d H ( f ( X ), g ( Y )) для всех (компактных) метрических пространств M и всех изометрические вложения f  :  X  →  M и g  :  Y  →  M . Здесь d H обозначает расстояние Хаусдорфа между подмножествами в M , а изометрическое вложение понимается в глобальном смысле, т.е. оно должно сохранять все расстояния, а не только бесконечно малые; например, ни одно компактное риманово многообразие не допускает такого вложения в евклидово пространство той же размерности.

Расстояние Громова–Хаусдорфа превращает множество всех классов изометрии компактных метрических пространств в метрическое пространство, называемое пространством Громова–Хаусдорфа, и, следовательно, определяет понятие сходимости последовательностей компактных метрических пространств, называемое сходимостью Громова–Хаусдорфа. Метрическое пространство, к которому сходится такая последовательность, называется пределом Громова–Хаусдорфа последовательности.

Некоторые свойства пространства Громова–Хаусдорфа.

Пространство Громова–Хаусдорфа линейно связно , полно и сепарабельно . [5] Это также геодезическая , т. е. любые две ее точки являются концами минимизирующей геодезической . [6] [7] В глобальном смысле пространство Громова–Хаусдорфа полностью неоднородно, т.е. его группа изометрий тривиальна, [8] но локально существует много нетривиальных изометрий. [9]

Заостренная сходимость Громова – Хаусдорфа.

Заостренная сходимость Громова–Хаусдорфа является аналогом сходимости Громова–Хаусдорфа, подходящим для некомпактных пространств. Заостренное метрическое пространство — это пара ( X , p ) , состоящая из метрического пространства X и точки p в X. Последовательность ( Xn ,pn ) точечных метрических пространств сходится к точечному метрическому пространству ( Y , p  ) , если для каждого R >  0 последовательность замкнутых R -шаров вокруг pn в Xn сходится к замкнутому R -шар вокруг p в Y в обычном смысле Громова – Хаусдорфа. [10]

Приложения

Понятие сходимости Громова–Хаусдорфа было использовано Громовым для доказательства того, что любая дискретная группа с полиномиальным ростом практически нильпотентна (т. е. содержит нильпотентную подгруппу конечного индекса ). См. теорему Громова о группах полиномиального роста . (См. также более раннюю работу Д. Эдвардса.) Ключевым моментом в доказательстве было наблюдение, что для графа Кэли группы с полиномиальным ростом последовательность масштабирования сходится в указанном смысле Громова – Хаусдорфа.

Другим простым и очень полезным результатом в римановой геометрии является теорема Громова о компактности , которая утверждает, что множество римановых многообразий с кривизной Риччи  ≥  c и диаметром  ≤  D относительно компактно в метрике Громова–Хаусдорфа. Предельные пространства являются метрическими пространствами. Дополнительные свойства пространств длин были доказаны Чигером и Колдингом . [11]

Метрика расстояния Громова – Хаусдорфа применялась в области компьютерной графики и вычислительной геометрии для поиска соответствий между различными формами. [12] Это также применялось в задаче планирования движения в робототехнике. [13]

Расстояние Громова – Хаусдорфа использовалось Сомани для доказательства устойчивости модели Фридмана в космологии. Эта модель космологии неустойчива относительно плавного изменения метрики. [14]

В частном случае концепция пределов Громова–Хаусдорфа тесно связана с теорией больших уклонений . [15]

Метрика расстояния Громова – Хаусдорфа использовалась в нейробиологии для сравнения сетей мозга. [16]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Дэвид А. Эдвардс, «Структура суперпространства», в «Исследованиях по топологии», Academic Press, 1975, pdf. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine.
  2. ^ Тужилин, Алексей А. (2016). «Кто изобрел расстояние Громова-Хаусдорфа?». arXiv : 1612.00728 [math.MG].
  3. ^ М. Громов. «Structures métriques pour les variétés riemanniennes», под редакцией Лафонтена и Пьера Пансю , 1981.
  4. ^ Громов, Михаил (1981). «Группы полиномиального роста и расширяющихся отображений (с приложением Жака Титса)». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 53 : 53–78. дои : 10.1007/BF02698687. МР  0623534. S2CID  121512559. Збл  0474.20018.
  5. ^ Д. Бураго, Ю. Бураго, С. Иванов, Курс метрической геометрии , AMS GSM 33, 2001.
  6. ^ Иванов, АО; Николаева, НК; Тужилин А.А. (2016). «Метрика Громова – Хаусдорфа в пространстве компактных метрических пространств строго внутренняя». Математические заметки . 100 (5–6): 883–885. arXiv : 1504.03830 . дои : 10.1134/S0001434616110298. S2CID  39754495.
  7. ^ Для подробного построения геодезических см. Чоудхури, Самир; Мемоли, Факундо (2016). «Явная геодезия в пространстве Громова-Хаусдорфа». arXiv : 1603.02385 [math.MG].
  8. ^ Иванов, Александр; Тужилин, Алексей (2018). «Группа изометрий пространства Громова--Хаусдорфа». arXiv : 1806.02100 [math.MG].
  9. ^ Иванов, Александр О.; Тужилин, Алексей А. (2016). «Локальная структура пространства Громова-Хаусдорфа вблизи конечных метрических пространств общего положения». arXiv : 1611.04484 [math.MG].
  10. ^ Беллаиш, Андре (1996). «Касательное пространство в субримановой геометрии». У Андре Беллаиша; Жан-Жак Рислер (ред.). Субриманова геометрия . Прогресс в математике. Том. 44. Базель: Биркхаузер. стр. 1–78 [56]. дои : 10.1007/978-3-0348-9210-0_1. ISBN 978-3-0348-9946-8.
  11. ^ Чигер, Джефф; Колдинг, Тобиас Х. (1997). «О строении пространств с ограниченной снизу кривизной Риччи. I». Журнал дифференциальной геометрии . 46 (3). дои : 10.4310/jdg/1214459974 .
  12. ^ Мемоли, Факундо; Сапиро, Гильермо (2004). «Сравнение облаков точек». Материалы симпозиума Eurographics/ACM SIGGRAPH 2004 г. по геометрической обработке - SGP '04 . п. 32. дои : 10.1145/1057432.1057436. ISBN 3905673134. S2CID  207156533.
  13. ^ Суккар, Фуад; Вакулич, Дженнифер; Ли, Ки Мён Брайан; Фитч, Роберт (11 сентября 2022 г.). «Планирование движения в пространстве задач с помощью приближений Громова-Хаусдорфа». arXiv : 2209.04800 [cs.RO].
  14. ^ Сормани, Кристина (2004). «Космология Фридмана и почти изотропия». Геометрический и функциональный анализ . 14 (4). arXiv : математика/0302244 . дои : 10.1007/s00039-004-0477-4. S2CID  53312009.
  15. ^ Котани, Мотоко; Сунада, Тошиказу (2006). «Большое отклонение и касательный конус на бесконечности кристаллической решетки». Mathematische Zeitschrift . 254 (4): 837–870. дои : 10.1007/s00209-006-0951-9. S2CID  122531716.
  16. ^ Ли, Хекён; Чунг, Му К.; Кан, Хеджин; Ким, Бунг-Нюн; Ли, Дон Су (2011). «Вычисление формы мозговых сетей с использованием фильтрации графов и метрики Громова-Хаусдорфа». Вычисление медицинских изображений и компьютерное вмешательство – MICCAI 2011 . Конспекты лекций по информатике. Том. 6892. стр. 302–309. дои : 10.1007/978-3-642-23629-7_37. ISBN 978-3-642-23628-0. ПМИД  21995042.