Процесс охоты

В теории вероятностей процесс Ханта — это тип марковского процесса , названный в честь математика Гилберта А. Ханта , который впервые определил их в 1957 году. Процессы Ханта играли важную роль в изучении теории вероятностного потенциала, пока в 1970-х годах их не вытеснили правильные процессы .

История

Фон

В 1930-50-х годах работы таких математиков, как Джозеф Дуб , Уильям Феллер , Марк Кац и Сидзуо Какутани , разработали связи между марковскими процессами и теорией потенциала . ^[1]

В 1957-8 годах Гилберт А. Хант опубликовал триплет статей ^{[2] [3] [4]} , которые углубили эту связь. Влияние этих статей на сообщество вероятностников того времени было значительным. Джозеф Дуб сказал, что «великие статьи Ханта по теории потенциала, созданной марковскими переходными функциями, произвели революцию в теории потенциала». ^[5] Рональд Гетур описал их как «монументальный труд объемом около 170 страниц, содержащий огромное количество действительно оригинальной математики». ^[6] Гюстав Шоке написал, что статьи Ханта были «фундаментальными мемуарами, которые одновременно обновляли теорию потенциала и теорию марковских процессов, устанавливая точную связь в очень общей структуре между важным классом марковских процессов и классом ядер в теории потенциала, который французские вероятностники только что изучали». ^[7]

Одним из вкладов Ханта было объединение нескольких свойств, которыми должен обладать марковский процесс, чтобы его можно было изучать с помощью теории потенциала, которую он назвал «гипотезой (A)». Стохастический процесс удовлетворяет гипотезе (A), если выполняются следующие три предположения: ^[2] ${\displaystyle X}$

Первое предположение: это марковский процесс на польском пространстве с путями càdlàg . ${\displaystyle X}$

Второе предположение: удовлетворяет сильному марковскому свойству . ${\displaystyle X}$

Третье предположение: квазинепрерывно слева на . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

Процессы, удовлетворяющие гипотезе (A), вскоре стали известны как процессы Ханта. Если третье предположение немного ослабить так, чтобы квазилевая непрерывность сохранялась только на протяжении времени жизни , то называется «стандартным процессом», термин, введенный Юджином Дынкиным . ^{[8] [9]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Взлет и падение

В книге «Марковские процессы и теория потенциала» ^[10] (1968) Блюменталя и Гетура стандартные процессы и процессы Ханта были классифицированы как архетипические марковские процессы. ^[11] В течение следующих нескольких лет вероятностная теория потенциала занималась почти исключительно этими процессами.

Из трех предположений, содержащихся в гипотезе Ханта (A), наиболее ограничительным является квази-левая непрерывность. Гетур и Гловер пишут: «Доказывая многие из своих результатов, Хант предположил некоторые дополнительные гипотезы регулярности относительно своих процессов. ... Постепенно стало ясно, что необходимо удалить многие из этих гипотез регулярности, чтобы продвинуть теорию». ^[12] Уже в 1960-х годах предпринимались попытки предположить квази-левую непрерывность только в случае необходимости. ^[13]

В 1970 году Чжун-Туо Ши расширил два фундаментальных результата Ханта, ^[a] полностью устранив необходимость в левых пределах (и, таким образом, также в квазилевой непрерывности). ^[14] Это привело к определению правых процессов как нового класса марковских процессов, для которых могла работать теория потенциала. ^[15] Уже в 1975 году Гетур писал, что процессы Ханта «в основном представляют исторический интерес». ^[16] К тому времени, когда Майкл Шарп опубликовал свою книгу «Общая теория марковских процессов» в 1988 году, процессы Ханта и стандартные процессы считались устаревшими в вероятностной теории потенциала. ^[15]

Процессы Ханта до сих пор изучаются математиками, чаще всего в связи с формами Дирихле . ^{[17] [18] [19]}

Определение

Краткое определение

Процесс Ханта — это сильный марковский процесс на польском пространстве , который является càdlàg и квазинепрерывен слева; то есть, если — возрастающая последовательность моментов остановки с пределом , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (T_{n})}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \mathbb {P} {\big (}\lim _{n\to \infty }X_{T_{n}}=X_{T}{\big |}T<\infty {\big )}=1.}$$

Подробное определение

Пусть будет пространством Радона и -алгеброй универсально измеримых подмножеств , и пусть будет полугруппой Маркова на , которая сохраняет . Процесс Ханта - это набор, удовлетворяющий следующим условиям: ^[20] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (P_{t})}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle X=(\Omega ,{\mathcal {G}},{\mathcal {G}}_{t},X_{t},\theta _{t},\mathbb {P} ^{x})}$

