Сходимость ряда Фурье

Математическая задача классического гармонического анализа

В математике вопрос о том, сходится ли ряд Фурье периодической функции к заданной функции , исследуется областью, известной как классический гармонический анализ , разделом чистой математики . Сходимость не обязательно дана в общем случае, и для того, чтобы она произошла, должны быть выполнены определенные критерии.

Определение сходимости требует понимания точечной сходимости , равномерной сходимости , абсолютной сходимости , пространств L p , методов суммирования и среднего Чезаро .

Предварительные данные

Рассмотрим f как интегрируемую функцию на интервале [0, 2 π ] . Для такой f коэффициенты Фурье определяются формулой ${\displaystyle {\widehat {f}}(n)}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}\,\mathrm {d} t,\quad n\in \mathbb {Z} .}$

Связь между f и ее рядом Фурье принято описывать следующим образом:

${\displaystyle f\sim \sum _{n}{\widehat {f}}(n)e^{int}.}$

Обозначение ~ здесь означает, что сумма представляет функцию в некотором смысле. Чтобы исследовать это более тщательно, необходимо определить частичные суммы:

${\displaystyle S_{N}(f;t)=\sum _{n=-N}^{N}{\widehat {f}}(n)e^{int}.}$

Вопрос о том, сходится ли ряд Фурье, заключается в следующем: сходятся ли функции (являющиеся функциями переменной t, которую мы опустили в обозначениях) к f и в каком смысле? Существуют ли условия на f, обеспечивающие тот или иной тип сходимости? ${\displaystyle S_{N}(f)}$

Прежде чем продолжить, необходимо ввести ядро ​​Дирихле . Взяв формулу для , подставив ее в формулу для и выполнив некоторые алгебраические действия, получаем, что ${\displaystyle {\widehat {f}}(n)}$ ${\displaystyle S_{N}}$

${\displaystyle S_{N}(f)=f*D_{N}}$

где ∗ обозначает периодическую свертку и является ядром Дирихле, которое имеет явную формулу, ${\displaystyle D_{N}}$

${\displaystyle D_{n}(t)={\frac {\sin((n+{\frac {1}{2}})t)}{\sin(t/2)}}.}$

Ядро Дирихле не является положительным ядром, и фактически его норма расходится, а именно

${\displaystyle \int |D_{n}(t)|\,\mathrm {d} t\to \infty }$

факт, который играет решающую роль в обсуждении. Норма D _n в L ¹ ( T ) совпадает с нормой оператора свертки с D _n , действующего на пространстве C ( T ) периодических непрерывных функций, или с нормой линейного функционала f  → ( S _n f )(0) на C ( T ). Следовательно, это семейство линейных функционалов на C ( T ) неограничено, когда n  → ∞.

Величина коэффициентов Фурье

В приложениях часто бывает полезно знать величину коэффициента Фурье.

Если — абсолютно непрерывная функция, ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {K \over |n|}}$

для константы, которая зависит только от . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$

Если — функция ограниченной вариации , ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {{\rm {var}}(f) \over 2\pi |n|}.}$

Если ${\displaystyle f\in C^{p}}$

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {\|f^{(p)}\|_{L_{1}} \over |n|^{p}}.}$

Если и имеет модуль непрерывности ^{[ необходима ссылка ]} , ${\displaystyle f\in C^{p}}$ ${\displaystyle f^{(p)}}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {\omega (2\pi /n) \over |n|^{p}}}$

и, следовательно, если находится в α- классе Гельдера ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {K \over |n|^{\alpha }}.}$

Точечная сходимость

Суперпозиция базисных функций синусоидальной волны (внизу) для формирования пилообразной волны (вверху); базисные функции имеют длины волн λ/ k ( k = целое число) короче длины волны λ самой пилы (за исключением k = 1). Все базисные функции имеют узлы в узлах пилы, но все, кроме основной, имеют дополнительные узлы. Колебание вокруг пилообразной волны называется явлением Гиббса

Известно много достаточных условий для того, чтобы ряд Фурье функции сходился в заданной точке x , например, если функция дифференцируема в точке x . Даже скачок непрерывности не представляет проблемы: если функция имеет левые и правые производные в точке x , то ряд Фурье сходится к среднему значению левого и правого пределов (но см. явление Гиббса ).

