Рулетка (кривая)

Математические кривые, полученные путем свертывания других кривых.

В дифференциальной геометрии кривых рулетка — разновидность кривой , обобщающей циклоиды , эпициклоиды , гипоциклоиды , трохоиды , эпитрохоиды , гипотрохоиды и эвольвенты .

Определение

Неформальное определение

Зеленая парабола катится по такой же синей параболе, которая остается неподвижной. Генератор является вершиной катящейся параболы и описывает рулетку, показанную красным. В данном случае рулетка — это циссоид Диокла . ^[1]

Грубо говоря, рулетка — это кривая, описываемая точкой (называемой образующей или полюсом ), прикрепленной к данной кривой, поскольку эта кривая катится без скольжения по второй данной фиксированной кривой. Точнее, если дана кривая, прикрепленная к плоскости, которая движется так, что кривая катится, не скользя, по данной кривой, прикрепленной к неподвижной плоскости, занимающей то же пространство, то точка, прикрепленная к движущейся плоскости, описывает кривую, в фиксированная плоскость, называемая рулеткой.

Особые случаи и связанные с ними концепции

В случае, когда катящаяся кривая представляет собой линию , а образующая — точку на прямой, рулетку называют разверткой неподвижной кривой. Если катящаяся кривая представляет собой круг, а фиксированная кривая представляет собой линию, то рулетка представляет собой трохоиду . Если в данном случае точка лежит на окружности, то рулетка является циклоидой .

Родственное понятие — это глиссетта , кривая, описываемая точкой, прикрепленной к данной кривой, когда она скользит по двум (или более) заданным кривым.

Формальное определение

Формально говоря, кривые должны быть дифференцируемыми кривыми в евклидовой плоскости . Фиксированная кривая остается неизменной; кривая качения подвергается непрерывному конгруэнтному преобразованию, так что кривые всегда касаются точки контакта, которая движется с одинаковой скоростью, если двигаться вдоль любой кривой (другой способ выразить это ограничение состоит в том, что точка контакта две кривые — мгновенный центр вращения конгруэнтного преобразования). Результирующая рулетка формируется локусом генератора , подвергнутым тому же набору конгруэнтных преобразований.

Моделируя исходные кривые как кривые на комплексной плоскости , пусть будут две естественные параметризации скользящих ( ) и фиксированных ( ) кривых, такие что , , и для всех . Рулетка генератора при броске определяется отображением: ${\displaystyle r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r(0)=f(0)}$ ${\displaystyle r'(0)=f'(0)}$ ${\displaystyle |r'(t)|=|f'(t)|\neq 0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle t\mapsto f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}.}$

Обобщения

Если вместо одной точки, прикрепленной к катящейся кривой, по движущейся плоскости проводится другая данная кривая, образуется семейство конгруэнтных кривых. Конверт этого семейства можно также назвать рулеткой.

Рулетку в более высоких пространствах, конечно, можно представить, но нужно выровнять не только касательные.

Пример

Если фиксированная кривая представляет собой цепную линию , а скользящая кривая представляет собой линию , мы имеем:

${\displaystyle f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)}$

${\displaystyle f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).}$

Параметризация линии выбрана так, что

${\displaystyle |f'(t)|={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}=|r'(t)|.}$

Применяя приведенную выше формулу, получаем:

${\displaystyle f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.}$

Если p = − i, выражение имеет постоянную мнимую часть (а именно − i ), а рулетка представляет собой горизонтальную линию. Интересное применение этого состоит в том, что квадратное колесо может катиться, не подпрыгивая, по дороге, которая представляет собой серию согласованных цепных дуг.

Список рулеток

Смотрите также

• Роллинг
• Механизм
• Локус (математика)
• Принцип суперпозиции
• Спирограф
• Пара Туси
• Розетта (орбита)

Примечания

1. "Cissoid" на www.2dcurves.com
2. "Рулетка Штурма" на www.mathcurve.com
3. "Рулетка Делоне" на www.mathcurve.com
4. "Рулетка Делоне" на www.2dcurves.com
5. «Рулетка с прямой фиксированной кривой» на www.mathcurve.com
6. «Центрированная трохоида» на mathcurve.com

Рекомендации

• WH Besant (1890) Заметки о рулетках и глиссетах из монографий по исторической математике Корнелльского университета , первоначально опубликованных Deighton, Bell & Co.
• Вайсштейн, Эрик В. «Рулетка». Математический мир .

дальнейшее чтение

• Рулетка на 2dcurves.com
• Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan (на французском языке)
• Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen (на немецком языке)