Норма поля

В математике норма ( поля ) — это особое отображение, определенное в теории поля , которое отображает элементы большего поля в подполе.

Формальное определение

Пусть K — поле , а L — конечное расширение ( и , следовательно, алгебраическое расширение ) поля K.

Поле L тогда является конечномерным векторным пространством над K .

Умножение на α , элемент L ,

m_{\alpha }\двоеточие от L\до L

m_{\alpha }(x)=\alpha x

является K - линейным преобразованием этого векторного пространства в себя.

Норма N L _/_K₍α ) определяется как определитель этого линейного преобразования . ^[1]

Если L / K — расширение Галуа , можно вычислить норму α ∈ L как произведение всех Галуа, сопряженных к α :

\operatorname {N} _{L/K}(\alpha)=\prod _ {\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha),

где Gal( L / K ) обозначает группу Галуа L / K . ^[2] (Обратите внимание, что в условиях продукта могут быть повторения.)

Для общего расширения поля L / K и ненулевого α в L пусть σ1 ( α ), ..., σn ₍ α ) — корни минимального многочлена от α над K (корни _, перечисленные с кратностью и лежащие в некоторое поле расширения L ); затем

\operatorname {N} _{L/K}(\alpha)=\left(\prod _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha)\right)^{[ Л:К(\альфа)]}

Если L / K сепарабельна , то каждый корень появляется в произведении только один раз (хотя показатель степени, степень [ L : K ( α ) ], все равно может быть больше 1).

Примеры

Расширения квадратичных полей

Одним из основных примеров норм являются расширения квадратичных полей , где – целое число без квадратов. $\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q}$ $а$

Тогда карта умножения на элемент равна ${\sqrt {a}}$ $x+y\cdot {\sqrt {a}}$

{\sqrt {a}}\cdot (x+y\cdot {\sqrt {a}}) = y\cdot a+x\cdot {\sqrt {a}}.

Элемент может быть представлен вектором $x+y\cdot {\sqrt {a}}$

{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},

поскольку существует разложение в прямую сумму как -векторное пространство. $\mathbb {Q} ({\sqrt {a}}) = \mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {a}}$ $\mathbb {Q}$

Тогда матрица $m_{\sqrt {a}}$

m_{\sqrt {a}}={\begin{bmatrix}0&a\\1&0\end{bmatrix}}

и нормой является , так как это определитель этой матрицы . $N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {a}})=-a$

Норма Q(√2)

Рассмотрим числовое поле . $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$

Группа Галуа имеет порядок и генерируется элементом, который отправляет данные в . Итак, норма : $K$ $\mathbb {Q}$ $d=2$ ${\sqrt {2}}$ $-{\sqrt {2}}$ $1+{\sqrt {2}}$

(1+{\sqrt {2}})(1-{\sqrt {2}})=-1.

Норму поля можно получить и без группы Галуа .

Исправьте -базис , скажем: $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$

\{1,{\sqrt {2}}\}

Затем умножение на число отправляет $1+{\sqrt {2}}$

1 до и

1+{\sqrt {2}}

{\sqrt {2}}

к .

2+{\sqrt {2}}

Таким образом, определитель «умножения на » — это определитель матрицы , которая отправляет вектор $1+{\sqrt {2}}$

{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}

(соответствующий первому базисному элементу, т. е. 1) до ,

{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}

(соответствующий второму базисному элементу, т.е. ) до ,

{\sqrt {2}}

{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}

а именно:

{\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}.

Определитель этой матрицы равен −1.

расширения корневого поля p

Другой простой класс примеров связан с расширениями полей , в которых факторизация простых чисел не содержит --й степени для фиксированного нечетного простого числа. $\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q}$ $a\in \mathbb {Q}$ $p$ $p$

Карта умножения на элемент: ${\sqrt[{p}]{a}}$

${\begin{aligned}m_{\sqrt[{p}]{a}}(x)&={\sqrt[{p}]{a}}\cdot (a_{0}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+\cdots +a_{p-1}{\sqrt[{p}]{a^{p-1}}})\\&=a_{0}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{3}}}+\cdots +a_{p-1}a\end{aligned}}$

давая матрицу

${\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&a\\1&0&\cdots &0&0\\0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}$

Определитель дает норму

N_{\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt[{p}]{a}})=(-1)^{p-1}a=a.

