Рулетка (кривая)

Математические кривые, полученные путем свертывания других кривых вместе

В дифференциальной геометрии кривых рулетка — это разновидность кривой , обобщающая циклоиды , эпициклоиды , гипоциклоиды , трохоиды , эпитрохоиды , гипотрохоиды и эвольвенты . На базовом уровне это путь , прочерченный кривой при качении по другой кривой без проскальзывания.

Определение

Неформальное определение

Зелёная парабола катится по равной синей параболе, которая остаётся неподвижной. Генератор является вершиной катящейся параболы и описывает рулетку, показанную красным. В этом случае рулетка — циссоида Диокла . ^[1]

Грубо говоря, рулетка — это кривая, описываемая точкой (называемой генератором или полюсом ) , прикрепленной к данной кривой, когда эта кривая катится без проскальзывания по второй данной кривой, которая фиксирована. Точнее, если задана кривая, прикрепленная к плоскости, которая движется так, что кривая катится без проскальзывания по заданной кривой, прикрепленной к неподвижной плоскости, занимающей то же пространство, то точка, прикрепленная к движущейся плоскости, описывает кривую в неподвижной плоскости, называемой рулеткой.

Особые случаи и связанные с ними концепции

В случае, когда катящаяся кривая является прямой , а образующая — точкой на прямой, рулетка называется эвольвентой фиксированной кривой. Если катящаяся кривая является окружностью, а фиксированная кривая — прямой, то рулетка является трохоидой . Если в этом случае точка лежит на окружности, то рулетка является циклоидой .

Связанное понятие — глиссет , кривая, описываемая точкой, прикрепленной к данной кривой, при ее скольжении вдоль двух (или более) данных кривых.

Формальное определение

Формально говоря, кривые должны быть дифференцируемыми кривыми в евклидовой плоскости . Фиксированная кривая сохраняется инвариантной; катящаяся кривая подвергается непрерывному преобразованию конгруэнтности таким образом, что в любой момент времени кривые касаются в точке контакта, которая движется с одинаковой скоростью, если брать вдоль любой из кривых (другой способ выразить это ограничение состоит в том, что точка контакта двух кривых является мгновенным центром вращения преобразования конгруэнтности). Результирующая рулетка образована геометрическим местом генератора, подвергнутым тому же набору преобразований конгруэнтности.

Моделируя исходные кривые как кривые в комплексной плоскости , пусть будут двумя естественными параметризациями катящейся ( ) и фиксированной ( ) кривых, такими, что , , и для всех . Рулетка генератора , которая катится, тогда задается отображением: ${\displaystyle r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r(0)=f(0)}$ ${\displaystyle r'(0)=f'(0)}$ ${\displaystyle |r'(t)|=|f'(t)|\neq 0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle t\mapsto f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}.}$

Обобщения

Если вместо одной точки, прикрепленной к катящейся кривой, провести вдоль движущейся плоскости другую заданную кривую, то получится семейство конгруэнтных кривых. Огибающую этого семейства можно также назвать рулеткой.

Конечно, можно представить себе рулетки в более высоких пространствах, но для этого нужно выровнять не только касательные.

Пример

Если фиксированная кривая является цепной линией , а катящаяся кривая является прямой , то имеем:

${\displaystyle f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)}$

${\displaystyle f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).}$

Параметризация линии выбрана таким образом, что

${\displaystyle |f'(t)|={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}=|r'(t)|.}$

Применяя формулу выше, получаем:

${\displaystyle f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.}$

Если p = − i, выражение имеет постоянную мнимую часть (а именно − i ), а рулетка представляет собой горизонтальную линию. Интересное применение этого заключается в том, что квадратное колесо может катиться без подпрыгивания по дороге, которая представляет собой согласованную серию дуг цепной линии.

Список рулеток

Смотрите также

• Роллинг
• Механизм
• Локус (математика)
• Принцип суперпозиции
• Спирограф
• Туси пара
• Розетта (орбита)

Примечания

1. "Cissoid" на www.2dcurves.com
2. "Рулетка Штурма" на www.mathcurve.com
3. "Рулетка Делоне" на www.mathcurve.com
4. "Рулетка Делоне" на www.2dcurves.com
5. Гринхилл, Г. (1892). Приложения эллиптических функций. Macmillan. стр. 88.
6. "Рулетка с прямой фиксированной кривой" на www.mathcurve.com
7. "Центрированная трохоида" на mathcurve.com

Ссылки

• У. Х. Безант (1890) Заметки о рулетках и глиссетах из исторических математических монографий Корнеллского университета , первоначально опубликованных Deighton, Bell & Co.
• Вайсштейн, Эрик В. «Рулетка». Математический мир .

Дальнейшее чтение

• Рулетка на 2dcurves.com
• Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan (на французском языке)
• Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen (на немецком языке)