h-кобордизм

Понятие в топологии

В геометрической топологии и дифференциальной топологии ( n  + 1)-мерный кобордизм W между n -мерными многообразиями M и N называется h -кобордизмом (где h обозначает гомотопическую эквивалентность ), если отображения включения

${\displaystyle M\hookrightarrow W\quad {\mbox{and}}\quad N\hookrightarrow W}$

являются гомотопическими эквивалентностями.

Теорема о h -кобордизме дает достаточные условия для того, чтобы h -кобордизм был тривиальным, т. е. был C -изоморфным цилиндру M × [0, 1]. Здесь C относится к любой из категорий гладких , кусочно-линейных или топологических многообразий.

Теорема была впервые доказана Стивеном Смейлом , за что он получил медаль Филдса , и является фундаментальным результатом в теории многообразий высокой размерности. Для начала, она почти сразу доказывает обобщенную гипотезу Пуанкаре .

Фон

До того, как Смейл доказал эту теорему, математики застряли, пытаясь понять многообразия размерности 3 или 4, и предположили, что случаи более высоких размерностей еще сложнее. Теорема о h -кобордизме показала, что (односвязные) многообразия размерности не менее 5 намного проще, чем размерности 3 или 4. Доказательство теоремы основано на « трюке Уитни » Хасслера Уитни , который геометрически распутывает гомологически распутанные сферы дополнительной размерности в многообразии размерности >4. Неформальная причина, по которой многообразия размерности 3 или 4 необычайно сложны, заключается в том, что этот трюк не работает в более низких размерностях, в которых нет места для запутывания.

Точное изложениечас-теорема о кобордизме

Пусть n не меньше 5 и пусть W будет компактным ( n  + 1)-мерным h -кобордизмом между M и N в категории C = Diff , PL или Top таким, что W , M и N односвязны . Тогда W является C -изоморфным M × [0, 1]. Изоморфизм можно выбрать тождественным на M × {0}.

Это означает, что гомотопическая эквивалентность между M и N (или между M × [0, 1], W и N × [0, 1]) гомотопна C -изоморфизму.

Версии с меньшими размерами

При n = 4 теорема о h -кобордизме неверна. Это можно видеть, поскольку Уолл доказал ^[1] , что замкнутые ориентированные односвязные топологические четырехмерные многообразия с эквивалентными формами пересечения являются h -кобордантными. Однако, если форма пересечения нечетна, то существуют негомеоморфные четырехмерные многообразия с той же формой пересечения (различаемые классом Кирби-Зибенмана ). Например, CP ² и фальшивая проективная плоскость с тем же гомотопическим типом не гомеоморфны, но оба имеют форму пересечения (1).

При n = 3 теорема о h -кобордизме для гладких многообразий не доказана и, в силу трехмерной гипотезы Пуанкаре , эквивалентна трудному открытому вопросу о том, имеет ли 4-сфера нестандартные гладкие структуры .

При n = 2 теорема о h -кобордизме эквивалентна гипотезе Пуанкаре, выдвинутой Пуанкаре в 1904 году (одна из проблем тысячелетия ^[2] ), и была доказана Григорием Перельманом в серии из трех статей в 2002 и 2003 годах ^{[3] [4] [5]} , где он следует программе Ричарда С. Гамильтона, используя поток Риччи .

При n = 1 теорема о h -кобордизме бессмысленна, поскольку не существует замкнутого односвязного одномерного многообразия.

При n = 0 теорема о h -кобордизме тривиально верна: интервал является единственным связным кобордизмом между связными 0-многообразиями.

Доказательство эскиза

Функция Морса индуцирует разложение ручки W , т. е. если есть единственная критическая точка индекса k в , то восходящий кобордизм получается из присоединением k -ручки. Цель доказательства - найти разложение ручки без ручек вообще, так что интегрирование ненулевого градиентного векторного поля f дает желаемый диффеоморфизм к тривиальному кобордизму. ${\displaystyle f:W\to [a,b]}$ ${\displaystyle f^{-1}([c,c'])}$ ${\displaystyle W_{c'}}$ ${\displaystyle W_{c}}$

Это достигается с помощью ряда приемов.

1) Перестановка ручек

Во-первых, мы хотим переставить все ручки по порядку так, чтобы ручки низшего порядка были присоединены первыми. Таким образом, вопрос в том, когда мы можем сдвинуть i -ручку с j -ручки? Это можно сделать с помощью радиальной изотопии, пока i- присоединительная сфера и j- сфера пояса не пересекаются. Таким образом, мы хотим, что эквивалентно . ${\displaystyle (i-1)+(n-j)\leq \dim \partial W-1=n-1}$ ${\displaystyle i\leq j}$

Затем мы определяем комплекс цепочки ручек, полагая, что будет свободной абелевой группой на k -ручках, и определяя , отправляя k -ручку в , где - число пересечения k -присоединяющей сферы и ( k  − 1)-поясной сферы. ${\displaystyle (C_{*},\partial _{*})}$ ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle \partial _{k}:C_{k}\to C_{k-1}}$ ${\displaystyle h_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle \sum _{\beta }\langle h_{\alpha }^{k}\mid h_{\beta }^{k-1}\rangle h_{\beta }^{k-1}}$ ${\displaystyle \langle h_{\alpha }^{k}\mid h_{\beta }^{k-1}\rangle }$

2) Обработка отмены

Далее мы хотим «отменить» ручки. Идея состоит в том, что присоединение k -ручки может создать дыру, которую можно заполнить присоединением ( k  + 1)-ручки . Это будет означать, что и поэтому запись в матрице будет . Однако, когда это условие достаточно? То есть, когда мы можем геометрически отменить ручки, если это условие истинно? Ответ заключается в тщательном анализе того, когда многообразие остается односвязным после удаления рассматриваемых прикрепляющей и поясной сфер, и нахождении вложенного диска с помощью трюка Уитни . Этот анализ приводит к требованию, что n должно быть не менее 5. Более того, во время доказательства требуется, чтобы кобордизм не имел 0-, 1-, n- или ( n  + 1)-ручек, что получается с помощью следующего приема. ${\displaystyle h_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle h_{\beta }^{k+1}}$ ${\displaystyle \partial _{k+1}h_{\beta }^{k+1}=\pm h_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \partial _{k+1}}$ ${\displaystyle \pm 1}$

3) Заниматься торговлей

Идея торговли ручками заключается в создании пары отмены ( k  + 1)- и ( k  + 2)-ручек так, чтобы заданная k -ручка отменялась с ( k  + 1)-ручкой, оставляя позади ( k  + 2)-ручку. Для этого рассмотрим ядро ​​k -ручки, которое является элементом в . Эта группа тривиальна, поскольку W является h -кобордизмом. Таким образом, существует диск , который мы можем расширить до пары отмены по желанию, при условии, что мы можем вложить этот диск в границу W . Это вложение существует, если . Поскольку мы предполагаем, что n равно по крайней мере 5, это означает, что k равно либо 0, либо 1. Наконец, рассматривая отрицательность заданной функции Морса, − f , мы можем перевернуть разложение ручки вверх ногами, а также удалить n - и ( n  + 1)-ручки по желанию. ${\displaystyle \pi _{k}(W,M)}$ ${\displaystyle D^{k+1}}$ ${\displaystyle \dim \partial W-1=n-1\geq 2(k+1)}$

4) Ручка скользящая

Наконец, мы хотим убедиться, что выполнение операций со строками и столбцами соответствует геометрической операции. Действительно, несложно показать (лучше всего это сделать, нарисовав рисунок), что скольжение k -дескриптора по другому k -дескриптору заменяет на в базисе для . ${\displaystyle \partial _{k}}$ ${\displaystyle h_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle h_{\beta }^{k}}$ ${\displaystyle h_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle h_{\alpha }^{k}\pm h_{\beta }^{k}}$ ${\displaystyle C_{k}}$

