расширение HNN

Построение комбинаторной теории групп

В математике расширение HNN является важной конструкцией комбинаторной теории групп .

Введенный в 1949 году в статье Грэма Хигмана , Бернхарда Нейманна и Ханны Нейманн «Теоремы вложения групп ^{» [1]} , он вкладывает заданную группу G в другую группу G' таким образом, что две заданные изоморфные подгруппы группы G сопряжены (посредством заданного изоморфизма) в G' .

Строительство

Пусть G — группа с представлением , и пусть — изоморфизм между двумя подгруппами группы G. Пусть t — новый символ, не входящий в S , и определим ${\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle \alpha \colon H\to K}$

${\displaystyle G*_{\alpha }=\left\langle S,t\mid R,tht^{-1}=\alpha (h),\forall h\in H\right\rangle .}$

Группа называется расширением HNN группы G относительно α. Исходная группа G называется базовой группой для построения, а подгруппы H и K — ассоциированными подгруппами . Новый генератор t называется стабильной буквой . ${\displaystyle G*_{\alpha }}$

Ключевые свойства

Поскольку представление для содержит все образующие и соотношения из представления для G , существует естественный гомоморфизм, индуцированный отождествлением образующих, который переводит G в . Хигман, Нойман и Нойман доказали, что этот морфизм является инъективным, то есть вложением G в . Следствием этого является то, что две изоморфные подгруппы данной группы всегда сопряжены в некоторой надгруппе ; желание показать это было изначальной мотивацией для построения. ${\displaystyle G*_{\alpha }}$ ${\displaystyle G*_{\alpha }}$ ${\displaystyle G*_{\alpha }}$

Лемма Бриттона

Ключевым свойством HNN-расширений является теорема о нормальной форме, известная как лемма Бриттона . ^[2] Пусть будет таким же, как и выше, и пусть w будет следующим произведением в : ${\displaystyle G*_{\alpha }}$ ${\displaystyle G*_{\alpha }}$

${\displaystyle w=g_{0}t^{\varepsilon _{1}}g_{1}t^{\varepsilon _{2}}\cdots g_{n-1}t^{\varepsilon _{n}}g_{n},\qquad g_{i}\in G,\varepsilon _{i}=\pm 1.}$

Тогда лемму Бриттона можно сформулировать следующим образом:

Лемма Бриттона. Если w = 1 в G ∗ _α , то

• либо и g ₀ = 1 в G ${\displaystyle n=0}$
• или и для некоторого i ∈ {1, ..., n −1} выполняется одно из следующих условий: ${\displaystyle n>0}$

1. ε _{i = 1 ,} ε _{i +1} = −1, gi ∈ H ,
2. ε _i = −1, ε _{i +1} = 1, g _i ∈ K .

В контрапозитивных терминах лемма Бриттона принимает следующую форму:

Лемма Бриттона (альтернативная форма). Если w таково, что

• либо и g ₀ ≠ 1 ∈ G , ${\displaystyle n=0}$
• или и произведение w не содержит подстрок вида tht ⁻¹ , где h ∈ H и вида t ⁻¹ kt , где k ∈ K , ${\displaystyle n>0}$

затем в . ${\displaystyle w\neq 1}$ ${\displaystyle G*_{\alpha }}$

Следствия леммы Бриттона

Большинство основных свойств HNN-расширений вытекают из леммы Бриттона. Эти следствия включают следующие факты:

• Естественный гомоморфизм из G в является инъективным, поэтому мы можем рассматривать как содержащую G как подгруппу . ${\displaystyle G*_{\alpha }}$ ${\displaystyle G*_{\alpha }}$
• Каждый элемент конечного порядка в сопряжен с элементом из G. ${\displaystyle G*_{\alpha }}$
• Каждая конечная подгруппа группы G сопряжена с конечной подгруппой группы G. ${\displaystyle G*_{\alpha }}$
• Если содержит элемент такой, что не содержится ни в , ни для любого целого числа , то содержит подгруппу, изоморфную свободной группе ранга два. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{k}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G*_{\alpha }}$

Приложения и обобщения

Применительно к алгебраической топологии расширение HNN строит фундаментальную группу топологического пространства X , которое было «склеено» само на себя отображением f : X → X (см., например, Поверхностное расслоение над окружностью ). Таким образом, расширения HNN описывают фундаментальную группу самосклеенного пространства таким же образом, как свободные произведения с объединением делают для двух пространств X и Y , склеенных вдоль связного общего подпространства, как в теореме Зейферта-ван Кампена . Эти две конструкции позволяют описать фундаментальную группу любого разумного геометрического склеивания. Это обобщается в теорию Басса–Серра групп, действующих на деревьях, строя фундаментальные группы графов групп . ^{[3] [4]}

HNN-расширения играют ключевую роль в доказательстве Хигмана теоремы вложения Хигмана , которая утверждает, что каждая конечно порождённая рекурсивно представленная группа может быть гомоморфно вложена в конечно представленную группу . Большинство современных доказательств теоремы Новикова–Буна о существовании конечно представленной группы с алгоритмически неразрешимой проблемой тождества также в значительной степени используют HNN-расширения.

Идея расширения HNN была распространена на другие части абстрактной алгебры , включая теорию алгебры Ли .

Смотрите также

• Расширение группы

Ссылки

1. Хигман, Грэм ; Нойман, Бернхард Х.; Нойман , Ханна (1949). «Теоремы вложения для групп». Журнал Лондонского математического общества . s1-24 (4): 247–254. doi :10.1112/jlms/s1-24.4.247.
2. Роджер К. Линдон и Пол Э. Шупп . Комбинаторная теория групп. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2001. Серия "Classics in Mathematics", переиздание издания 1977 года. ISBN 978-3-540-41158-1 ; Гл. IV. Свободные продукты и расширения HNN. 
3. Серр, Жан-Пьер (1980), Деревья. Перевод с французского Джона Стиллвелла , Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 3-540-10103-9
4. Уоррен Дикс; М. Дж. Данвуди. Группы, действующие на графах . стр. 14. Фундаментальная группа графов групп может быть получена путем последовательного выполнения одного свободного произведения с объединением для каждого ребра в максимальном поддереве, а затем одного расширения HNN для каждого ребра, не входящего в максимальное поддерево.