В 4-мерной топологии, разделе математики, ручка Кассона — это 4-мерная топологическая 2-ручка, построенная бесконечной процедурой. Они названы в честь Эндрю Кассона , который ввел их примерно в 1973 году. Первоначально они были названы «гибкими ручками» самим Кассоном, а Майкл Фридман (1982) ввел название «ручка Кассона», под которым они известны сегодня. В этой работе он показал, что ручки Кассона являются топологическими 2-ручками, и использовал это для классификации односвязных компактных топологических 4-многообразий .
В доказательстве теоремы об h-кобордизме используется следующая конструкция. Если задана окружность на границе многообразия, мы часто хотели бы найти диск, вложенный в многообразие, границей которого является данная окружность. Если многообразие односвязно, то мы можем найти отображение из диска в многообразие с границей — данной окружностью, и если многообразие имеет размерность не менее 5, то, поместив этот диск в « общее положение », он становится вложением. Число 5 появляется по следующей причине: подмногообразия размерности m и n в общем положении не пересекаются, если размерность содержащего их многообразия больше . В частности, диск (размерности 2) в общем положении не будет иметь самопересечений внутри многообразия размерности больше 2+2.
Если многообразие 4-мерное, это не работает: проблема в том, что диск в общем положении может иметь двойные точки, где две точки диска имеют одно и то же изображение. Это главная причина, по которой обычное доказательство теоремы об h-кобордизме работает только для кобордизмов, граница которых имеет размерность не менее 5. Мы можем попытаться избавиться от этих двойных точек следующим образом. Нарисуйте линию на диске, соединяющую две точки с одним и тем же изображением. Если изображение этой линии является границей вложенного диска (называемого диском Уитни ), то удалить двойную точку легко. Однако этот аргумент, похоже, ходит по кругу: чтобы устранить двойную точку первого диска, нам нужно построить второй вложенный диск, построение которого включает в себя точно такую же проблему устранения двойных точек.
Идея Кассона состояла в том, чтобы повторять эту конструкцию бесконечное число раз, в надежде, что проблемы с двойными точками каким-то образом исчезнут в бесконечном пределе.
Ручка Кассона имеет двухмерный скелет, который можно построить следующим образом.
Мы можем представить эти скелеты в виде корневых деревьев, так что каждая точка соединена только с конечным числом других точек: дерево имеет точку для каждого диска и линию, соединяющую точки, если соответствующие диски пересекаются в скелете.
Ручка Кассона создается путем «утолщения» 2-мерной конструкции выше для получения 4-мерного объекта: мы заменяем каждый диск копией . Неформально мы можем думать об этом как о взятии небольшой окрестности скелета (представленной как вложенной в некоторое 4-многообразие). При этом есть несколько небольших дополнительных тонкостей: нам нужно отслеживать некоторые кадры, а точки пересечения теперь имеют ориентацию.
Ручки Кассона соответствуют корневым деревьям, как указано выше, за исключением того, что теперь каждая вершина имеет прикрепленный к ней знак, указывающий ориентацию двойной точки. Мы также можем предположить, что дерево не имеет конечных ветвей, поскольку конечные ветви могут быть "распутаны", так что это не имеет значения.
Простейшая экзотическая ручка Кассона соответствует дереву, которое представляет собой просто полубесконечную линию точек (все знаки одинаковы). Она диффеоморфна с удаленным конусом над континуумом Уайтхеда . Существует похожее описание более сложных ручек Кассона, в которых континуум Уайтхеда заменен похожим, но более сложным набором.
Основная теорема Фридмана о ручках Кассона гласит, что все они гомеоморфны ; или, другими словами, они являются топологическими 2-ручками. В общем случае они не диффеоморфны , как следует из теоремы Дональдсона , и существует несчетное бесконечное число различных типов диффеоморфизма ручек Кассона. Однако внутренняя часть ручки Кассона диффеоморфна ; Ручки Кассона отличаются от стандартных 2-ручек только способом прикрепления границы к внутренней части.
Структурную теорему Фридмана можно использовать для доказательства теоремы о h-кобордизме для 5-мерных топологических кобордизмов, что, в свою очередь, влечет за собой 4-мерную топологическую гипотезу Пуанкаре .
