сериал Гранди

Бесконечная сумма чередующихся членов 1 и -1

В математике бесконечный ряд 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ , также записываемый

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$

иногда называют рядом Гранди в честь итальянского математика, философа и священника Гвидо Гранди , который дал памятную трактовку этого ряда в 1703 году. Это расходящийся ряд , что означает, что он не имеет суммы.

Однако им можно манипулировать, чтобы получить ряд математически интересных результатов. Например, в математике многие методы суммирования используются для присвоения числовых значений даже расходящимся рядам. Например, суммирование Чезаро и суммирование Рамануджана этого ряда равно 1/2.

Нестрогие методы

Один очевидный метод найти сумму ряда

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

заключается в том, чтобы относиться к нему как к телескопическому ряду и выполнять вычитания на месте:

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0.

С другой стороны, аналогичная процедура заключения в скобки приводит к, казалось бы, противоречивому результату

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1.

Таким образом, применяя скобки к ряду Гранди разными способами, можно получить в качестве «значения» либо 0, либо 1. (Вариации этой идеи, называемые мошенничеством Эйленберга-Мазура , иногда используются в теории узлов и алгебре .) Взяв среднее из этих двух «значений», можно обосновать, что ряд сходится к ⁠1/2⁠ .

Рассматривая ряд Гранди как расходящийся геометрический ряд и используя те же алгебраические методы, которые оценивают сходящиеся геометрические ряды, чтобы получить третье значение:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + ..., поэтому

1 - S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ...) = 1 - 1 + 1 - 1 + ... = S

1 - С = С

1 = 2 С ,

в результате S = ⁠1/2⁠ . Тот же вывод следует из вычисления - S (из - S = (1 - S ) - 1) , вычитания результата из  S и решения 2 S = 1 . ^[1]

Приведенные выше манипуляции не учитывают, что на самом деле означает сумма ряда и как указанные алгебраические методы могут быть применены к расходящимся геометрическим рядам . Тем не менее, поскольку важно уметь заключать ряды в скобки по своему желанию и еще важнее уметь выполнять с ними арифметические действия, можно прийти к двум выводам:

• Ряд 1 − 1 + 1 − 1 + ... не имеет суммы. ^{[1] [2]}
• ... но его сумма должна быть ⁠1/2⁠ . ^[2]

На самом деле оба эти утверждения можно уточнить и формально доказать, но только с использованием вполне определенных математических понятий, возникших в XIX веке. После появления исчисления в Европе в конце 17-го века , но до появления современной строгости , напряжение между этими ответами подпитывало то, что было охарактеризовано как «бесконечный» и «жестокий» спор между математиками . ^[3]

Связь с геометрическим рядом

Для любого числа из интервала ⁠ ⁠ сумму до бесконечности геометрической прогрессии можно вычислить через ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (-1,1)}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}r^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}.}$

Таким образом, для любого находим ${\displaystyle \varepsilon \in (0,2)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1+\varepsilon )^{n}={\frac {1}{1-(-1+\varepsilon )}}={\frac {1}{2-\varepsilon }},}$

и поэтому предел серийных оценок равен ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}(-1+\varepsilon )^{n}={\frac {1}{2}}.}$

Однако, как уже упоминалось, ряд, полученный переключением пределов,

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}\sum _{n=0}^{N}(-1+\varepsilon )^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$

расходится.

С точки зрения комплексного анализа , ⁠1/2Таким образом , ⁠ рассматривается как значение в точке z = −1 аналитического продолжения ряда ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{N}z^{n}}$ , которое определено только на комплексном единичном круге, | г | < 1 .

Ранние идеи

Дивергенция

В современной математике сумма бесконечного ряда определяется как предел последовательности его частичных сумм , если она существует. Последовательность частичных сумм ряда Гранди равна 1, 0, 1, 0, ..., что явно не приближается ни к какому числу (хотя имеет две точки накопления — 0 и 1). Следовательно, ряд Гранди расходится .

