Серия Дайсон

Расширение оператора эволюции во времени

В теории рассеяния , части математической физики , ряд Дайсона , сформулированный Фрименом Дайсоном , является пертурбативным разложением оператора эволюции во времени в картине взаимодействия . Каждый член может быть представлен суммой диаграмм Фейнмана .

Этот ряд расходится асимптотически , но в квантовой электродинамике (КЭД) во втором порядке разница с экспериментальными данными составляет порядка 10−10 ^. Это близкое согласие сохраняется, поскольку константа связи (также известная как константа тонкой структуры ) КЭД намного меньше 1. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Оператор Дайсона

В картине взаимодействия гамильтониан H можно разделить на свободную часть H 0 _и взаимодействующую часть V _S ( t ) как H = H ₀ + V _S ( t ) .

Потенциал во взаимодействующей картине равен

${\displaystyle V_{\mathrm {I} }(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0}(t-t_{0})/\hbar }V_{\mathrm {S} }(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0}(t-t_{0})/\hbar },}$

где не зависит от времени, а — возможно зависящая от времени взаимодействующая часть картины Шредингера . Чтобы избежать нижних индексов, в дальнейшем обозначает . ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle V_{\mathrm {S} }(t)}$ ${\displaystyle V(t)}$ ${\displaystyle V_{\mathrm {I} }(t)}$

В картине взаимодействия оператор эволюции U определяется уравнением:

${\displaystyle \Psi (t)=U(t,t_{0})\Psi (t_{0})}$

Иногда это называют оператором Дайсона .

Оператор эволюции образует унитарную группу относительно параметра времени. Он обладает групповыми свойствами:

• Идентификация и нормализация: ^[1] ${\displaystyle U(t,t)=1,}$
• Состав: ^[2] ${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}),}$
• Обратное течение времени: ^{[ требуется разъяснение ]} ${\displaystyle U^{-1}(t,t_{0})=U(t_{0},t),}$
• Унитарность: ^[3] ${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=\mathbb {1} }$

и из них можно вывести уравнение эволюции пропагатора во времени: ^[4]

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}U(t,t_{0})\Psi (t_{0})=V(t)U(t,t_{0})\Psi (t_{0}).}$

В картине взаимодействия гамильтониан совпадает с потенциалом взаимодействия , и, таким образом, уравнение в картине взаимодействия можно записать как ${\displaystyle H_{\rm {int}}=V(t)}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\Psi (t)=H_{\rm {int}}\Psi (t)}$

Внимание : это уравнение эволюции во времени не следует путать с уравнением Томонаги–Швингера .

Формальное решение:

${\displaystyle U(t,t_{0})=1-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\ V(t_{1})U(t_{1},t_{0})},}$

что в конечном итоге является разновидностью интеграла Вольтерры .

Происхождение серии Дайсона

Итеративное решение уравнения Вольтерра выше приводит к следующему ряду Неймана :

${\displaystyle {\begin{aligned}U(t,t_{0})={}&1-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}V(t_{1})+(-i\hbar ^{-1})^{2}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt_{2}V(t_{1})V(t_{2})+\cdots \\&{}+(-i\hbar ^{-1})^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})+\cdots .\end{aligned}}}$

Здесь, и поэтому поля упорядочены по времени . Полезно ввести оператор , называемый оператором упорядочения по времени , и определить ${\displaystyle t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle U_{n}(t,t_{0})=(-i\hbar ^{-1})^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}$

Пределы интегрирования можно упростить. В общем случае, если задана некоторая симметричная функция, можно определить интегралы ${\displaystyle K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}),}$

${\displaystyle S_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).}$

и

${\displaystyle I_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).}$

Область интегрирования второго интеграла можно разбить на подобласти, определяемые соотношением . В силу симметрии интеграл в каждой из этих подобластей по определению одинаков и равен . Отсюда следует, что ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle S_{n}={\frac {1}{n!}}I_{n}.}$

Применительно к предыдущей идентичности это дает

${\displaystyle U_{n}={\frac {(-i\hbar ^{-1})^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}$

Суммируя все члены, получаем ряд Дайсона. Это упрощенная версия ряда Неймана, приведенного выше, которая включает в себя упорядоченные по времени произведения; это упорядоченная по пути экспонента : ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}U(t,t_{0})&=\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(t,t_{0})\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\hbar ^{-1})^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})\\&={\mathcal {T}}\exp {-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}{d\tau V(\tau )}}\end{aligned}}}$

Этот результат также называется формулой Дайсона. ^[6] Групповые законы могут быть выведены из этой формулы.

Применение к векторам состояния

Вектор состояния в момент времени можно выразить через вектор состояния в момент времени , например ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t>t_{0},}$

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t_{\rm {f}}\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_{\rm {i}}}\,{\mathcal {T}}\left\{\prod _{k=1}^{n}e^{iH_{0}t_{k}/\hbar }V(t_{k})e^{-iH_{0}t_{k}/\hbar }\right\}|\Psi (t_{0})\rangle .}$

Внутреннее произведение начального состояния при на конечное состояние при в картине Шредингера для равно: ${\displaystyle t_{i}=t_{0}}$ ${\displaystyle t_{f}=t}$ ${\displaystyle t_{f}>t_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \Psi (t_{\rm {i}})&\mid \Psi (t_{\rm {f}})\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\times \\&\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t_{\rm {f}}\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_{\rm {i}}}\,\langle \Psi (t_{i})\mid e^{-iH_{0}(t_{\rm {f}}-t_{1})/\hbar }V_{\rm {S}}(t_{1})e^{-iH_{0}(t_{1}-t_{2})/\hbar }\cdots V_{\rm {S}}(t_{n})e^{-iH_{0}(t_{n}-t_{\rm {i}})/\hbar }\mid \Psi (t_{i})\rangle \end{aligned}}}$

S -матрицу можно получить , записав ее в представлении Гейзенберга , считая входные и выходные состояния на бесконечности: ^[7]

${\displaystyle \langle \Psi _{\rm {out}}\mid S\mid \Psi _{\rm {in}}\rangle =\langle \Psi _{\rm {out}}\mid \sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\underbrace {\int d^{4}x_{1}\cdots d^{4}x_{n}} _{t_{\rm {out}}\,\geq \,t_{n}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{1}\,\geq \,t_{\rm {in}}}\,{\mathcal {T}}\left\{H_{\rm {int}}(x_{1})H_{\rm {int}}(x_{2})\cdots H_{\rm {int}}(x_{n})\right\}\mid \Psi _{\rm {in}}\rangle .}$

Обратите внимание, что в скалярном произведении порядок времени был обратным.

Смотрите также

• Уравнение Швингера–Дайсона
• Серия Магнус
• Серия Пеано–Бейкера
• итерация Пикара

Ссылки

1. Сакурай, Современная квантовая механика, 2.1.10
2. Сакурай, Современная квантовая механика, 2.1.12
3. Сакурай, Современная квантовая механика, 2.1.11
4. Сакурай, Современная квантовая механика, 2.1 стр. 69-71
5. Сакурай, Современная квантовая механика, 2.1.33, стр. 72
6. Тонг 3.20, http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/qft.pdf
7. Дайсон (1949), «S-матрица в квантовой электродинамике», Physical Review , 75 (11): 1736–1755, Bibcode : 1949PhRv...75.1736D, doi : 10.1103/PhysRev.75.1736

• Чарльз Дж. Джоачейн , Квантовая теория столкновений , North-Holland Publishing, 1975, ISBN 0-444-86773-2 (Elsevier)