Критерий Дирихле–Дини (см. условия Дирихле и тест Дини ) утверждает, что: если ƒ является 2 π –периодической, локально интегрируемой и удовлетворяет условию

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\left|{\frac {f(x_{0}+t)+f(x_{0}-t)}{2}}-\ell \right|{\frac {\mathrm {d} t}{t}}<\infty ,}$

тогда (S _n f )( x ₀ ) сходится к ℓ. Это означает, что для любой функции f любого класса Гельдера α  > 0 ряд Фурье сходится всюду к f ( x ).

Известно также, что для любой периодической функции ограниченной вариации ряд Фурье сходится всюду. См. также тест Дини . В общем случае наиболее распространенными критериями поточечной сходимости периодической функции f являются следующие:

• Если f удовлетворяет условию Гёльдера, то ее ряд Фурье сходится равномерно.
• Если f имеет ограниченную вариацию, то ее ряд Фурье сходится всюду.
• Если f непрерывна и ее коэффициенты Фурье абсолютно суммируемы, то ряд Фурье сходится равномерно.

Существуют непрерывные функции, ряды Фурье которых сходятся поточечно, но не равномерно; см. Антони Зигмунд, Тригонометрические ряды , т. 1, глава 8, теорема 1.13, стр. 300.

Однако ряд Фурье непрерывной функции не обязательно сходится поточечно. Возможно, самое простое доказательство использует неограниченность ядра Дирихле в L ¹ ( T ) и принцип равномерной ограниченности Банаха–Штейнгауза . Как типично для аргументов существования, ссылающихся на теорему Бэра о категории , это доказательство неконструктивно. Оно показывает, что семейство непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится при заданном x, имеет первую категорию Бэра в банаховом пространстве непрерывных функций на окружности.

Так что в некотором смысле поточечная сходимость нетипична , и для большинства непрерывных функций ряд Фурье не сходится в данной точке. Однако теорема Карлесона показывает, что для данной непрерывной функции ряд Фурье сходится почти всюду.

Также можно привести явные примеры непрерывной функции, ряд Фурье которой расходится в точке 0: например, четная и 2π-периодическая функция f, определенная для всех x в [0,π] формулой ^[1]

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1\right){\frac {x}{2}}\right].}$

В этом примере легко показать, как ведет себя ряд в нуле. Поскольку функция четная, ряд Фурье содержит только косинусы:

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{m=0}^{\infty }C_{m}\cos(mx).}$

Коэффициенты:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{m}&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\int _{0}^{\pi }\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1\right){\frac {x}{2}}\right]\cos {mx}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\int _{0}^{\pi }\left\{\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1-2m\right){\frac {x}{2}}\right]+\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1+2m\right){\frac {x}{2}}\right]\right\}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\left\{{\frac {2}{2^{n^{3}}+1-2m}}+{\frac {2}{2^{n^{3}}+1+2m}}\right\}\\\end{aligned}}}$

По мере увеличения m коэффициенты будут положительными и увеличиваться, пока не достигнут значения около при для некоторого n , а затем станут отрицательными (начиная со значения около ) и будут уменьшаться, прежде чем начнется новая такая волна. При ряд Фурье — это просто текущая сумма , и это накапливается до около ${\displaystyle C_{m}\approx 2/(n^{2}\pi )}$ ${\displaystyle m=2^{n^{3}}/2}$ ${\displaystyle -2/(n^{2}\pi )}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle C_{m},}$

${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}\pi }}\sum _{k=0}^{2^{n^{3}}/2}{\frac {2}{2k+1}}\sim {\frac {1}{n^{2}\pi }}\ln 2^{n^{3}}={\frac {n}{\pi }}\ln 2}$

в n -й волне, прежде чем вернуться к нулю, показывая, что ряд не сходится к нулю, а достигает все более высоких пиков.

