Ряд мощности

В математике степенной ряд (с одной переменной ) — это бесконечный ряд вида , где a _n представляет собой коэффициент n- го члена, а c — константа, называемая центром ряда. Степенные ряды полезны в математическом анализе , где они возникают как ряды Тейлора бесконечно дифференцируемых функций . Фактически, теорема Бореля подразумевает, что каждый степенной ряд является рядом Тейлора некоторой гладкой функции. $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(xc\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(xc)+a_{2}(xc)^{2}+\dots$

Во многих ситуациях центр c равен нулю, например, для ряда Маклорена . В таких случаях степенной ряд принимает простую форму $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots .$

Помимо своей роли в математическом анализе, степенные ряды также встречаются в комбинаторике как производящие функции (вид формального степенного ряда ) и в электронной инженерии (под названием Z-преобразование ). Знакомая десятичная запись действительных чисел также может рассматриваться как пример степенного ряда с целыми коэффициентами, но с аргументом x, фиксированным на 1 ⁄ 10 . В теории чисел понятие p -адических чисел также тесно связано с понятием степенного ряда.

Примеры

Полиномиальный

Многочлен степени $d$ может быть выражен как степенной ряд вокруг любого центра c $,$ где все члены степени выше $d$ имеют нулевой коэффициент. Например, многочлен может быть записан как степенной ряд вокруг центра как или вокруг центра как ${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ ${\textstyle с=0}$ $f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots$ ${\textstyle с=1}$ $f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots .$

Это можно вывести с помощью разложения f(x) в ряд Тейлора вокруг , ${\textstyle х=1}$

$f(x)=f(1)+{\frac {f'(1)}{1!}}(x-1)+{\frac {f''(1)}{2!}}(x-1)^{2}+{\frac {f'''(1)}{3!}}(x-1)^{3}+\cdots ,$

поскольку , то первая производная равна , а вторая производная равна , константе, поэтому , а все высшие производные равны нулю. ${\textstyle f(x=1)=1+2+3=6}$ ${\textstyle f'(x)=2x+2}$ ${\textstyle f'(1)=4}$ ${\textstyle f''(x)=2}$ ${\textstyle f''(1)=2}$

Любой многочлен можно переформулировать в виде разложения вокруг любого центра c . ^[1] Можно рассматривать степенные ряды как «многочлены бесконечной степени», хотя степенные ряды не являются многочленами в строгом смысле.

Геометрическая прогрессия, показательная функция и синус

Формула геометрической прогрессии , которая верна для , является одним из важнейших примеров степенного ряда, как и формула показательной функции и формула синуса. ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,$ ${\textstyle |x|<1}$ $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,$ $\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,$

справедливо для всех действительных x .

Эти степенные ряды также являются примерами рядов Тейлора и рядов Маклорена .

На множестве показателей

Отрицательные степени не допускаются в обычном степенном ряду; например, не считается степенным рядом; это, в частности, ряд Лорана . Аналогично, дробные степени, такие как , не допускаются; дробные степени возникают в рядах Пюизе . Коэффициенты не должны зависеть от , поэтому, например, не является степенным рядом. ${\textstyle x^{-1}+1+x^{1}+x^{2}+\cdots }$ ${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle а_{н}}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots }$

Радиус сходимости

Степенной ряд сходится для некоторых значений переменной $x$ , которые всегда будут включать $x$ $=$ $c ,$ так как и сумма ряда, таким образом, для $x$ $=$ $c$ . Ряд может расходиться для других значений $x$ , возможно, для всех из них. Если $c$ не является единственной точкой сходимости, то всегда существует число $r$ с $0 <$ $r$ $\leq \infty$ такое, что ряд сходится всякий раз, когда $|$ $x$ $-$ $c$ $| <$ $r$ , и расходится всякий раз, когда $|$ $x$ $-$ $c$ $| >$ $r$ . Число $r$ называется радиусом сходимости степенного ряда; в общем случае он задается как или, что эквивалентно, Это теорема Коши–Адамара ; см. верхний предел и нижний предел для объяснения обозначений. Соотношение также выполняется, если этот предел существует. ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(xc)^{n}}$ $(xc)^{0}=1$ $а_{0}$ $r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}$ $r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}.$ $r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|$

Множество комплексных чисел, таких что $| x - c | < r$ , называется кругом сходимости ряда. Ряд сходится абсолютно внутри своего круга сходимости и сходится равномерно на каждом компактном подмножестве круга сходимости.

