Теорема о возвращении Пуанкаре

Определенные динамические системы в конечном итоге вернутся к своему исходному состоянию (или приблизятся к нему).

В математике и физике теорема Пуанкаре о возвращении утверждает, что некоторые динамические системы по истечении достаточно длительного, но конечного времени вернутся в состояние, произвольно близкое (для систем с непрерывным состоянием) или точно такое же (для систем с дискретным состоянием) к их начальному состоянию.

Время возврата Пуанкаре — это промежуток времени, прошедший до возврата. Это время может сильно различаться в зависимости от точного начального состояния и требуемой степени близости. Результат применим к изолированным механическим системам, на которые наложены некоторые ограничения, например, все частицы должны быть привязаны к конечному объему. Теорема обычно обсуждается в контексте эргодической теории , динамических систем и статистической механики . Системы, к которым применима теорема о возврате Пуанкаре, называются консервативными системами .

Теорема названа в честь Анри Пуанкаре , который обсуждал ее в 1890 году. ^{[1] [2]} Доказательство было представлено Константином Каратеодори с использованием теории меры в 1919 году. ^{[3] [4]}

Точная формулировка

Любая динамическая система, определяемая обыкновенным дифференциальным уравнением, определяет отображение потока f ^{t ,} отображающее фазовое пространство на себя. Система называется сохраняющей объем, если объем множества в фазовом пространстве инвариантен относительно потока. Например, все гамильтоновы системы сохраняют объем из-за теоремы Лиувилля . Тогда теорема такова: Если поток сохраняет объем и имеет только ограниченные орбиты, то для каждого открытого множества любая орбита, пересекающая это открытое множество, пересекает его бесконечно часто. ^[5] 

Обсуждение доказательства

Доказательство, говоря качественно, основывается на двух предпосылках: ^[6]

1. Конечная верхняя граница может быть установлена ​​для общего потенциально доступного объема фазового пространства. Для механической системы эта граница может быть обеспечена требованием, чтобы система содержалась в ограниченной физической области пространства (так, чтобы она не могла, например, выбрасывать частицы, которые никогда не возвращаются) – в сочетании с сохранением энергии это запирает систему в конечной области фазового пространства .
2. Фазовый объем конечного элемента в динамике сохраняется (для механической системы это обеспечивается теоремой Лиувилля ).

Представьте себе любой конечный начальный объем фазового пространства и проследите его путь в соответствии с динамикой системы. Объем эволюционирует через «фазовую трубку» в фазовом пространстве, сохраняя свой размер постоянным. Предполагая конечное фазовое пространство, после некоторого количества шагов фазовая трубка должна пересечь себя. Это означает, что по крайней мере конечная доля начального объема является повторяющейся. Теперь рассмотрим размер невозвращающейся части начального фазового объема – той части, которая никогда не возвращается в начальный объем. Используя принцип, только что обсуждавшийся в последнем абзаце, мы знаем, что если невозвращающаяся часть конечна, то конечная ее часть должна вернуться после шагов. Но это было бы противоречием, так как за число lcm шага оба и будут возвращаться, вопреки гипотезе, что было только. Таким образом, невозвращающаяся часть начального объема не может быть пустым множеством, т. е. все повторяется после некоторого количества шагов. ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle k_{2}}$ ${\displaystyle k_{3}=}$ ${\displaystyle (k_{1},k_{2})}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle D_{1}}$

Теорема не комментирует некоторые аспекты повторяемости, которые это доказательство не может гарантировать:

• Могут быть некоторые особые фазы, которые никогда не возвращаются к начальному объему фазы, или которые возвращаются к начальному объему только конечное число раз, а затем больше никогда не возвращаются. Однако они чрезвычайно «редки», составляя бесконечно малую часть любого начального объема.
• Не все части фазового объема должны возвращаться одновременно. Некоторые «пропустят» начальный объем при первом проходе, но вернутся позже.
• Ничто не мешает фазовой трубке полностью вернуться к своему начальному объему до того, как весь возможный фазовый объем будет исчерпан. Тривиальным примером этого является гармонический осциллятор . Системы, которые покрывают весь доступный фазовый объем, называются эргодическими (это, конечно, зависит от определения «доступного объема»).
• Можно сказать , что для "почти любой" начальной фазы система в конечном итоге вернется произвольно близко к этой начальной фазе. Время повторения зависит от требуемой степени близости (размера объема фазы). Для достижения большей точности повторения нам нужно взять меньший начальный объем, что означает большее время повторения.
• Для данной фазы в объеме повторение не обязательно является периодическим повторением. Второе время повторения не обязательно должно быть вдвое больше первого времени повторения.

Официальное заявление

Позволять

${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$

будет пространством с конечной мерой и пусть

${\displaystyle f\colon X\to X}$

быть сохраняющим меру преобразованием . Ниже приведены два альтернативных утверждения теоремы.

