Трохоидный

В геометрии трохоидой (от греч. trochos «колесо») называется рулеточная кривая , образованная катящимся по прямой кругом . Это кривая, вычерченная точкой, закрепленной на круге (где точка может находиться на круге, внутри или снаружи круга) при его катящемся по прямой линии. [ ^1] Если точка находится на круге, трохоиду называют обыкновенной (также известной как циклоида ); если точка находится внутри круга, трохоиду называют усеченной ; а если точка находится вне круга, трохоиду называют вытянутой . Слово «трохоида» было придумано Жилем де Робервалем , ссылаясь на частный случай циклоиды. ^[2]

Основное описание

Вытянутая трохоидная форма с $b / a = 5/4.$

Короткая трохоидальная форма с $b / a = 4/5$

Когда окружность радиуса $a$ катится без скольжения по прямой $L$ , центр $C$ движется параллельно $L$ , а каждая другая точка $P$ во вращающейся плоскости, жестко прикрепленной к окружности, описывает кривую, называемую трохоидой. Пусть $CP = b$ . Параметрические уравнения трохоиды, для которой $L$ является осью $x$ , имеют вид

{\begin{align}&x=a\theta -b\sin \theta \\&y=ab\cos \theta \end{align}}

где $θ$ — переменный угол, на который катится окружность.

Короткий, обычный, вытянутый

Если $P$ лежит внутри круга ( $b < a$ ), на его окружности ( $b = a$ ) или снаружи ( $b > a$ ), трохоиду называют укороченной («суженной»), обычной или вытянутой («расширенной») соответственно. ^[3] Укороченная трохоида описывается педалью (относительно земли), когда велосипед с нормальной передачей движется по прямой линии. [ ^4] Вытянутая трохоида описывается кончиком весла (относительно поверхности воды), когда лодка движется с постоянной скоростью с помощью гребных колес; эта кривая содержит петли. Обыкновенная трохоида, также называемая циклоидой , имеет выступы в точках, где $P$ касается линии $L$ .

Общее описание

Более общий подход определил бы трохоиду как геометрическое место точки, вращающейся с постоянной скоростью вокруг оси, расположенной в точке , $(x,y)$ $(x',y')$

x=x'+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ y=y'+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ r_{1}>0,

какая ось перемещается в плоскости xy с постоянной скоростью либо по прямой линии,

{\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+v_{2x}t,\ y'=y_{0}+v_{2y}t\\\therefore x=x_{0} +r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2x}t,\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1} t+\phi _{1})+v_{2y}t,\\\end{array}}

или круговой путь (другая орбита) вокруг ( случай гипотрохоиды / эпитрохоиды ), $(x_{0},y_{0})$

{\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y'=y_{0}+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ r_{2}\geq 0\\\следовательно, x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\\\end{array}}

Соотношение скоростей движения и то, перемещается ли движущаяся ось по прямой или по круговой траектории, определяет форму трохоиды. В случае прямой траектории один полный оборот совпадает с одним периодом периодического (повторяющегося) геометрического места точек. В случае круговой траектории для движущейся оси геометрическое место точек является периодическим только в том случае, если отношение этих угловых движений, , является рациональным числом, скажем , , где & взаимно просты , в этом случае один период состоит из орбит вокруг движущейся оси и орбит движущейся оси вокруг точки . Особые случаи эпициклоиды и гипоциклоиды , полученные путем отслеживания геометрического места точек на периметре окружности радиуса , пока она катится по периметру неподвижной окружности радиуса , обладают следующими свойствами: $\omega _{1}/\omega _{2}$ $п/д$ $p$ $д$ $p$ $д$ $(x_{0},y_{0})$ $r_{1}$ $R$

{\begin{array}{lcl}{\text{эпициклоида: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=r_{2}/r_{1}=R/r_{1}+1,\ |pq|{\text{ куспиды}}\\{\text{гипоциклоида: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=-r_{2}/r_{1}=-(R/r_{1}-1),\ |pq|=|p|+|q|{\text{ куспиды}}\end{array}}

где - радиус орбиты движущейся оси. Число каспов, указанное выше, также справедливо для любой эпитрохоиды и гипотрохоиды, с заменой "каспов" либо на "радиальные максимумы", либо на "радиальные минимумы". $r_{2}$

Смотрите также

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Трохоид». MathWorld .
^ Уитмен, EA (1943). «Некоторые исторические заметки о циклоиде». American Mathematical Monthly . 50 (5): 309–315. doi :10.1080/00029890.1943.11991383. JSTOR 2302830.
^ "Трохоид". Xah Math . Получено 4 октября 2014 г.
^ Головоломка «Тянем велосипед». YouTube . Архивировано из оригинала 11.12.2021.

Внешние ссылки

Онлайн-эксперименты с трохоидой с использованием JSXGraph