В математической логике ( индуцированная ) подструктура или ( индуцированная ) подалгебра — это структура , область определения которой является подмножеством большей структуры, и чьи функции и отношения ограничены областью определения подструктуры. Некоторые примеры подалгебр — это подгруппы , подмоноиды , подкольца , подполя , подалгебры алгебр над полем или индуцированные подграфы . Сдвигая точку зрения, большая структура называется расширением или надстройкой своей подструктуры.
В теории моделей термин « субмодель » часто используется как синоним субструктуры, особенно когда контекст предполагает теорию, моделями которой являются обе структуры.
При наличии отношений (т. е. для таких структур, как упорядоченные группы или графы , сигнатура которых не функциональна) может иметь смысл ослабить условия на подалгебре, так что отношения на слабой подструктуре (или слабой подалгебре ) будут в лучшем случае теми, которые индуцированы из большей структуры. Подграфы являются примером, где различие имеет значение, и термин «подграф» действительно относится к слабым подструктурам. Упорядоченные группы , с другой стороны, обладают особым свойством, что каждая подструктура упорядоченной группы, которая сама является упорядоченной группой, является индуцированной подструктурой.
Для двух структур A и B одинаковой сигнатуры σ говорят, что A является слабой подструктурой B или слабой подалгеброй B , если
Говорят, что A является подструктурой B или подалгеброй B , если A является слабой подалгеброй B и , более того,
Если A является подструктурой B , то B называется надстройкой A или , особенно если A является индуцированной подструктурой , расширением A.
В языке, состоящем из бинарных функций + и ×, бинарного отношения < и констант 0 и 1, структура ( Q , +, ×, <, 0, 1) является подструктурой ( R , +, ×, <, 0, 1). В более общем смысле, подструктуры упорядоченного поля (или просто поля ) являются в точности его подполями. Аналогично, в языке (×, −1 , 1) групп подструктуры группы являются ее подгруппами . Однако в языке (×, 1) моноидов подструктуры группы являются ее подмоноидами . Они не обязательно должны быть группами; и даже если они являются группами, они не обязательно должны быть подгруппами.
Подкольца — это подструктуры колец , а подалгебры — это подструктуры алгебр над полем .
В случае графов (в сигнатуре, состоящей из одного бинарного отношения) подграфы , а его слабые подструктуры являются именно его подграфами.
Для каждой сигнатуры σ индуцированные подструктуры σ-структур являются подобъектами в конкретной категории σ-структур и сильных гомоморфизмов (а также в конкретной категории σ-структур и σ- вложений ). Слабые подструктуры σ-структур являются подобъектами в конкретной категории σ-структур и гомоморфизмов в обычном смысле.
В теории моделей, если задана структура M , которая является моделью теории T , подмоделью M в более узком смысле является подструктура M , которая также является моделью T. Например, если T — теория абелевых групп в сигнатуре (+, 0), то подмодели группы целых чисел ( Z , +, 0) являются подструктурами, которые также являются абелевыми группами. Таким образом, натуральные числа ( N , +, 0) образуют подструктуру ( Z , +, 0), которая не является подмоделью, в то время как четные числа (2 Z , +, 0) образуют подмодель.
Другие примеры:
В категории моделей теории и вложений между ними подмодели модели являются ее подобъектами .
