В математической теории конечных групп понятие регулярной p -группы охватывает некоторые из наиболее важных свойств абелевых p -групп , но является достаточно общим, чтобы включать большинство "малых" p -групп. Регулярные p -группы были введены Филлипом Холлом (1934).
Конечная p -группа G называется регулярной, если выполняется любое из следующих эквивалентных (Hall 1959, Ch. 12.4), (Huppert 1967, Kap. III §10) условий:
Многие известные p -группы являются регулярными:
Однако многие известные p -группы не являются регулярными:
P -группа является регулярной тогда и только тогда, когда каждая подгруппа, порожденная двумя элементами, является регулярной.
Каждая подгруппа и факторгруппа регулярной группы являются регулярными, но прямое произведение регулярных групп не обязательно является регулярным.
2-группа регулярна тогда и только тогда, когда она абелева. 3-группа с двумя образующими регулярна тогда и только тогда, когда ее производная подгруппа циклическая . Каждая p -группа нечетного порядка с циклической производной подгруппой регулярна.
Подгруппа p -группы G, порождённая элементами порядка, делящего p k , обозначается Ω k ( G ) , и регулярные группы ведут себя хорошо в том смысле, что Ω k ( G ) — это в точности множество элементов порядка, делящего p k . Подгруппа, порождённая всеми p k -ми степенями элементов в G, обозначается ℧ k ( G ) . В регулярной группе индекс [G:℧ k ( G )] равен порядку Ω k ( G ). Фактически, коммутаторы и степени взаимодействуют особенно простыми способами (Huppert 1967, Kap III §10, Satz 10.8). Например, если заданы нормальные подгруппы M и N регулярной p -группы G и неотрицательные целые числа m и n , то [℧ m ( M ),℧ n ( N )] = ℧ m + n ([ M , N ]).