Сокращенный продукт

В теории моделей , разделе математической логики , и в алгебре редуцированное произведение — это конструкция, обобщающая как прямое произведение , так и ультрапроизведение .

Пусть { S _i  |  i  ∈  I } — непустое семейство структур одной и той же сигнатуры σ, индексированное множеством I , и пусть U — собственный фильтр на I. Областью определения приведенного произведения является частное декартова произведения

${\displaystyle \prod _{i\in I}S_{i}}$

по некоторому отношению эквивалентности  ~: два элемента ( a _i ) и ( b _i ) декартова произведения эквивалентны, если

${\displaystyle \left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in U}$

Если U содержит только I как элемент, отношение эквивалентности тривиально, и редуцированное произведение является просто прямым произведением. Если U является ультрафильтром , редуцированное произведение является ультрапроизведением.

Операции из σ интерпретируются на редуцированном произведении путем применения операции поточечно. Отношения интерпретируются с помощью

${\displaystyle R((a_{i}^{1})/{\sim },\dots ,(a_{i}^{n})/{\sim })\iff \{i\in I\mid R^{S_{i}}(a_{i}^{1},\dots ,a_{i}^{n})\}\in U.}$

Например, если каждая структура является векторным пространством , то редуцированное произведение является векторным пространством со сложением, определяемым как ( a  +  b ) _i  =  a _i  +  b _i, и умножением на скаляр c как ( ca ) _i =  c a _i .

Ссылки

• Чан, Чэнь Чанг ; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973]. Теория моделей . Исследования по логике и основаниям математики (3-е изд.). Elsevier. ISBN 978-0-444-88054-3., Глава 6.