Для $| x - c | = r$ нет общего утверждения о сходимости ряда. Однако теорема Абеля утверждает, что если ряд сходится для некоторого значения $z$ такого, что $| z - c | = r$ , то сумма ряда для $x = z$ является пределом суммы ряда для $x = c + t (z - c),$ где $t$ – действительная переменная, меньшая1, который имеет тенденцию1 .

Операции над степенными рядами

Сложение и вычитание

Когда две функции f и g разлагаются в степенные ряды вокруг одного и того же центра c , степенной ряд суммы или разности функций может быть получен путем почленного сложения и вычитания. То есть, если и тогда $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(xc)^{n}$ $g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(xc)^{n}$ $f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(xc)^{n}.$

Сумма двух степенных рядов будет иметь радиус сходимости, по крайней мере, меньший из двух радиусов сходимости двух рядов, ^[2], но, возможно, больший, чем любой из двух. Например, неверно, что если два степенных ряда и имеют одинаковый радиус сходимости, то также имеет этот радиус сходимости: если и , например, то оба ряда имеют одинаковый радиус сходимости 1, но ряд имеет радиус сходимости 3. ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}}$ ${\textstyle a_{n}=(-1)^{n}}$ ${\textstyle b_{n}=(-1)^{n+1}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\right)}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$

Умножение и деление

При тех же определениях для и степенной ряд произведения и частного функций можно получить следующим образом: $f(x)$ $g(x)$ ${\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.\end{aligned}}$

Последовательность известна как произведение Коши последовательностей и . ${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ $a_{n}$ $b_{n}$

Для деления, если определить последовательность с помощью , то можно решить ее рекурсивно для членов, сравнивая коэффициенты. $d_{n}$ ${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}$ $f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)$ $d_{n}$

Решение соответствующих уравнений дает формулы, основанные на определителях некоторых матриц коэффициентов и $f(x)$ $g(x)$ $d_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}$ $d_{n}={\frac {1}{b_{0}^{n+1}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\\a_{n-1}&b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{n-1}\\a_{n-2}&0&b_{0}&\cdots &b_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&0&0&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}$

Дифференциация и интеграция

Как только функция задана как степенной ряд, как выше, она дифференцируема на внутренней стороне области сходимости. Она может быть дифференцирована и интегрирована путем рассмотрения каждого члена отдельно, поскольку и дифференциация, и интегрирование являются линейными преобразованиями функций: $f(x)$ ${\begin{aligned}f'(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(x-c)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)(x-c)^{n},\\\int f(x)\,dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-c)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}(x-c)^{n}}{n}}+k.\end{aligned}}$

Оба эти ряда имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Аналитические функции

Функция f, определенная на некотором открытом подмножестве U множества R или C, называется аналитической , если она локально задана сходящимся степенным рядом. Это означает, что каждый a ∈ U имеет открытую окрестность V ⊆ U , такую, что существует степенной ряд с центром a , который сходится к f ( x ) для каждого x ∈ V .

Каждый степенной ряд с положительным радиусом сходимости аналитичен внутри своей области сходимости. Все голоморфные функции являются комплексно-аналитическими. Суммы и произведения аналитических функций являются аналитическими, как и частные, пока знаменатель не равен нулю.

