В геометрии ромбикосидодекаэдр — архимедово тело , одно из тринадцати выпуклых изогональных непризматических тел , состоящих из двух или более типов правильных многоугольных граней .
Он имеет 20 правильных треугольных граней, 30 квадратных граней, 12 правильных пятиугольных граней, 60 вершин и 120 ребер .
Иоганн Кеплер в «Harmonices Mundi» (1618) назвал этот многогранник ромбикосидодекаэдром , что является сокращением от усеченного икосододекаэдра ромба , причем икосододекаэдрический ромб был его именем для ромбического триаконтаэдра . [1] [2] Существуют различные варианты усечения ромботриаконтаэдра в топологический ромбикосододекаэдр: в первую очередь его выпрямление (слева), то, которое создает однородное твердое тело (в центре), и выпрямление двойственного икосододекаэдра (справа), которое ядро двойного соединения .
Для ромбокосододекаэдра с длиной ребра a его площадь поверхности и объем равны:
Если вы расширите икосаэдр , отодвинув грани от начала координат на нужную величину, не меняя ориентацию или размер граней, или сделаете то же самое с его двойным додекаэдром и заделаете в результате квадратные отверстия, вы получите ромбокосододекаэдр. Следовательно, он имеет такое же количество треугольников, как икосаэдр, и такое же количество пятиугольников, как и додекаэдр, с квадратом на каждом ребре.
В качестве альтернативы, если вы расширите каждый из пяти кубов, отодвинув грани от начала координат на нужную величину и повернув каждый из пяти на 72 ° вокруг, чтобы они были на равном расстоянии друг от друга, без изменения ориентации или размера граней, и исправьте пятиугольные и треугольные отверстия, в результате получится ромбокосододекаэдр. Следовательно, в нем столько же квадратов, сколько в пяти кубиках.
Две группы граней билунабиротонды , лун ( каждая луна представляет собой два треугольника, примыкающих к противоположным сторонам одного квадрата), могут быть выровнены с конгруэнтным участком граней на ромбокосододекаэдре. Если таким образом выровнять две билунабиротонды на противоположных сторонах ромбокосододекаэдра, то между билунабиротондами в самом центре ромбикосододекаэдра можно поставить куб.
Ромбикосододекаэдр разделяет расположение вершин с маленьким звездчатым усеченным додекаэдром и с однородными соединениями шести или двенадцати пентаграммных призм .
В наборах Zometool для изготовления геодезических куполов и других многогранников в качестве соединителей используются шарики с прорезями. Шары представляют собой «расширенные» ромбокододекаэдры, в которых квадраты заменены прямоугольниками. Расширение выбрано таким образом, чтобы полученные прямоугольники были золотыми прямоугольниками .
Двенадцать из 92 тел Джонсона произошли от ромбикосидодекаэдра, четыре из них - в результате вращения одного или нескольких пятиугольных куполов : вращающийся , парабигиратный , метабигиратный и тригиратный ромбикосидодекаэдр . Еще восемь можно построить, удалив до трех куполов, а иногда также повернув один или несколько других куполов.
Декартовы координаты вершин ромбокосододекаэдра с длиной ребра 2 и центром в начале координат являются четными перестановками : [3]
где φ = 1 + √ 5/2это золотое сечение . Следовательно, радиус описанной окружности этого ромбокосододекаэдра равен общему расстоянию этих точек от начала координат, а именно √ φ 6 +2 = √ 8φ+7 для длины ребра 2. Для единичной длины ребра R необходимо разделить вдвое, что дает
Ромбикосидодекаэдр имеет шесть особых ортогональных проекций , центрированных на вершине, на двух типах ребер и трех типах граней: треугольниках, квадратах и пятиугольниках. Последние два соответствуют плоскостям Кокстера A 2 и H 2 .
Ромбикосидодекаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.
Этот многогранник топологически связан как часть последовательности сочлененных многогранников с фигурой вершины (3.4.n.4), продолжающейся как мозаика гиперболической плоскости . Эти вершинно-транзитивные фигуры обладают (*n32) отражательной симметрией .
Существует 12 родственных тел Джонсона , 5 по уменьшению и 8, включая вращения:
Расположение вершин ромбикосододекаэдра разделяет три невыпуклых однородных многогранника : маленький звездчатый усеченный додекаэдр , малый додецикосододекаэдр (имеющий общие треугольные и пятиугольные грани) и малый ромбидодекаэдр (имеющий общие квадратные грани).
Расположение вершин у него также такое же, как у однородных соединений шести или двенадцати пентаграммных призм .
В математической области теории графов ромбокосододекаэдрический граф — это граф вершин и ребер ромбокосододекаэдра, одного из архимедовых тел . Он имеет 60 вершин и 120 ребер и является архимедовым графом четвертой степени . [5]
Unus igitur Trigonicus cum duobus Tetragonicis и uno Pentagonico, минус эффективность 4 прямых мышц и совпадение 20 Trigonicum 30 Tetragonis и 12 Pentagonis, in unum Hexacontadyhedron, quod appello Rhombicoſidodecaëdron, ſectum Ромбум икозидододекаэдрикум.