Равномерная сходимость

Предположим , что и имеет модуль непрерывности ; тогда частичные суммы ряда Фурье сходятся к функции со скоростью ^[2] ${\displaystyle f\in C^{p}}$ ${\displaystyle f^{(p)}}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle |f(x)-(S_{N}f)(x)|\leq K{\ln N \over N^{p}}\omega (2\pi /N)}$

для константы , которая не зависит ни от , ни от , ни от . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N}$

Эта теорема, впервые доказанная Д. Джексоном, гласит, например, что если удовлетворяет условию Гёльдера , то ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle |f(x)-(S_{N}f)(x)|\leq K{\ln N \over N^{\alpha }}.}$

Если является периодическим и абсолютно непрерывным на , то ряд Фурье сходится равномерно, но не обязательно абсолютно, к . ^[3] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Абсолютная сходимость

Функция ƒ имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье, если

${\displaystyle \|f\|_{A}:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(n)|<\infty .}$

Очевидно, что если это условие выполняется, то сходится абсолютно для каждого t и, с другой стороны, достаточно, чтобы сходилось абсолютно хотя бы для одного t , тогда это условие выполняется. Другими словами, для абсолютной сходимости нет вопроса о том, где сумма сходится абсолютно — если она сходится абсолютно в одной точке, то она делает это везде. ${\displaystyle (S_{N}f)(t)}$ ${\displaystyle (S_{N}f)(t)}$

Семейство всех функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье является банаховой алгеброй (операция умножения в алгебре является простым умножением функций). Она называется алгеброй Винера , в честь Норберта Винера , который доказал, что если ƒ имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье и никогда не равен нулю, то 1/ ƒ имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье. Первоначальное доказательство теоремы Винера было сложным; упрощение с использованием теории банаховых алгебр было дано Израилем Гельфандом . Наконец, краткое элементарное доказательство было дано Дональдом Дж. Ньюманом в 1975 году.

Если принадлежит классу α-Гёльдера при α > 1/2, то ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \|f\|_{A}\leq c_{\alpha }\|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }},\qquad \|f\|_{K}:=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|n||{\widehat {f}}(n)|^{2}\leq c_{\alpha }\|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }}^{2}}$

для константы в условии Гельдера , константа, зависящая только от ; является нормой алгебры Крейна. Обратите внимание, что 1/2 здесь существенна — существуют 1/2-функции Гельдера, которые не принадлежат алгебре Винера. Кроме того, эта теорема не может улучшить наиболее известную границу размера коэффициента Фурье α-функции Гельдера — которая является только и затем не суммируемой. ${\displaystyle \|f\|_{{\rm {Lip}}_{\alpha }}}$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \|f\|_{K}}$ ${\displaystyle O(1/n^{\alpha })}$

Если ƒ имеет ограниченную вариацию и принадлежит α-классу Гёльдера для некоторого α > 0, то она принадлежит алгебре Винера. ^{[ необходима ссылка ]}

Норма сходимости

Простейшим случаем является случай L 2 , который является прямой транскрипцией общих результатов Гильбертова пространства . Согласно теореме Рисса–Фишера , если ƒ квадратно интегрируема , то

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\int _{0}^{2\pi }\left|f(x)-S_{N}(f)(x)\right|^{2}\,\mathrm {d} x=0}$

т.е. сходится к ƒ в норме L ² . Легко видеть, что обратное также верно: если предел выше равен нулю, ƒ  должен быть в L ² . Так что это условие тогда и только тогда . ${\displaystyle S_{N}f}$