Можно показать, что недопустимо выполнять многие, казалось бы, безобидные операции над рядом, такие как изменение порядка отдельных членов, если только ряд не является абсолютно сходящимся . В противном случае эти операции могут изменить результат суммирования. ^[4] Кроме того, члены ряда Гранди можно переставить так, чтобы точки накопления находились в любом интервале из двух или более последовательных целых чисел, а не только 0 или 1. Например, ряд

${\displaystyle 1+1+1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-\cdots }$

(в котором после пяти начальных членов +1 термины чередуются парами +1 и -1 - бесконечность как +1, так и -1 позволяет добавлять к началу любое конечное число единиц или -1 в соответствии с парадоксом Гильберта Гранд-отель ) — перестановка ряда Гранди, в которой каждое значение в переставленном ряду соответствует значению, находящемуся не более чем на четырех позициях от него в исходном ряду; его точки накопления — 3, 4 и 5.

Образование

Когнитивное воздействие

Примерно в 1987 году Анна Серпиньска представила серию Гранди группе 17-летних студентов предварительных курсов варшавского лицея . Она сосредоточила внимание на студентах-гуманитариях, ожидая, что их математический опыт будет менее значительным, чем у их сверстников, изучающих математику и физику, поэтому эпистемологические препятствия, которые они демонстрируют, будут более репрезентативными для препятствий, которые все еще могут присутствовать у лицеистов.

Серпинская изначально ожидала, что студенты откажутся присвоить значение ряду Гранди, и в этот момент она могла шокировать их, заявив, что 1 - 1 + 1 - 1 + ··· = ⁠1/2⁠ в результате формулы геометрической прогрессии. В идеале, ища ошибку в рассуждениях и исследуя формулы для различных общих отношений, студенты «заметят, что существует два типа рядов, и родится неявная концепция сходимости». ^[5] Однако студенты не проявили никакого шока, когда им сказали, что 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ⁠1/2⁠ или даже что 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ = −1 . Серпинская отмечает, что априори реакция студентов не должна быть слишком удивительной, учитывая, что Лейбниц и Гранди думали :1/2⁠ быть правдоподобным результатом;

«Однако апостериори объяснение отсутствия шока со стороны студентов может быть несколько иным. Они спокойно приняли абсурд, потому что, в конце концов, «математика совершенно абстрактна и далека от реальности», и «с этими математическими трансформациями можно доказать всякую ерунду», как сказал потом один из мальчиков». ^[5]

В конечном итоге студенты не были застрахованы от вопроса конвергенции; Серпинской удалось вовлечь их в эту проблему, связав ее на следующий день с десятичными расширениями. Как только число 0,999... = 1 застало студентов врасплох, остальной материал «прошёл мимо их ушей». ^[5]

Предубеждения

В другом исследовании, проведенном в Тревизо , Италия , примерно в 2000 году, ученикам третьего и четвертого курсов Liceo Scientifico (в возрасте от 16 до 18 лет) раздавались карточки со следующими вопросами:

«В 1703 году математик Гвидо Гранди изучал сложение: 1 − 1 + 1 − 1 + ... (слагаемые, которых бесконечно много, всегда равны +1 и –1). Что вы об этом думаете?»

Студентам была представлена ​​идея бесконечного множества, но у них не было опыта работы с бесконечными сериями. Им дали десять минут без книг и калькуляторов. 88 ответов были распределены по следующим категориям:

(26) результат 0

(18) результат может быть либо 0, либо 1

(5) результат не существует

(4) результат ⁠1/2⁠

(3) результат 1

(2) результат бесконечен

(30) нет ответа

Исследователь Джорджио Баньи взял интервью у нескольких студентов, чтобы выяснить их рассуждения. Около 16 из них обосновали ответ 0, используя логику, аналогичную логике Гранди и Риккати. Другие оправданы ⁠1/2⁠ как среднее от 0 до 1. Баньи отмечает, что их рассуждения, хотя и похожи на рассуждения Лейбница, лишены вероятностной основы, которая была так важна для математики 18-го века. Он заключает, что ответы согласуются со связью между историческим развитием и индивидуальным развитием, хотя культурный контекст различен. ^[6]

Перспективы

Джоэл Леманн описывает процесс различения различных концепций суммы как строительство моста через концептуальную расселину: путаницу по поводу расхождений, которая преследовала математику 18-го века.

