Процесс валки леса

Случайный процесс

В теории вероятностей, касающейся случайных процессов , процесс Феллера является частным случаем марковского процесса .

Определения

Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство со счетной базой . Пусть C ₀ ( X ) обозначает пространство всех действительнозначных непрерывных функций на X , которые исчезают на бесконечности , снабженное sup-нормой || f  ||. Из анализа мы знаем, что C ₀ ( X ) с sup-нормой является банаховым пространством .

Полугруппа Феллера на C ₀ ( X ) — это набор { T _t } _{t  ≥ 0} положительных линейных отображений из C ₀ ( X ) в себя таких, что

• || T _t f  || ≤ || f  || для всех t  ≥ 0 и f из C ₀ ( X ), т. е. это сокращение (в слабом смысле);
• полугрупповое свойство: T _{t  +  s}  =  T _t  ∘ T _s для всех s , t ≥ 0 ;
• lim _{t  → 0} || T _t f  −  f  || = 0 для любого f из C ₀ ( X ). Используя свойство полугруппы, это эквивалентно тому, что отображение T _t f   из t в [0,∞) в C ₀ ( X ) является непрерывным справа для любого f .

Предупреждение : эта терминология не является единообразной в литературе. В частности, предположение, что T _t отображает C ₀ ( X ) в себя, заменяется некоторыми авторами на условие, что оно отображает C _b ( X ), пространство ограниченных непрерывных функций, в себя. Причина этого двоякая: во-первых, это позволяет включать процессы, которые входят «из бесконечности» за конечное время. Во-вторых, это больше подходит для обработки пространств, которые не являются локально компактными и для которых понятие «исчезания на бесконечности» не имеет смысла.

Функция перехода Феллера — это функция перехода вероятности, связанная с полугруппой Феллера.

Процесс Феллера — это марковский процесс с переходной функцией Феллера.

Генератор

Процессы Феллера (или полугруппы перехода) можно описать их бесконечно малым генератором . Говорят, что функция f в C ₀ находится в области определения генератора, если равномерный предел

${\displaystyle Af=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {T_{t}f-f}{t}},}$

существует. Оператор A является генератором T _t , а пространство функций, на котором он определен, записывается как D _A .

Характеристика операторов, которые могут выступать в качестве бесконечно малого генератора процессов Феллера, дается теоремой Хилле–Иосиды . Она использует резольвенту полугруппы Феллера, определенную ниже.

Резольвентный

Резольвента процесса Феллера (или полугруппы) — это набор отображений ( R _λ ) _{λ  > 0} из C ₀ ( X ) в себя, определяемый соотношением

${\displaystyle R_{\lambda }f=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda t}T_{t}f\,dt.}$

Можно показать, что оно удовлетворяет тождеству

${\displaystyle R_{\lambda }R_{\mu }=R_{\mu }R_{\lambda }=(R_{\mu }-R_{\lambda })/(\lambda -\mu ).}$

Более того, для любого фиксированного λ  > 0 изображение R _λ равно области D _A генератора A , и

${\displaystyle {\begin{aligned}&R_{\lambda }=(\lambda -A)^{-1},\\&A=\lambda -R_{\lambda }^{-1}.\end{aligned}}}$

Примеры

• Броуновское движение и процесс Пуассона являются примерами процессов Феллера. В более общем смысле, каждый процесс Леви является процессом Феллера.
• Процессы Бесселя — это процессы Феллера.
• Решения стохастических дифференциальных уравнений с непрерывными по Липшицу коэффициентами являются процессами Феллера. ^{[ необходима ссылка ]}
• Каждый адаптированный непрерывный справа процесс Феллера на отфильтрованном вероятностном пространстве удовлетворяет сильному свойству Маркова относительно фильтрации , т.е. для каждого - времени остановки , обусловленного событием , мы имеем, что для каждого , не зависит от заданного . ^[1] ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t^{+}})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t^{+}})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \{\tau <\infty \}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle X_{\tau +t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau ^{+}}}$ ${\displaystyle X_{\tau }}$

Смотрите также

• Марковский процесс
• цепь Маркова
• Процесс охоты
• Генератор бесконечно малых величин (случайные процессы)

Ссылки

1. Роджерс, LCG и Уильямс, Дэвид Диффузии, Марковские процессы и мартингалы, том первый: Основы, второе издание, John Wiley and Sons Ltd, 1979. (стр. 247, Теорема 8.3)