Комплексные числа над действительными

Норма поля от комплексных чисел к действительным числам отправляет

х + яу

х ² + у ² ,

потому что группа Галуа имеет два элемента, $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$

идентификационный элемент и
комплексное сопряжение,

и взятие продукта дает ( x + iy )( x - iy ) знак равно x ² + y ² .

Конечные поля

Пусть L = GF( qn ⁾ — конечное расширение конечного поля K = GF( q ).

Так как L / K является расширением Галуа , то если α находится в L , то норма α является произведением всех Галуа, сопряженных к α , т.е. ^[3]

\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{(q^{n}-1)/(q-1)}.

В этом случае у нас есть дополнительные свойства: ^[4]

$\forall \alpha \in L,\quad \operatorname {N} _{L/K}(\alpha ^{q})=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )$
$\forall a\in K,\quad \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{n}.$

Свойства нормы

Некоторые свойства нормальной функции справедливы для любого конечного расширения. ^[5]^[6]

Групповой гомоморфизм

Норма N _{L / K} : L * → K * — это групповой гомоморфизм мультипликативной группы L в мультипликативную группу K , то есть

\operatorname {N} _{L/K}(\alpha \beta )=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )\operatorname {N} _{L/K}(\beta ){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in L^{*}.

Более того, если a в K :

\operatorname {N} _{L/K}(a\alpha )=a^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(\alpha ){\text{ for all }}\alpha \in L.

Если a ∈ K , то $\operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{[L:K]}.$

Композиция с расширениями полей

Кроме того, норма хорошо себя ведет в башнях полей :

если M — конечное расширение L , то норма из M в K — это просто композиция нормы из M в L с нормой из L в K , т.е.

\operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}.

Снижение нормы

Норму элемента в произвольном расширении поля можно свести к более простому вычислению, если степень расширения поля уже известна. Это

$N_{L/K}(\alpha )=N_{K(\alpha )/K}(\alpha )^{[L:K(\alpha )]}$ ^[6]

Например, для расширения поля нормой является $\alpha ={\sqrt {2}}$ $L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}),K=\mathbb {Q}$ $\alpha$

${\begin{aligned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})&=N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})^{[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]}\\&=(-2)^{2}\\&=4\end{aligned}}$

так как степень расширения поля равна . $L/K(\alpha )$ $2$

Обнаружение юнитов

Для кольца целых чисел поля алгебраических чисел элемент является единицей тогда и только тогда, когда . ${\mathcal {O}}_{K}$ $K$ $\alpha \in {\mathcal {O}}_{K}$ $N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\pm 1$

Например

N_{\mathbb {Q} (\zeta _{3})/\mathbb {Q} }(\zeta _{3})=1

где

\zeta _{3}^{3}=1

Таким образом, любое числовое поле, кольцо целых чисел которого содержит , имеет его как единицу. $K$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $\zeta _{3}$

Дополнительные свойства

Норма целого алгебраического числа снова является целым числом, поскольку оно равно (с точностью до знака) постоянному члену характеристического многочлена.

В алгебраической теории чисел определяются также нормы идеалов . Это делается таким образом, что если I — ненулевой идеал кольца _OK , то кольцо целых чисел числового поля K , N ( I ) — это число классов вычетов в — т. е. мощность этого конечного кольца . Следовательно, эта идеальная норма всегда является положительным целым числом. $O_{K}/I$

Когда I — главный идеал αO _K, тогда N ( I ) равно абсолютному значению нормы Q для α , причем α — целое алгебраическое число .

Смотрите также

Примечания

^ Ротман 2002, с. 940
^ Ротман 2002, с. 943
^ Lidl & Niederreiter 1997, стр. 57
^ Маллен и Панарио 2013, стр. 21
^ Роман 2006, с. 151
^ аб Оггье. Введение в алгебраическую теорию чисел (PDF) . п. 15. Архивировано из оригинала (PDF) 23 октября 2014 г. Проверено 28 марта 2020 г.