«Поскольку серии обычно представляются без истории и отдельно от приложений, студент должен задаться вопросом не только «Что это за вещи?», но и «Почему мы это делаем?» Озабоченность определением сходимости, а не суммы, делает весь процесс искусственны и бессмысленны для многих студентов, а также для преподавателей». ^[7]

В результате у многих студентов развивается отношение, похожее на отношение Эйлера:

«... проблемы, которые возникают естественным образом (т. е. из природы), имеют решения, поэтому предположение о том, что все в конечном итоге наладится, подтверждается экспериментально без необходимости каких-либо доказательств существования. Предположим, что все в порядке, и если полученное решение работает, вы, вероятно, были правы, или, по крайней мере, достаточно правы... так зачем беспокоиться о деталях, которые появляются только в домашних заданиях?» ^[8]

Леманн рекомендует ответить на это возражение тем же примером, который был приведен Жаном-Шарлем Калле против трактовки Эйлером ряда Гранди. Эйлер рассматривал сумму как оценку в точке x = 1 геометрической прогрессии ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots =1/(1+x)}$ , давая сумму ⁠1/2⁠ . Однако Калле отметил, что вместо этого можно рассматривать ряд Гранди как оценку при x = 1 другого ряда, ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1-x^{2}+x^{3}-x^{5}+x^{6}-\cdots ={\tfrac {1+x}{1+x+x^{2}}}}$ , дающего сумму ⁠2/3⁠ . Леман утверждает, что такой противоречивый результат в интуитивных оценках может мотивировать необходимость строгих определений и внимания к деталям. ^[8]

Суммируемость

Связанные проблемы

Ряд 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + ... ( до бесконечности) также расходится, но можно использовать некоторые методы для его суммирования до ⁠1/4⁠ . Это квадрат значения, которое большинство методов суммирования присваивают ряду Гранди, что вполне разумно, поскольку его можно рассматривать как произведение Коши двух копий ряда Гранди.

Смотрите также

• 1 – 1 + 2 – 6 + 24 – 120 + ⋯
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• 1 - 2 + 3 - 4 + ⋯
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 - 2 + 4 - 8 + ⋯
• Суммирование Рамануджана
• Суммирование Чезаро
• Лампа Томсона

Примечания

1. Девлин 1994, с. 77
2. Дэвис 1989, с. 152
3. Клайн 1983, с. 307; Кнопп 1990, с. 457
4. Проттер и Морри, 1991 г.
5. Серпиньска 1987, стр. 371–378.
6. Баньи 2005, стр. 6–8.
7. Леманн 1995, с. 165
8. Леманн 1995, с. 176

Рекомендации

• Баньи, Джорджио Т. (июнь 2005 г.). «Бесконечная серия от истории до математического образования» (PDF) . Международный журнал преподавания и изучения математики . Архивировано из оригинала (PDF) 29 декабря 2006 г.
• Дэвис, Гарри Ф. (май 1989 г.). Ряды Фурье и ортогональные функции . Дувр. ISBN 978-0-486-65973-2.
• Девлин, Кейт (1994). Математика, наука о закономерностях: поиск порядка в жизни, разуме и Вселенной . Научная американская библиотека. ISBN 978-0-7167-6022-1.
• Клайн, Моррис (ноябрь 1983 г.). «Эйлер и бесконечный ряд». Журнал «Математика» . 56 (5): 307–314. CiteSeerX  10.1.1.639.6923 . дои : 10.2307/2690371. JSTOR  2690371.
• Кнопп, Конрад (1990) [1922]. Теория и применение бесконечных рядов . Дувр. ISBN 978-0-486-66165-0.
• Хобсон, EW (1907). Теория функций действительного переменного и теория рядов Фурье. Издательство Кембриджского университета . раздел 331. ISBN 978-1-4181-8651-7.
• Леманн, Джоэл (1995). «Сходящиеся концепции сериалов: уроки истории». Ин Свец, Фрэнк; Фовель, Джон; Беккен, Отто; Йоханссон, Бенгт; Кац, Виктор (ред.). Учитесь у Мастеров! (PDF) . Математическая ассоциация Америки. стр. 161–180.
• Проттер, Мюррей Х.; Морри, Чарльз Б. младший (1991). Первый курс реального анализа. Тексты для бакалавриата по математике . Спрингер. п. 249. ИСБН 978-0-387-97437-8.
• Серпинская, Анна (ноябрь 1987 г.). «Студенты-гуманитарии и эпистемологические препятствия, связанные с ограничениями». Образовательные исследования по математике . 18 (4): 371–396. дои : 10.1007/BF00240986. JSTOR  3482354. S2CID  144880659.
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж.Н. (1962). Курс современного анализа (4-е, переиздание). Издательство Кембриджского университета . § 2.1.

Внешние ссылки

• Один минус один плюс один минус один - Числофил, сериал Гранди