Теорема 1

Для любого множество тех точек из , для которых существует такое, что для всех имеет нулевую меру. ${\displaystyle E\in \Sigma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f^{n}(x)\notin E}$ ${\displaystyle n>N}$

Другими словами, почти каждая точка возвращается в . Фактически, почти каждая точка возвращается бесконечно часто; т.е. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mu \left(\{x\in E:{\text{ there exists }}N{\text{ such that }}f^{n}(x)\notin E{\text{ for all }}n>N\}\right)=0.}$

Теорема 2

Ниже приведена топологическая версия этой теоремы:

Если — хаусдорфово пространство со счетной второй степенью и содержит борелевскую сигма-алгебру , то множество рекуррентных точек имеет полную меру. То есть почти каждая точка является рекуррентной. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle f}$

В более общем смысле теорема применима к консервативным системам , а не только к динамическим системам, сохраняющим меру. Грубо говоря, можно сказать, что консервативные системы — это именно те, к которым применима теорема о возвращении.

Квантово-механическая версия

Для независимых от времени квантово-механических систем с дискретными собственными энергетическими состояниями справедлива аналогичная теорема. Для любого и существует время T большее , такое что , где обозначает вектор состояния системы в момент времени  t . ^{[7] [8] [9]} ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle T_{0}>0}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle ||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |<\varepsilon }$ ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$

Основные элементы доказательства следующие. Система развивается во времени согласно:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\exp(-iE_{n}t)|\phi _{n}\rangle }$

где — собственные значения энергии (мы используем натуральные единицы, поэтому ), а — собственные состояния энергии . Квадрат нормы разности вектора состояния в момент времени и нулевой момент времени можно записать как: ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle \hbar =1}$ ${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle ||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]}$

Мы можем сократить сумму до некоторого n  =  N , независимого от T , потому что

${\displaystyle \sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]\leq 2\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}}$

которое можно сделать сколь угодно малым, увеличивая N , поскольку сумма , являющаяся квадратом нормы начального состояния, сходится к 1. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}}$

Конечная сумма

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]}$

может быть сделана произвольно малой для конкретных выборов времени T , согласно следующей конструкции. Выберите произвольное , а затем выберите T таким образом, чтобы существовали целые числа , удовлетворяющие условию ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle k_{n}}$

${\displaystyle |E_{n}T-2\pi k_{n}|<\delta }$,

для всех чисел . Для этого конкретного выбора T , ${\displaystyle 0\leq n\leq N}$

${\displaystyle 1-\cos(E_{n}T)<{\frac {\delta ^{2}}{2}}.}$

Таким образом, мы имеем:

${\displaystyle 2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}}$.

Вектор состояния, таким образом, возвращается произвольно близко к исходному состоянию . ${\displaystyle |\psi (T)\rangle }$ ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$

Смотрите также

• Карта кота Арнольда
• Эргодическая гипотеза
• Квантовое возрождение
• Период повторяемости плотность энтропии
• График повторяемости
• Блуждающий набор

Ссылки

1. Пуанкаре, Х. (1890). «Sur le problème des trois corps et les équations de la dinamique». Акта математика . 13 : 1–270.
2. Пуанкаре, Œuvres VII, 262–490 (теорема 1, раздел 8)
3. Каратеодори, К. (1919). «Über den Wiederkehrsatz фон Пуанкаре». Берл. Зитцунгсбер : 580–584.
4. Каратеодори, Жес. математика. Шр. IV, 296–301.
5. Баррейра, Луис (2006). Замбрини, Жан-Клод (ред.). Повторение Пуанкаре: старое и новое . XIV Международный конгресс по математической физике. World Scientific . стр. 415–422. doi :10.1142/9789812704016_0039. ISBN 978-981-256-201-2.
6. Гиббс, Джозайя Уиллард (1902). Элементарные принципы статистической механики . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Charles Scribner's Sons . Глава X.
7. Bocchieri, P.; Loinger, A. (1957). «Квантовая теорема о возвращении». Phys. Rev. 107 (2): 337–338. Bibcode :1957PhRv..107..337B. doi :10.1103/PhysRev.107.337.
8. Персиваль, IC (1961). «Почти периодичность и квантовая теорема H». J. Math. Phys. 2 (2): 235–239. Bibcode :1961JMP.....2..235P. doi :10.1063/1.1703705.
9. Шульман, Л. С. (1978). «Заметка о теореме квантового повторения». Phys. Rev. A. 18 ( 5): 2379–2380. Bibcode : 1978PhRvA..18.2379S. doi : 10.1103/PhysRevA.18.2379.

Дальнейшее чтение

• Пейдж, Дон Н. (25 ноября 1994 г.). «Потеря информации в черных дырах и/или сознательные существа?». arXiv : hep-th/9411193 .

Внешние ссылки

• Падилла, Тони. "The Longest Time". Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала 2013-11-27 . Получено 2013-04-08 .Последняя версия оригинального сайта.
• «Карта кота Арнольда: интерактивная графическая иллюстрация теоремы Пуанкаре о возвращении».

В данной статье использованы материалы из теоремы о возвращении Пуанкаре с сайта PlanetMath , лицензированного по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .