Релаксация Гавриляка–Негами

Модель в электромагнетизме

Релаксация Гаврильяка –Негами является эмпирической модификацией модели релаксации Дебая в электромагнетизме. В отличие от модели Дебая, релаксация Гаврильяка–Негами учитывает асимметрию и ширину кривой диэлектрической дисперсии . Модель была впервые использована для описания диэлектрической релаксации некоторых полимеров , ^[1] путем добавления двух экспоненциальных параметров к уравнению Дебая:

${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon _{\infty }+{\frac {\Delta \varepsilon }{(1+(i\omega \tau )^{\alpha })^{\beta }}},}$

где - диэлектрическая проницаемость на пределе высокой частоты, где - статическая диэлектрическая проницаемость на низкой частоте, а - характерное время релаксации среды. Показатели степени и описывают асимметрию и ширину соответствующих спектров. ${\displaystyle \varepsilon _{\infty }}$ ${\displaystyle \Delta \varepsilon =\varepsilon _{s}-\varepsilon _{\infty }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{s}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

В зависимости от области применения преобразование Фурье растянутой экспоненциальной функции может быть приемлемой альтернативой, имеющей на один параметр меньше.

Для уравнение Гавриляка–Негами сводится к уравнению Коула–Коула , для к уравнению Коула–Дэвидсона . ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \alpha =1}$

Математические свойства

Действительная и мнимая части

Часть накопления и часть потерь диэлектрической проницаемости (здесь: с ) можно рассчитать как ${\displaystyle \varepsilon '}$ ${\displaystyle \varepsilon ''}$ ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon '(\omega )-i\varepsilon ''(\omega )}$ ${\displaystyle (\pm i)^{2}=-1}$

${\displaystyle \varepsilon '(\omega )=\varepsilon _{\infty }+\Delta \varepsilon \left(1+2(\omega \tau )^{\alpha }\cos(\pi \alpha /2)+(\omega \tau )^{2\alpha }\right)^{-\beta /2}\cos(\beta \phi )}$

и

${\displaystyle \varepsilon ''(\omega )=\Delta \varepsilon \left(1+2(\omega \tau )^{\alpha }\cos(\pi \alpha /2)+(\omega \tau )^{2\alpha }\right)^{-\beta /2}\sin(\beta \phi )}$

с

${\displaystyle \phi =\arctan \left({(\omega \tau )^{\alpha }\sin(\pi \alpha /2) \over 1+(\omega \tau )^{\alpha }\cos(\pi \alpha /2)}\right)}$

Пик потерь

Максимум части потерь лежит на

${\displaystyle \omega _{\rm {max}}=\left({\sin \left({\pi \alpha \over 2(\beta +1)}\right) \over \sin \left({\pi \alpha \beta \over 2(\beta +1)}\right)}\right)^{1/\alpha }\tau ^{-1}}$

Суперпозиция лоренцианов

Релаксация Гавриляка-Негами может быть выражена как суперпозиция отдельных релаксаций Дебая

${\displaystyle {{\hat {\varepsilon }}(\omega )-\epsilon _{\infty } \over \Delta \varepsilon }=\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over 1+i\omega \tau _{D}}g(\ln \tau _{D})d\ln \tau _{D}}$

с функцией распределения действительных значений

${\displaystyle g(\ln \tau _{D})={1 \over \pi }{(\tau _{D}/\tau )^{\alpha \beta }\sin(\beta \theta ) \over ((\tau _{D}/\tau )^{2\alpha }+2(\tau _{D}/\tau )^{\alpha }\cos(\pi \alpha )+1)^{\beta /2}}}$

где

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\sin(\pi \alpha ) \over (\tau _{D}/\tau )^{\alpha }+\cos(\pi \alpha )}\right)}$

если аргумент арктангенса положительный, иначе ^[2]

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\sin(\pi \alpha ) \over (\tau _{D}/\tau )^{\alpha }+\cos(\pi \alpha )}\right)+\pi }$

