Результат стресса

Результирующие напряжения являются упрощенными представлениями напряженного состояния в элементах конструкции, таких как балки , пластины или оболочки . ^[1] Геометрия типичных элементов конструкции позволяет упростить внутреннее напряженное состояние из-за существования направления «толщины», в котором размер элемента намного меньше, чем в других направлениях. Как следствие, три компонента тяги , которые изменяются от точки к точке в поперечном сечении, могут быть заменены набором результирующих сил и результирующих моментов. Это результирующие напряжения (также называемые мембранными силами , сдвиговыми силами и изгибающим моментом ), которые могут использоваться для определения подробного напряженного состояния в элементе конструкции. Затем трехмерную задачу можно свести к одномерной задаче (для балок) или двумерной задаче (для пластин и оболочек).

Результирующие напряжения определяются как интегралы напряжения по толщине структурного элемента. Интегралы взвешиваются целыми степенями координаты толщины z (или x ₃ ). Результирующие напряжения определяются таким образом, чтобы представить эффект напряжения как мембранной силы N (нулевая степень по z ), изгибающего момента M (степень 1) на балке или оболочке (конструкции) . Результирующие напряжения необходимы для устранения зависимости напряжения от z из уравнений теории пластин и оболочек.

Результирующие напряжения в балках

Составляющие напряжений на поверхностях конструктивного элемента.

Рассмотрим элемент, показанный на соседнем рисунке. Предположим, что направление толщины — x ₃ . Если элемент был извлечен из балки, ширина и толщина сопоставимы по размеру. Пусть x ₂ — направление ширины. Тогда x ₁ — направление длины.

Мембранные и сдвигающие силы

Результирующий вектор силы, возникающей из-за тяги в поперечном сечении ( A ), перпендикулярном оси x ₁ , равен

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=\int _{A}(\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dA}$

где e ₁ , e ₂ , e ₃ — единичные векторы вдоль x ₁ , x ₂ и x ₃ соответственно. Мы определяем результирующие напряжения таким образом, что

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=:N_{11}\mathbf {e} _{1}+V_{2}\mathbf {e} _{2}+V_{3}\mathbf {e} _{3}}$

где N ₁₁ — мембранная сила , а V ₂ , V ₃ — сдвигающие силы. Более конкретно, для балки высотой t и шириной b ,

${\displaystyle N_{11}=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-t/2}^{t/2}\sigma _{11}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}$

Аналогично результирующие силы сдвига равны

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{2}\\V_{3}\end{bmatrix}}=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{12}\\\sigma _{13}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}$

Изгибающие моменты

Вектор изгибающего момента, обусловленный напряжениями в поперечном сечении A, перпендикулярном оси x _{1 ,} определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{A}\mathbf {r} \times (\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dA\quad {\text{where}}\quad \mathbf {r} =x_{2}\,\mathbf {e} _{2}+x_{3}\,\mathbf {e} _{3}\,.}$

Расширяя это выражение, имеем:

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{A}\left(-x_{2}\sigma _{11}\mathbf {e} _{3}+x_{2}\sigma _{13}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{11}\mathbf {e} _{2}-x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}\right)dA=:M_{11}\,\mathbf {e} _{1}+M_{12}\,\mathbf {e} _{2}+M_{13}\,\mathbf {e} _{3}\,.}$

Результирующие компоненты изгибающего момента можно записать как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{12}\\M_{13}\end{bmatrix}}:=\int _{-b/2}^{b/2}\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}x_{2}\sigma _{13}-x_{3}\sigma _{12}\\x_{3}\sigma _{11}\\-x_{2}\sigma _{11}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}$

Результирующие напряжения в пластинах и оболочках

Для пластин и оболочек размеры x ₁ и x ₂ намного больше, чем размер в направлении x _3. Интеграция по площади поперечного сечения должна включать один из больших размеров и приведет к модели, которая слишком проста для практических расчетов. По этой причине напряжения интегрируются только по толщине, а результирующие напряжения обычно выражаются в единицах силы на единицу длины (или момента на единицу длины ) вместо истинной силы и момента, как в случае балок.

Мембранные и сдвигающие силы

Для пластин и оболочек мы должны рассмотреть два поперечных сечения. Первое перпендикулярно оси x ₁ , а второе перпендикулярно оси x ₂ . Следуя той же процедуре, что и для балок, и имея в виду, что результирующие теперь на единицу длины, мы имеем

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=\int _{-t/2}^{t/2}(\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {F} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}(\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}}$

Мы можем записать вышесказанное как

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=N_{11}\mathbf {e} _{1}+N_{12}\mathbf {e} _{2}+V_{1}\mathbf {e} _{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {F} _{2}=N_{12}\mathbf {e} _{1}+N_{22}\mathbf {e} _{2}+V_{2}\mathbf {e} _{3}}$

где мембранные силы определяются как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}:=\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,dx_{3}}$

а сдвигающие силы определяются как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}=\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{13}\\\sigma _{23}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,.}$

Изгибающие моменты

Для результирующих изгибающих моментов имеем

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{-t/2}^{t/2}\mathbf {r} \times (\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {M} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}\mathbf {r} \times (\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}}$

где r = x ₃ e ₃ . Раскрывая эти выражения, имеем,

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=\int _{-t/2}^{t/2}[-x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{11}\mathbf {e} _{2}]\,dx_{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {M} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}[-x_{3}\sigma _{22}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}]\,dx_{3}}$

Определим результирующие изгибающие моменты таким образом, чтобы

${\displaystyle \mathbf {M} _{1}=:-M_{12}\mathbf {e} _{1}+M_{11}\mathbf {e} _{2}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {M} _{2}=:-M_{22}\mathbf {e} _{1}+M_{12}\mathbf {e} _{2}\,.}$

Тогда результирующие изгибающие моменты определяются по формуле

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}:=\int _{-t/2}^{t/2}x_{3}\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,.}$

Это результаты, которые часто встречаются в литературе, но необходимо соблюдать осторожность, чтобы убедиться, что знаки интерпретируются правильно.

Смотрите также

• Сила сдвига
• Изгибающий момент
• Теория пластин
• Изгиб пластин
• Теория пластин Кирхгофа–Лява
• Теория пластины Миндлина–Рейсснера
• Вибрация пластин

Ссылки

1. Barbero, Ever J. (2010). Введение в проектирование композитных материалов. Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4200-7915-9.