В математике расстояние Чебышёва ( или расстояние Чебышёва ), максимальная метрика или метрика L∞ [1] — это метрика, определённая на действительном координатном пространстве , где расстояние между двумя точками равно наибольшей из их разностей по любому координатному измерению. [2] Она названа в честь Пафнутия Чебышёва .
Его также называют расстоянием шахматной доски , поскольку в шахматной игре минимальное количество ходов, необходимое королю для перехода с одной клетки на шахматной доске на другую, равно расстоянию Чебышева между центрами клеток, если длина стороны клеток равна единице, что представлено в двумерных пространственных координатах с осями, выровненными по краям доски. [3] Например, расстояние Чебышева между f6 и e2 равно 4.
Расстояние Чебышева между двумя векторами или точками x и y со стандартными координатами и , соответственно, равно
Это равно пределу метрики L p :
поэтому ее также называют метрикой L∞ .
Математически расстояние Чебышёва — это метрика, индуцированная супремум-нормой или равномерной нормой . Это пример инъективной метрики .
В двух измерениях, т.е. в плоской геометрии , если точки p и q имеют декартовы координаты и , их расстояние Чебышева равно
В этой метрике окружность радиуса r , представляющая собой множество точек, находящихся на чебышевском расстоянии r от центральной точки, представляет собой квадрат, стороны которого имеют длину 2r и параллельны осям координат.
На шахматной доске, где используется дискретное расстояние Чебышёва, а не непрерывное, окружность радиуса r представляет собой квадрат со стороной длиной 2 r, измеряемой от центров квадратов, и, таким образом, каждая сторона содержит 2 r +1 квадрат; например, окружность радиуса 1 на шахматной доске представляет собой квадрат 3×3.
В одном измерении все метрики L p равны — они представляют собой просто абсолютное значение разности.
Двумерное манхэттенское расстояние имеет «круги», т.е. множества уровней в форме квадратов со сторонами длиной √ 2 r , ориентированными под углом π/4 (45°) к осям координат, поэтому плоское расстояние Чебышёва можно рассматривать как эквивалентное посредством вращения и масштабирования (т.е. линейного преобразования ) плоскому манхэттенскому расстоянию.
Однако эта геометрическая эквивалентность между метриками L 1 и L ∞ не распространяется на более высокие измерения. Сфера, образованная с использованием расстояния Чебышева в качестве метрики, является кубом , каждая грань которого перпендикулярна одной из осей координат, но сфера, образованная с использованием манхэттенского расстояния, является октаэдром : это двойственные многогранники , но среди кубов только квадрат (и одномерный отрезок прямой) являются самодвойственными многогранниками . Тем не менее, верно, что во всех конечномерных пространствах метрики L 1 и L ∞ математически двойственны друг другу.
На сетке (например, шахматной доске) точки, находящиеся на расстоянии Чебышева, равном 1 от точки, являются окрестностью Мура этой точки.
Расстояние Чебышева является предельным случаем расстояния порядка Минковского , когда стремится к бесконечности .
Расстояние Чебышева иногда используется в складской логистике [4] , поскольку оно эффективно измеряет время, которое требуется мостовому крану для перемещения объекта (поскольку кран может перемещаться по осям x и y одновременно, но с одинаковой скоростью вдоль каждой оси).
Он также широко используется в электронных приложениях автоматизированного производства (CAM) , в частности, в алгоритмах оптимизации для них. Многие инструменты, такие как плоттеры или сверлильные машины, фотоплоттеры и т. д., работающие в плоскости, обычно управляются двумя двигателями в направлениях x и y, подобно мостовым кранам. [5]
Для пространства последовательностей бесконечной длины действительных или комплексных чисел расстояние Чебышева обобщается до -нормы ; эта норма иногда называется нормой Чебышева. Для пространства (действительных или комплекснозначных) функций расстояние Чебышева обобщается до равномерной нормы .
