В математике , а точнее в гомологической алгебре , лемма о расщеплении утверждает, что в любой абелевой категории следующие утверждения эквивалентны для короткой точной последовательности:
Если выполняется любое из этих утверждений, то последовательность называется точной разделенной последовательностью , а последовательность считается разделенной .
В приведенной выше короткой точной последовательности, где последовательность разделяется, это позволяет уточнить первую теорему об изоморфизме , которая гласит, что:
к:
где первая теорема об изоморфизме — это просто проекция на C.
Это категорное обобщение теоремы о ранге–ничтожности (в форме V ≅ ker T ⊕ im T ) в линейной алгебре .
Во-первых, чтобы показать, что 3. подразумевает как 1., так и 2., мы предполагаем 3. и берем в качестве t естественную проекцию прямой суммы на A , а в качестве u — естественную инъекцию C в прямую сумму.
Чтобы доказать , что 1. влечет 3., сначала отметим, что любой элемент B принадлежит множеству ( ker t + im q ). Это следует из того, что для всех b из B , b = ( b − qt ( b )) + qt ( b ) ; qt ( b ) принадлежит im q , а b − qt ( b ) принадлежит ker t , поскольку
Далее, пересечение im q и ker t равно 0, поскольку если существует a в A, такой что q ( a ) = b и t ( b ) = 0 , то 0 = tq ( a ) = a ; и, следовательно, b = 0 .
Это доказывает, что B является прямой суммой im q и ker t . Таким образом, для всех b из B , b может быть однозначно идентифицирован некоторыми a из A , k из ker t , такими, что b = q ( a ) + k .
По точности ker r = im q . Подпоследовательность B ⟶ C ⟶ 0 подразумевает, что r лежит на ; поэтому для любого c из C существует некоторый b = q ( a ) + k такой, что c = r ( b ) = r ( q ( a ) + k ) = r ( k ) . Следовательно, для любого c из C существует k из ker t такой, что c = r ( k ) и r (ker t ) = C .
Если r ( k ) = 0 , то k принадлежит im q ; поскольку пересечение im q и ker t = 0 , то k = 0. Следовательно, ограничение r : ker t → C является изоморфизмом; и ker t изоморфен C.
Наконец, im q изоморфен A ввиду точности 0 ⟶ A ⟶ B ; поэтому B изоморфен прямой сумме A и C , что доказывает (3).
Чтобы показать, что 2. влечет 3., мы следуем аналогичному рассуждению. Любой элемент B принадлежит множеству ker r + im u ; поскольку для всех b из B , b = ( b − ur ( b )) + ur ( b ) , что принадлежит ker r + im u . Пересечение ker r и im u равно 0 , поскольку если r ( b ) = 0 и u ( c ) = b , то 0 = ru ( c ) = c .
По точности, im q = ker r , и поскольку q является инъекцией , im q изоморфен A , поэтому A изоморфен ker r . Поскольку ru является биекцией , u является инъекцией, и, таким образом , im u изоморфен C . Таким образом, B снова является прямой суммой A и C .
Альтернативное « абстрактно-бессмысленное » доказательство леммы о расщеплении может быть сформулировано полностью в терминах теории категорий .
В изложенной здесь форме лемма о расщеплении не верна в полной категории групп , которая не является абелевой категорией.
Это частично верно: если короткая точная последовательность групп является левым расщеплением или прямой суммой (1. или 3.), то все условия выполнены. Для прямой суммы это ясно, так как можно сделать инъекцию из или спроецировать на слагаемые. Для левой расщепленной последовательности отображение t × r : B → A × C дает изоморфизм, поэтому B является прямой суммой (3.), и, таким образом, инвертирование изоморфизма и композиция с естественной инъекцией C → A × C дает инъекцию C → B, расщепляющую r (2.).
Однако, если короткая точная последовательность групп является правым расщеплением (2.), то она не обязательно должна быть левым расщеплением или прямой суммой (ни 1., ни 3. не следует): проблема в том, что образ правого расщепления не обязательно должен быть нормальным . В этом случае верно то, что B является полупрямым произведением , хотя в общем случае не является прямым произведением .
Чтобы сформировать контрпример, возьмем наименьшую неабелеву группу B ≅ S 3 , симметрическую группу из трех букв. Пусть A обозначает знакопеременную подгруппу , и пусть C = B / A ≅ {±1 }. Пусть q и r обозначают отображение включения и отображение знака соответственно, так что
является короткой точной последовательностью. 3. не выполняется, поскольку S 3 не является абелевым, но 2. выполняется: мы можем определить u : C → B, отображая генератор в любой двухцикл . Заметим для полноты, что 1. не выполняется: любое отображение t : B → A должно отображать каждый двухцикл в тождество , поскольку отображение должно быть групповым гомоморфизмом , в то время как порядок двухцикла равен 2, который не может быть разделен на порядок элементов в A, кроме единичного элемента, который равен 3, поскольку A является знакопеременной подгруппой S 3 , или, именно, циклической группой порядка 3. Но каждая перестановка является произведением двухциклов, поэтому t является тривиальным отображением, откуда tq : A → A является тривиальным отображением, а не тождественным.