(i) — это отфильтрованное измеримое пространство , и каждое из них является вероятностной мерой на . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {G}},{\mathcal {G}}_{t})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {G}})}$

(ii) Для каждого , является -значным стохастическим процессом на и адаптирован к . ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {G}},\mathbb {P} ^{x})}$ ${\displaystyle ({\mathcal {G}}_{t})}$

(iii) (нормальность) Для каждого , . ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}(X_{0}=x)=1}$

(iv) (Свойство Маркова) Для каждого и для всех , . ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle t,s\geq 0,f\in b{\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}(f(X_{t+s})|{\mathcal {G}}_{t})=P_{s}f(X_{t})}$

(v) представляет собой набор карт, таких что для каждого и ${\displaystyle (\theta _{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle :\Omega \to \Omega }$ ${\displaystyle t,s\geq 0}$ ${\displaystyle \theta _{t}\circ \theta _{s}=\theta _{t+s}}$ ${\displaystyle X_{t}\circ \theta _{s}=X_{t+s}.}$

(vi) является дополненным и непрерывным справа . ${\displaystyle ({\mathcal {G}}_{t})}$

(vii) (непрерывность справа) Для каждой , каждой и каждой -избыточной (по отношению к ) функции отображение почти наверняка непрерывно справа относительно . ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (P_{t})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t\mapsto f(X_{t})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$

(viii) (квазилевая непрерывность) Для каждого , если — возрастающая последовательность моментов остановки с пределом , то . ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle (T_{n})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}(\lim _{n\to \infty }X_{T_{n}}=X_{T}|T<\infty )=1}$

Шарп ^[20] показывает в лемме 2.6, что условия (i)-(v) влекут измеримость отображения для всех , а в теореме 7.4, что (vi)-(vii) влекут сильное марковское свойство относительно . ${\displaystyle x\mapsto \mathbb {P} ^{x}(X_{t}\in B)}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {G}}_{t})}$

Связь с другими марковскими процессами

Следующие включения имеют место среди различных классов марковских процессов: ^{[21] [22]}

{ Леви } { Ито } { Лесоруб } { Хант } {специальный стандарт} {стандарт} { правильный } {сильный Марков} ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \subset }$

Измененные временем процессы Ито

В 1980 году Чинлар и др. ^[23] доказали, что любой процесс Ханта с действительными значениями является полумартингалом тогда и только тогда, когда он является случайным изменением времени процесса Ито. Точнее, ^[24] процесс Ханта на (оснащенный -алгеброй Бореля ) является полумартингалом тогда и только тогда, когда существует процесс Ито и измеримая функция с такими, что , где процессы Ито были впервые названы из-за их роли в этой теореме, ^[25] хотя Ито ранее изучал их. ^[26] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0\leq f\leq 1}$ ${\displaystyle X_{t}=Y_{A_{t}},t\geq 0}$ $${\displaystyle A_{t}=\int _{0}^{t}f(Y_{s})\mathrm {d} s.}$$

Смотрите также

• Марковский процесс
• Процесс правого Бореля
• Гилберт Хант

Примечания

1. Это предложения 2.1 и 2.2 из "Процессы Маркова и потенциалы I". Блюменталь и Гетур ранее распространили их с процессов Ханта на стандартные процессы в теореме III.6.1 своей книги 1968 года.

Ссылки

1. Блюменталь, Гетур (1968), vii
2. Hunt, GA (1957). «Марковские процессы и потенциалы I.». Illinois J. Math . 1 : 44–93.
3. Хант, GA (1957). «Марковские процессы и потенциалы II». Illinois J. Math . 1 : 313–369.
4. Хант, GA (1958). «Марковские процессы и потенциалы III». Illinois J. Math . 2 : 151–213.
5. Снелл, Дж. Лори (1997). «Разговор с Джо Дубом». Статистическая наука . 12 (4): 301–311. doi : 10.1214/ss/1030037961 .
6. Getoor, Ronald (1980). «Обзор: Вероятности и потенциал, C. Dellacherie и PA Meyer». Bull. Amer. Math. Soc. (NS) . 2 (3): 510–514. doi : 10.1090/s0273-0979-1980-14787-4 .
7. Как цитирует Марк Йор в Yor, Marc (2006). "Жизнь и научная работа Поля Андре Мейера (21 августа 1934 г. - 30 января 2003 г.) "Un modèle pour nous tous"". Memoriam Paul-André Meyer . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1874. doi :10.1007/978-3-540-35513-7_2.
8. Блюменталь, Гетур (1968), 296
9. Дынкин, ЭБ (1960). «Преобразования марковских процессов, связанные с аддитивными функционалами» (PDF) . Berkeley Symp. on Math. Statist. and Prob . 4 (2): 117–142.
10. Блюменталь, Роберт К.; Гетур , Рональд К. (1968). Марковские процессы и теория потенциала . Нью-Йорк: Academic Press.
11. "С момента публикации книги Блюменталя и Гетура стандартные процессы стали центральным классом марковских процессов в вероятностной теории потенциала", стр. 277, Чунг, Кай Лай ; Уолш, Джон Б. (2005). Марковские процессы, броуновское движение и симметрия времени. Основы математических наук. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. doi :10.1007/0-387-28696-9. ISBN 978-0-387-22026-0.
12. Getoor, RK ; Glover, J. (сентябрь 1984). «Разложения Рисса в теории марковских процессов». Труды Американского математического общества . 285 (1): 107–132.
13. Чунг, К. Л.; Уолш, Джон Б. (1969), «Обратить марковский процесс», Acta Mathematica , 123 : 225–251, doi :10.1007/BF02392389
14. Ши, Чунг-Туо (1970). «О расширении теории потенциала на все сильные марковские процессы». Ann. Inst. Fourier (Гренобль) . 20 (1): 303–415. doi : 10.5802/aif.343 .
15. Meyer, Paul André (1989). "Обзор: "Общая теория марковских процессов" Майкла Шарпа". Bull. Amer. Math. Soc. (NS) . 20 (21): 292–296. doi : 10.1090/S0273-0979-1989-15833-3 .
16. стр. 56, Getoor, Ronald K. (1975). Марковские процессы: лучевые процессы и процессы Knight. Конспект лекций по математике. Берлин, Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-540-07140-2.
17. Фукусима, Масатоси; Осима, Ёити; Такеда, Масаёси (1994). Формы Дирихле и симметричные марковские процессы . Де Грюйтер. doi :10.1515/9783110889741.
18. Эпплбаум, Дэвид (2009), Процессы Леви и стохастическое исчисление, Кембриджские исследования по высшей математике, Cambridge University Press, стр. 196, ISBN 9780521738651
19. Крупка, Деметер (2000), Введение в глобальную вариационную геометрию, Математическая библиотека Северной Голландии, т. 23, Elsevier, стр. 87 и далее, ISBN 9780080954295
20. Sharpe, Michael (1988). Общая теория марковских процессов . Academic Press, Сан-Диего. ISBN 0-12-639060-6.
21. стр. 55, Getoor, Ronald K. (1975). Марковские процессы: лучевые процессы и процессы Knight. Конспект лекций по математике. Берлин, Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-540-07140-2.
22. стр. 515, Чинлар, Эрхан (2011). Вероятность и стохастика. Graduate Texts in Mathematics. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-87858-4.
23. Чинлар, Э .; Жакод, Дж .; Проттер, П.; Шарп, MJ (1980). «Семимартингалы и марковские процессы». З. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Гебитете . 54 (2): 161–219. дои : 10.1007/BF00531446.
24. Теорема 3.35, Чинлар, Э .; Жакод, Дж. (1981). «Представление полумартингальных марковских процессов в терминах винеровских процессов и пуассоновских случайных мер». Семинар по стохастическим процессам, 1981. С. 159–242. doi :10.1007/978-1-4612-3938-3_8.
25. стр. 164-5, «Таким образом, процессы, чьи расширенные генераторы имеют форму (1.1), имеют центральное значение среди полумартингальных марковских процессов и заслуживают собственного имени. Мы называем их процессами Ито». Çinlar, E. ; Jacod, J. ; Protter, P.; Sharpe, MJ (1980). «Полумартингалы и марковские процессы». Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete . 54 (2): 161–219. doi :10.1007/BF00531446.
26. Ито, Кийоси (1951). О стохастических дифференциальных уравнениях . Мемуары Американского математического общества. Американское математическое общество. дои : 10.1090/memo/0004. ISBN 978-0-8218-1204-4.

Источники

• Блюменталь, Роберт М. и Гетур, Рональд К. «Марковские процессы и теория потенциала». Academic Press, Нью-Йорк, 1968.
• Хант, GA «Марковские процессы и потенциалы. I, II, III.», Illinois J. Math. 1 (1957) 44–93; 1 (1957), 313–369; 2 (1958), 151–213.