В математике фальшивая проективная плоскость (или поверхность Мамфорда ) — одна из 50 комплексных алгебраических поверхностей , имеющих те же числа Бетти , что и проективная плоскость , но не изоморфных ей. Такие объекты всегда являются алгебраическими поверхностями общего типа .
Севери спросил, существует ли комплексная поверхность, гомеоморфная проективной плоскости, но не биголоморфная ей. Яу (1977) показал, что такой поверхности не существует, поэтому ближайшим приближением к проективной плоскости, которое можно иметь, была бы поверхность с теми же числами Бетти ( b 0 , b 1 , b 2 , b 3 , b 4 ) = (1,0,1,0,1), что и у проективной плоскости. Первый пример был найден Мамфордом (1979) с использованием p-адической униформизации, введенной независимо Курихарой и Мустафиным. Мамфорд также заметил, что результат Яу вместе с теоремой Вейля о жесткости дискретных кокомпактных подгрупп PU(1,2) подразумевает, что существует только конечное число поддельных проективных плоскостей. Ишида и Като (1998) нашли еще два примера, используя похожие методы, а Кеум (2006) нашел пример с автоморфизмом порядка 7, который бирационален циклическому покрытию степени 7 поверхности Долгачева . Прасад и Йенг (2007), Прасад и Йенг (2010) нашли систематический способ классификации всех поддельных проективных плоскостей, показав, что существует двадцать восемь классов, каждый из которых содержит по крайней мере один пример поддельной проективной плоскости с точностью до изометрии, и что может быть максимум еще пять классов, которые, как позже было показано, не существуют. Задача перечисления всех поддельных проективных плоскостей сводится к перечислению всех подгрупп соответствующего индекса явно заданной решетки, связанной с каждым классом. Расширив эти вычисления, Картрайт и Стегер (2010) показали, что двадцать восемь классов исчерпывают все возможности для поддельных проективных плоскостей и что всего существует 50 примеров, определенных с точностью до изометрии, или 100 поддельных проективных плоскостей с точностью до биголоморфизма.
Поверхность общего типа с теми же числами Бетти, что и минимальная поверхность не общего типа, должна иметь числа Бетти либо проективной плоскости P 2 , либо квадрики P 1 × P 1 . Шавель (1978) построил несколько «поддельных квадрик»: поверхности общего типа с теми же числами Бетти, что и квадрики. Поверхности Бовилля дают дополнительные примеры.
Многомерные аналоги поддельных проективных поверхностей называются поддельными проективными пространствами .
Как следствие работы Обена и Яу по решению гипотезы Калаби в случае отрицательной кривизны Риччи, см. Яу (1977, 1978), любая фальшивая проективная плоскость является фактором комплексного единичного шара в 2 измерениях по дискретной подгруппе , которая является фундаментальной группой фальшивой проективной плоскости. Эта фундаментальная группа должна, следовательно, быть свободной от кручения и кокомпактной дискретной подгруппой PU(2,1) характеристики Эйлера-Пуанкаре 3. Клинглер (2003) и Йенг (2004) показали, что эта фундаментальная группа также должна быть арифметической группой . Результаты Мостова о сильной жесткости подразумевают, что фундаментальная группа определяет фальшивую плоскость, в сильном смысле, что любая компактная поверхность с той же фундаментальной группой должна быть изометричной ей.
Две фальшивые проективные плоскости определяются как находящиеся в одном классе , если их фундаментальные группы обе содержатся в одной и той же максимальной арифметической подгруппе автоморфизмов единичного шара. Прасад и Йенг (2007), Прасад и Йенг (2010) использовали формулу объема для арифметических групп из (Prasad 1989), чтобы перечислить 28 непустых классов фальшивых проективных плоскостей и показать, что может быть максимум пять дополнительных классов, которые, как ожидается, не существуют. (См. приложение к статье, где классификация была уточнена и некоторые ошибки в исходной статье были исправлены.) Картрайт и Стегер (2010) подтвердили, что пять дополнительных классов действительно не существуют, и перечислили все возможности в пределах двадцати восьми классов. Существует ровно 50 фальшивых проективных плоскостей, классифицированных с точностью до изометрии, и, следовательно, 100 различных фальшивых проективных плоскостей, классифицированных с точностью до биголоморфизма.
Фундаментальная группа фальшивой проективной плоскости является арифметической подгруппой PU(2,1). Обозначим через k соответствующее числовое поле (полностью вещественное поле), а через G — соответствующую k -форму PU(2,1). Если l — квадратичное расширение k, над которым G — внутренняя форма, то l — полностью мнимое поле. Существует алгебра с делением D с центром l и степенью над l 3 или 1, с инволюцией второго рода, которая ограничивается нетривиальным автоморфизмом l над k , и нетривиальной эрмитовой формой на модуле над D размерности 1 или 3, такой что G — специальная унитарная группа этой эрмитовой формы. (Как следует из работы Прасада и Йенга (2007) и работы Картрайта и Стегера, D имеет степень 3 над l , а модуль имеет размерность 1 над D. ) Существует одно действительное место k , такое что точки G образуют копию PU(2,1), а над всеми другими действительными местами k они образуют компактную группу PU(3).
Из результата Прасада и Йенга (2007) следует, что группа автоморфизмов фальшивой проективной плоскости является либо циклической группой порядка 1, 3 или 7, либо нециклической группой порядка 9, либо неабелевой группой порядка 21. Факторы фальшивых проективных плоскостей по этим группам изучались Кеумом (2008), а также Картрайтом и Стегером (2010).