Примечательно, становится мнимо ценным для ${\displaystyle g(\ln \tau )}$

${\displaystyle {{\hat {\varepsilon }}(\omega )-\epsilon _{\infty } \over \Delta \varepsilon }={(i\omega \tau )^{\alpha \beta } \over (1+(i\omega \tau )^{\alpha })^{\beta }}}$

и комплекс ценится за

${\displaystyle {{\hat {\varepsilon }}(\omega )-\epsilon _{\infty } \over \Delta \varepsilon }={1 \over (1-(\omega \tau )^{2\alpha })^{\beta }}}$

Логарифмические моменты

Первый логарифмический момент этого распределения, среднее логарифмическое время релаксации, равен

${\displaystyle \langle \ln \tau _{D}\rangle =\ln \tau +{\Psi (\beta )+{\rm {Eu}} \over \alpha }}$

где — дигамма-функция и постоянная Эйлера . [ ^3] ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\rm {Eu}}}$

Обратное преобразование Фурье

Обратное преобразование Фурье функции Гавриляка-Негами (соответствующая функция релаксации во временной области) может быть вычислено численно. ^[4] Можно показать, что используемые разложения в ряд являются частными случаями функции Фокса-Райта . ^[5] В частности, во временной области соответствующее может быть представлено как ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )}$

${\displaystyle X(t)=\varepsilon _{\infty }\delta (t)+{\frac {\Delta \varepsilon }{\tau }}\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha \beta -1}E_{\alpha ,\alpha \beta }^{\beta }(-(t/\tau )^{\alpha }),}$

где — дельта-функция Дирака и ${\displaystyle \delta (t)}$

${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)={\frac {1}{\Gamma (\gamma )}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (\gamma +k)z^{k}}{k!\Gamma (\alpha k+\beta )}}}$

является частным случаем функции Фокса–Райта и, точнее, это трехпараметрическая функция Миттаг-Леффлера ^[6], также известная как функция Прабхакара. Функцию можно численно оценить, например, с помощью кода Matlab. ^[7] ${\displaystyle E_{\alpha ,\beta }^{\gamma }(z)}$

Смотрите также

• релаксация Дебая
• Уравнение Коула–Коула
• Уравнение Коула–Дэвидсона
• Закон Кюри-фон Швейдлера
• Диэлектрическая спектроскопия
• Диполь

Ссылки

1. Havriliak, S.; Negami, S. (1967). «Комплексное плоскостное представление процессов диэлектрической и механической релаксации в некоторых полимерах». Polymer . 8 : 161–210. doi :10.1016/0032-3861(67)90021-3.
2. Зорн, Р. (1999). «Применимость функций распределения для спектральной функции Гаврилиака–Негами». Журнал полимерной науки, часть B. 37 ( 10): 1043–1044. Bibcode :1999JPoSB..37.1043Z. doi :10.1002/(SICI)1099-0488(19990515)37:10<1043::AID-POLB9>3.3.CO;2-8.
3. Зорн, Р. (2002). "Логарифмические моменты распределений времени релаксации" (PDF) . Журнал химической физики . 116 (8): 3204–3209. Bibcode :2002JChPh.116.3204Z. doi :10.1063/1.1446035.
4. Шёнхалс, А. (1991). «Быстрый расчет зависящей от времени диэлектрической проницаемости для функции Гаврилиака-Негами». Acta Polymerica . 42 : 149–151.
5. Хильфер, Дж. (2002). " Представления H -функций для растянутой экспоненциальной релаксации и недебаевских восприимчивостей в стеклообразных системах". Physical Review E. 65 : 061510. Bibcode : 2002PhRvE..65f1510H. doi : 10.1103/physreve.65.061510.
6. Горенфло, Рудольф; Килбас, Анатолий А.; Майнарди, Франческо; Рогозин, Сергей В. (2014). Springer (ред.). Функции Миттаг-Леффлера, связанные темы и приложения . ISBN 978-3-662-43929-6.
7. Гарраппа, Роберто. "Функция Миттаг-Леффлера" . Получено 3 ноября 2014 г.