Если 2 в показателях степеней выше заменить на некоторое p , вопрос становится намного сложнее. Оказывается, что сходимость все еще имеет место, если 1 < p  < ∞. Другими словами, для ƒ в L p сходится к ƒ в норме L ^p . Первоначальное доказательство использует свойства голоморфных функций и пространств Харди , а  другое доказательство, принадлежащее Саломону Бохнеру, опирается на интерполяционную теорему Рисса–Торина . Для p  = 1 и бесконечности результат неверен. Построение примера расходимости в L ¹ впервые было сделано Андреем Колмогоровым (см. ниже). Для бесконечности результат является следствием принципа равномерной ограниченности . ${\displaystyle S_{N}(f)}$

Если оператор частичного суммирования S _N заменить подходящим ядром суммируемости (например, суммой Фейера, полученной сверткой с ядром Фейера ), можно применить основные методы функционального анализа, чтобы показать, что сходимость нормы имеет место при 1 ≤  p  < ∞.

Конвергенция почти везде

Проблема сходимости ряда Фурье любой непрерывной функции почти всюду была поставлена ​​Николаем Лузиным в 1920-х годах. Она была решена положительно в 1966 году Леннартом Карлесоном . Его результат, ныне известный как теорема Карлесона , утверждает, что разложение Фурье любой функции из L ² сходится почти всюду. Позднее Ричард Хант обобщил это на L ^p для любого p  > 1.

Напротив, Андрей Колмогоров , будучи студентом в возрасте 19 лет, в своей первой же научной работе построил пример функции в L1 ^, ряд Фурье которой расходится почти всюду (позже улучшен до расходящегося всюду).

Жан-Пьер Кахане и Ицхак Кацнельсон доказали, что для любого заданного множества E меры нуль существует непрерывная функция ƒ такая, что ряд Фурье функции ƒ не сходится ни в одной точке E.

Суммируемость

Сходится ли последовательность 0,1,0,1,0,1,... (частичные суммы ряда Гранди ) к ⁠1/2⁠ ? Это не кажется очень неразумным обобщением понятия сходимости. Поэтому мы говорим, что любая последовательность суммируема по Чезаро к некоторому a, если ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=a.}$

Где через мы обозначаем k- ю частичную сумму : ${\displaystyle s_{k}}$

${\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}}$

Нетрудно видеть, что если последовательность сходится к некоторому a , то она также суммируема по Чезаро с ним.

Чтобы обсудить суммируемость рядов Фурье, мы должны заменить на соответствующее понятие. Поэтому мы определяем ${\displaystyle S_{N}}$

${\displaystyle K_{N}(f;t)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}S_{n}(f;t),\quad N\geq 1,}$

и спросить: сходится ли к f ? больше не связано с ядром Дирихле, а с ядром Фейера , а именно ${\displaystyle K_{N}(f)}$ ${\displaystyle K_{N}}$

${\displaystyle K_{N}(f)=f*F_{N}\,}$

где находится ядро ​​Фейера, ${\displaystyle F_{N}}$

${\displaystyle F_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}.}$

Главное отличие в том, что ядро ​​Фейера является положительным ядром. Теорема Фейера утверждает, что указанная выше последовательность частичных сумм сходится равномерно к ƒ . Это подразумевает гораздо лучшие свойства сходимости

• Если ƒ непрерывна в точке t, то ряд Фурье функции ƒ суммируем в точке t до ƒ ( t ). Если ƒ непрерывна, то ее ряд Фурье равномерно суммируем (т.е. равномерно сходится к ƒ ). ${\displaystyle K_{N}(f)}$
• Для любого интегрируемого ƒ сходится к ƒ по норме. ${\displaystyle K_{N}(f)}$ ${\displaystyle L^{1}}$
• Феномена Гиббса не существует.

Результаты о суммируемости также могут подразумевать результаты о регулярной сходимости. Например, мы узнаем, что если ƒ непрерывна в точке t , то ряд Фурье функции ƒ не может сходиться к значению, отличному от ƒ ( t ). Он может либо сходиться к ƒ ( t ), либо расходиться. Это происходит потому, что если сходится к некоторому значению x , он также суммируем к нему, поэтому из первого свойства суммируемости выше, x  = ƒ ( t ). ${\displaystyle S_{N}(f;t)}$

Порядок роста

Порядок роста ядра Дирихле логарифмический, т.е.

${\displaystyle \int |D_{N}(t)|\,\mathrm {d} t={\frac {4}{\pi ^{2}}}\log N+O(1).}$

См. нотацию Big O для обозначения O (1). Фактическое значение и трудно вычислить (см. Zygmund 8.3), и почти бесполезно. Тот факт, что для некоторой константы c мы имеем ${\displaystyle 4/\pi ^{2}}$

${\displaystyle \int |D_{N}(t)|\,\mathrm {d} t>c\log N+O(1)}$

совершенно ясно, если рассмотреть график ядра Дирихле. Интеграл по n -му пику больше, чем c / n , и поэтому оценка для гармонической суммы дает логарифмическую оценку.

Эта оценка влечет за собой количественные версии некоторых предыдущих результатов. Для любой непрерывной функции f и любого t имеем

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\log N}}=0.}$

Однако для любого порядка роста ω( n ), меньшего log, это уже не выполняется, и можно найти непрерывную функцию f такую, что для некоторого t ,

${\displaystyle \varlimsup _{N\to \infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\omega (N)}}=\infty .}$

Эквивалентная задача для расходимости всюду открыта. Сергею Конягину удалось построить интегрируемую функцию, такую, что для каждого t имеем

${\displaystyle \varlimsup _{N\to \infty }{\frac {S_{N}(f;t)}{\sqrt {\log N}}}=\infty .}$

Неизвестно, является ли этот пример наилучшим из возможных. Единственная известная граница с другого направления — это log n .

Множественные измерения

При рассмотрении эквивалентной проблемы в более чем одном измерении необходимо указать точный порядок суммирования, который используется. Например, в двух измерениях можно определить

${\displaystyle S_{N}(f;t_{1},t_{2})=\sum _{|n_{1}|\leq N,|n_{2}|\leq N}{\widehat {f}}(n_{1},n_{2})e^{i(n_{1}t_{1}+n_{2}t_{2})}}$

которые известны как "квадратные частичные суммы". Заменив сумму выше на

${\displaystyle \sum _{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}\leq N^{2}}}$

приводят к "круговым частичным суммам". Разница между этими двумя определениями весьма заметна. Например, норма соответствующего ядра Дирихле для квадратных частичных сумм имеет порядок , а для круговых частичных сумм — порядок . ${\displaystyle \log ^{2}N}$ ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$

Многие из результатов, верных для одного измерения, неверны или неизвестны в нескольких измерениях. В частности, эквивалент теоремы Карлесона все еще открыт для круговых частичных сумм. Почти везде сходимость «квадратных частичных сумм» (а также более общих многоугольных частичных сумм) в нескольких измерениях была установлена ​​около 1970 года Чарльзом Фефферманом .

Примечания

1. Гурдон, Ксавье (2009). Математика наедине. Анализируйте (2ème edition) (на французском языке). Эллипсы. п. 264. ИСБН 978-2729837594.
2. Джексон (1930), стр. 21 и далее.
3. Stromberg (1981), Упражнение 6 (d) на стр. 519 и Упражнение 7 (c) на стр. 520.

Ссылки

Учебники

• Данхэм Джексон Теория приближения , AMS Colloquium Publication, том XI, Нью-Йорк, 1930.
• Нина К. Бари, Трактат о тригонометрических рядах , тома I, II. Авторизованный перевод Маргарет Ф. Маллинз. Книга издательства Pergamon Press. The Macmillan Co., Нью-Йорк, 1964.
• Антоний Зигмунд, Тригонометрические ряды , т. I, II. Третье издание. С предисловием Роберта А. Феффермана. Кембриджская математическая библиотека. Cambridge University Press, Кембридж, 2002. ISBN 0-521-89053-5 
• Ицхак Кацнельсон, Введение в гармонический анализ , Третье издание. Cambridge University Press, Кембридж, 2004. ISBN 0-521-54359-2 
• Карл Р. Штромберг, Введение в классический анализ , Wadsworth International Group, 1981. ISBN 0-534-98012-0 

Книга Кацнельсона использует самую современную терминологию и стиль из трех. Первоначальные даты публикации: Зигмунд в 1935 году, Бари в 1961 году и Кацнельсон в 1968 году. Однако книга Зигмунда была значительно расширена во втором издании в 1959 году.

Статьи, на которые есть ссылки в тексте

• Поль дю Буа-Реймон , «Ueber die Fourierschen Reihen», Nachr. Кён. Гес. Висс. Геттинген 21 (1873), 571–582.

Это первое доказательство того, что ряд Фурье непрерывной функции может расходиться. На немецком языке

• Андрей Колмогоров , «Une série de Fourier – Lebesgue Divergente Presque Partout», Fundamenta Mathematicae 4 (1923), 324–328.
• Андрей Колмогоров, "Расходящаяся серия Фурье – Лебега", CR Acad. наук. Париж 183 (1926), 1327–1328 гг.

Первая — это построение интегрируемой функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду. Вторая — это усиление до расходимости всюду. На французском.

• Леннарт Карлесон , «О сходимости и росте частичных сумм рядов Фурье», Acta Math. 116 (1966) 135–157.
• Ричард А. Хант , «О сходимости рядов Фурье», Ортогональные разложения и их непрерывные аналоги (Proc. Conf., Эдвардсвилл, Иллинойс, 1967), 235–255. Southern Illinois Univ. Press, Карбондейл, Иллинойс.
• Чарльз Луис Фефферман , «Поточечная сходимость рядов Фурье», Ann. of Math. 98 (1973), 551–571.
• Майкл Лейси и Кристоф Тиле , «Доказательство ограниченности оператора Карлесона», Math. Res. Lett. 7:4 (2000), 361–370.
• Оле Г. Йорсбо и Лейф Мейлбро, Теорема Карлесона–Ханта о рядах Фурье . Lecture Notes in Mathematics 911, Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1982. ISBN 3-540-11198-0 

Это оригинальная статья Карлесона, в которой он доказывает, что разложение Фурье любой непрерывной функции сходится почти всюду; статья Ханта, в которой он обобщает его на пространства; две попытки упростить доказательство; и книга, которая дает его полное изложение. ${\displaystyle L^{p}}$

• Данхэм Джексон , Ряды Фурье и ортогональные многочлены , 1963
• DJ Newman, «Простое доказательство теоремы Винера 1/f», Proc. Amer. Math. Soc. 48 (1975), 264–265.
• Жан-Пьер Кахан и Ицхак Кацнельсон , «Сюр-лес-ансамбли расхождения тригонометрических рядов», Studia Math. 26 (1966), 305–306

В данной работе авторы показывают, что для любого множества нулевой меры существует непрерывная функция на окружности, ряд Фурье которой расходится на этом множестве. На французском языке.

• Сергей Владимирович Конягин , «О расходимости тригонометрических рядов Фурье всюду», CR Acad. Sci. Paris 329 (1999), 693–697.
• Жан-Пьер Кахане, Некоторые случайные ряды функций , второе издание. Cambridge University Press, 1993. ISBN 0-521-45602-9 

Статья Конягина доказывает результат расходимости, обсуждавшийся выше. Более простое доказательство, которое дает только log log  n, можно найти в книге Кахане. ${\displaystyle {\sqrt {\log n}}}$