Черновик:Прогулки по ординалам

В математике метод блужданий по ординалам , часто называемый минимальными блужданиями по ординалам , был изобретен и представлен Стево Тодорчевичем как часть его нового доказательства существования линии Кантримена в мае 1984 года.

Метод представляет собой инструмент для построения несчетных объектов (от теоретико-множественных деревьев до сепарабельных банаховых пространств ) путем использования анализа определенных убывающих последовательностей ординалов , известных как минимальные блуждания.

Формально этот метод можно описать следующим образом:

Пусть будет порядковым числом , а затем пусть будет другим числом, определяемым как ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta =\{\alpha :\alpha <\beta \}}$

Дальше

${\displaystyle {\begin{aligned}&0=\emptyset ;\\&1=\{0\};\\&2=\{0,1\};\\&\,\,\,\vdots \\&\omega =\{0,1,2,\ldots \};\\&\omega +1=\omega \cup \{\omega \};\\&\omega +2=\omega \cup \{\omega ,\omega +1\};\\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$

и нормальная форма Кантора для ординала — это где — ординалы, а — натуральные числа. Подробнее см. Порядковая арифметика . ${\displaystyle \alpha =n_{1}\omega ^{\alpha _{1}}+n_{2}\omega ^{\alpha _{2}}+\cdots +n_{k}\omega ^{\alpha _{k}}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}\geq \alpha _{2}\geq \cdots \geq \alpha _{k}\geq 0}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}}$

Ординалы из класса – в этом случае все ординалы находятся в нормальной форме Кантора и меньше . Для каждого предельного счетного ординала мы создадим последовательность такую, что для всех и такую, что для всех и когда является пределом. ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\{\alpha :\alpha =\omega ^{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}>\alpha _{2}>\cdots >\alpha _{k}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha <\varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle C_{\alpha }=\{c_{\alpha }(n):\alpha <\omega \}\subseteq \alpha }$ ${\displaystyle c_{\alpha +1}(n)=\alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle c_{\alpha }(n)<c_{\alpha }(n+1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha =\lim _{n\to \infty }c_{\alpha }(n)}$ ${\displaystyle \alpha }$

Минимальный шаг от к ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha <\beta }$

${\displaystyle \beta \curvearrowright c_{\beta }(n(\alpha ,\beta ))}$

где

${\displaystyle n(\alpha ,\beta )=\min\{n:c_{\beta }(n)\geq \alpha \}}$

Минимальный путь от к — это конечная убывающая последовательность ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \beta =\beta _{0}\curvearrowright \beta _{1}\curvearrowright \cdots \curvearrowright \beta _{k}=\alpha }$

такой, что для всех шаг является минимальным шагом от к , т.е. ${\displaystyle i<k}$ ${\displaystyle \beta _{i}\curvearrowright \beta _{i-1}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \beta _{i+1}=c_{\beta }(n(\alpha ,\beta _{i}))}$

Определение метода, данное выше, принадлежит Тодорчевичу. Различные, но эквивалентные определения метода можно найти в работах.

Многочисленные приложения метода были найдены в комбинаторной теории множеств , общей топологии и теории банаховых пространств .

Характеристики метода

Метод использования

Источники

• Тодорчевич, Стево (1987), «Разбиение пар счетных ординалов», Acta Mathematica , 159 (3–4): 261–294, doi :10.1007/BF02392561, MR  0908147
• Тодорчевич, Стево (2007), Прогулки по ординалам и их характеристики , Progress in Mathematics, т. 263, Базель: Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-8528-6, г-н  2355670
• Хадсон, Уильям Рассел (май 2007 г.), Минимальные прогулки и линии Countryman , диссертация магистра наук, Университет штата Бойсе
• Рино, Ассаф (2012), «Преобразование прямоугольников в квадраты с применением к сильным раскраскам», Advances in Mathematics , 231 (2): 1085–1099, doi :10.1016/j.aim.2012.06.013, MR  2955203
• Люкке, Филипп (2017), «Восходящие пути и воздействия, которые специализируют высшие деревья Ароншайна», Fundamenta Mathematicae , 239 (1): 51–84, doi :10.4064/fm224-11-2016, MR  3667758

С этим определением метода связаны три темы: определение эквивалентного метода (диссертация Хадсона на степень магистра наук), характеристики метода (Тодорчевич) и использование метода (последние две ссылки).

Однако тот, кто захочет поработать над этой заготовкой, может выбрать любые ссылки, затрагивающие три темы, перечисленные выше.