Доказательство теоремы теперь следующее: комплекс цепочек ручек точен, поскольку . Таким образом, поскольку свободны. Тогда , который является целочисленной матрицей, ограничивается обратимым морфизмом, который, таким образом, может быть диагонализирован с помощью элементарных операций строки (скольжение ручки) и должен иметь только на диагонали, поскольку он обратим. Таким образом, все ручки спариваются с одной другой отменяющей ручкой, что дает разложение без ручек. ${\displaystyle H_{*}(W,M;\mathbb {Z} )=0}$ ${\displaystyle C_{k}\cong \operatorname {coker} \partial _{k+1}\oplus \operatorname {im} \partial _{k+1}}$ ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle \partial _{k}}$ ${\displaystyle \pm 1}$

Theс-теорема о кобордизме

Если отбросить предположение, что M и N односвязны, то h -кобордизмы не обязательно должны быть цилиндрами; препятствием является в точности кручение Уайтхеда τ ( W , M ) включения . ${\displaystyle M\hookrightarrow W}$

Точнее, теорема о s -кобордизме (где s обозначает простую гомотопическую эквивалентность ), доказанная независимо Барри Мазуром , Джоном Столлингсом и Деннисом Барденом , гласит (предположения те же, что и выше, но M и N не обязательно должны быть односвязными):

h - кобордизм является цилиндром тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда τ ( W , M ) равно нулю.

Кручение исчезает тогда и только тогда, когда включение является не просто гомотопической эквивалентностью, а простой гомотопической эквивалентностью . ${\displaystyle M\hookrightarrow W}$

Обратите внимание, что не обязательно предполагать, что другое включение также является простой гомотопической эквивалентностью — это следует из теоремы. ${\displaystyle N\hookrightarrow W}$

Категорически h -кобордизмы образуют группоид .

Тогда более тонкая формулировка теоремы о s -кобордизме состоит в том, что классы изоморфизма этого группоида (с точностью до C -изоморфизма h -кобордизмов) являются торсорами для соответствующих ^[6] групп Уайтхеда Wh(π), где ${\displaystyle \pi \cong \pi _{1}(M)\cong \pi _{1}(W)\cong \pi _{1}(N).}$

Смотрите также

• Полу -s -кобордизм

Примечания

1. Wall, CTC (1964). «О простосвязных 4-многообразиях». Журнал Лондонского математического общества . 39 : 141–49.
2. "Проблемы тысячелетия | Институт математики Клэя". www.claymath.org . Получено 2016-03-30 .
3. Перельман, Гриша (11 ноября 2002 г.). "Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения". arXiv : math/0211159 .
4. Перельман, Гриша (2003-03-10). "Поток Риччи с хирургией на трехмерных многообразиях". arXiv : math/0303109 .
5. Перельман, Гриша (2003-07-17). "Конечное время угасания для решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях". arXiv : math/0307245 .
6. Обратите внимание, что для определения групп Уайтхеда различных многообразий необходимо выбрать базовые точки и путь в W, соединяющий их. ${\displaystyle m\in M,n\in N}$

Ссылки

• Freedman, Michael H ; Quinn, Frank (1990). Топология 4-многообразий . Princeton Mathematical Series. Том 39. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08577-3.(Это подтверждает теорему для топологических 4-мерных многообразий.)
• Милнор, Джон , Лекции по теореме о h-кобордизме , заметки Л. Зибенмана и Дж. Сондова, Princeton University Press , Принстон, Нью-Джерси, 1965. v+116 стр. Это дает доказательство для гладких многообразий.
• Рурк, Колин Патрик; Сандерсон, Брайан Джозеф, Введение в кусочно-линейную топологию , Springer Study Edition, Springer-Verlag , Берлин-Нью-Йорк, 1982. ISBN 3-540-11102-6 . Это доказывает теорему для PL-многообразий. 
• С. Смейл, «О структуре многообразий» Amer. J. Math., 84 (1962) стр. 387–399
• Рудяк, Ю.Б. (2001) [1994], "h-кобордизм", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС