Многогранник с шестью ромбами в качестве граней.
В геометрии ромбоэдр (также называемый ромбическим шестигранником [1] [2] или, неточно, ромбоидом [а] ) — это частный случай параллелепипеда, у которого все шесть граней являются конгруэнтными ромбами . [3] Его можно использовать для определения ромбоэдрической решетчатой системы , сот с ромбоэдрическими ячейками. У ромбоэдра две противоположные вершины, у которых все углы граней равны; у вытянутого ромбоэдра этот общий угол острый, а у сплюснутого ромбоэдра - тупой угол в этих вершинах. Куб – это частный случай ромбоэдра, у которого все стороны квадратные .
Особые случаи
Общий угол на двух вершинах здесь обозначен как . Существует две основные формы ромбоэдра: сплюснутая (сплющенная) и вытянутая (вытянутая).![{\ displaystyle \ theta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В сплющенном случае и в вытянутом случае . Ибо фигура – куб.![{\displaystyle \theta >90^{\circ }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \theta <90^{\circ }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \theta =90^{\circ }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Определенные пропорции ромбов приводят к некоторым хорошо известным частным случаям. Обычно они встречаются как в вытянутой, так и в сплюснутой формах.
Твердая геометрия
Для единичного ромбоэдра (т. е. с длиной стороны 1) [4] с ромбическим острым углом , с одной вершиной в начале координат (0, 0, 0) и с одним ребром, лежащим вдоль оси x, три порождающих вектора являются![{\displaystyle \тета ~}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- е 1 :
![{\displaystyle {\biggl (}1,0,0{\biggr)},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- е 2 :
![{\displaystyle {\biggl (}\cos \theta,\sin \theta,0{\biggr)},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- е 3 :
![{\displaystyle {\biggl (}\cos \theta, {\cos \theta -\cos ^{2}\theta \over \sin \theta}, {{\sqrt {1-3\cos ^{2}\ theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }{\biggr )}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Остальные координаты могут быть получены векторным сложением [ 5 ] трех векторов направления : e1 + e2 , e1 + e3 , e2 + e3 и e1 + e2 + e3 .
Объем ромбоэдра, выраженный в терминах длины его стороны и ромбовидного острого угла , представляет собой упрощение объема параллелепипеда и определяется выражением![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle а}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \тета ~}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V=a^{3}(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }}=a^{3}{\sqrt {(1-\cos \theta)^ {2}(1+2\cos \theta )}}=a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }}~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Мы можем выразить объем другим способом:![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V=2{\sqrt {3}}~a^{3}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {1-{\ frac {4}{3}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поскольку площадь (ромбического) основания определяется выражением , а высота ромбоэдра определяется его объемом, деленным на площадь его основания, высота ромбоэдра через длину его стороны и его ромбический острый угол равна данный![{\displaystyle a^{2}\sin \theta ~}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle ч}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle а}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle \ theta }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h=a~{(1-\cos \theta) {\ sqrt {1+2\cos \theta }} \over \sin \theta } = a~ {{\sqrt {1-3\cos ^ {2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }~.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Примечание:
3 , где 3 — третья координата e 3 .![{\displaystyle z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Диагональ тела между остроугольными вершинами самая длинная. В силу вращательной симметрии относительно этой диагонали все остальные три диагонали тела между тремя парами противоположных тупоугольных вершин имеют одинаковую длину.
Связь с ортоцентрическими тетраэдрами
Четыре точки, образующие несмежные вершины ромбоэдра, обязательно образуют четыре вершины ортоцентрического тетраэдра , и таким способом можно образовать все ортоцентрические тетраэдры. [6]
Ромбоэдрическая решетка
Система ромбоэдрической решетки имеет ромбоэдрические ячейки с 6 конгруэнтными ромбическими гранями , образующими тригональный трапецоэдр .
![](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Примечания
- ^ Точнее, ромб — двумерная фигура.
Рекомендации
- ^ Миллер, Уильям А. (январь 1989 г.). «Математический ресурс: головоломки с ромбическими додекаэдрами». Математика в школе . 18 (1): 18–24. JSTOR 30214564.
- ^ Инчбальд, Гай (июль 1997 г.). «Архимедовы сотовые двойники». Математический вестник . 81 (491): 213–219. дои : 10.2307/3619198. JSTOR 3619198.
- ^ Коксетер, HSM. Правильные многогранники. Третье издание. Дувр. стр.26.
- ^ Линии, L (1965). Твердая геометрия: с главами о пространственных решетках, пакетах сфер и кристаллах . Дуврские публикации.
- ^ «Векторное сложение». Вольфрам. 17 мая 2016 года . Проверено 17 мая 2016 г.
- ^ Корт, Северная Каролина (октябрь 1934 г.), «Заметки об ортоцентрическом тетраэдре», American Mathematical Monthly , 41 (8): 499–502, doi : 10.2307/2300415, JSTOR 2300415.
Внешние ссылки