Если функция аналитическая, то она бесконечно дифференцируема, но в реальном случае обратное, как правило, неверно. Для аналитической функции коэффициенты a _n можно вычислить как $a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}$

где обозначает n-ю производную f в точке c , и . Это означает, что каждая аналитическая функция локально представлена своим рядом Тейлора . $f^{(n)}(c)$ $f^{(0)}(c)=f(c)$

Глобальная форма аналитической функции полностью определяется ее локальным поведением в следующем смысле: если f и g — две аналитические функции, определенные на одном и том же связном открытом множестве U , и если существует элемент $c \in U$ такой, что $f (n) (c) = g (n) (c)$ для всех $n \geq 0$ , то $f (x) = g (x)$ для всех $x \in U$ .

Если задан степенной ряд с радиусом сходимости r , можно рассматривать аналитические продолжения ряда, т. е. аналитические функции f , которые определены на множествах, больших, чем ${x | | x - c | < r}$ , и совпадают с заданным степенным рядом на этом множестве. Число r является максимальным в следующем смысле: всегда существует комплексное число $x$ с $| x - c | = r$ такое, что никакое аналитическое продолжение ряда не может быть определено в точке $x$ .

Разложение в степенной ряд обратной функции аналитической функции можно определить с помощью теоремы об обращении Лагранжа .

Поведение вблизи границы

Сумма степенного ряда с положительным радиусом сходимости является аналитической функцией в каждой точке внутри круга сходимости. Однако в точках на границе этого круга может происходить различное поведение. Например:

Расходимость, в то время как сумма распространяется до аналитической функции : имеет радиус сходимости, равный , и расходится в каждой точке . Тем не менее, сумма в равна , которая аналитична в каждой точке плоскости, за исключением . ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$ $1$ $|z|=1$ $|z|<1$ ${\textstyle {\frac {1}{1-z}}}$ $z=1$
Сходящийся в некоторых точках, расходящийся в других : имеет радиус сходимости . Он сходится при , в то время как он расходится при . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}}$ $1$ $z=-1$ $z=1$
Абсолютная сходимость в каждой точке границы : имеет радиус сходимости , при этом сходится абсолютно и равномерно в каждой точке благодаря М-тесту Вейерштрасса, примененному с гипергармоническим сходящимся рядом . ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$ $1$ $|z|=1$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$
Сходящийся на замыкании круга сходимости, но не непрерывная сумма : Серпинский привел пример ^[3] степенного ряда с радиусом сходимости , сходящегося во всех точках с , но сумма является неограниченной функцией и, в частности, разрывной. Достаточное условие односторонней непрерывности в граничной точке дается теоремой Абеля . $1$ $|z|=1$

Формальный степенной ряд

В абстрактной алгебре делается попытка уловить суть степенных рядов, не ограничиваясь полями действительных и комплексных чисел и не говоря о сходимости. Это приводит к концепции формальных степенных рядов , концепции, очень полезной в алгебраической комбинаторике .

Степенные ряды с несколькими переменными

Расширение теории необходимо для целей многомерного исчисления . Степенной ряд здесь определяется как бесконечный ряд вида где $j$ $= ($ $j$ $1$ $, \dots,$ $j$ $n$ $)$ — вектор натуральных чисел, коэффициенты $a$ $($ $j$ $1$ $, \dots,$ $j$ $n$ $)$ обычно являются действительными или комплексными числами, а центр $c$ $= ($ $c$ $1$ $, \dots,$ $c$ $n$ $)$ и аргумент $x$ $= ($ $x$ $1$ $, \dots,$ $x$ $n$ $)$ обычно являются действительными или комплексными векторами. Символ — это символ произведения , обозначающий умножение. В более удобной многоиндексной нотации это можно записать где — множество натуральных чисел , а также — множество упорядоченных n - кортежей натуральных чисел. $f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}(x_{k}-c_{k})^{j_{k}},$ $\Pi$ $f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }(x-c)^{\alpha }.$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {N} ^{n}$

Теория таких рядов сложнее, чем для рядов с одной переменной, с более сложными областями сходимости. Например, степенной ряд абсолютно сходится в множестве между двумя гиперболами. (Это пример логарифмически выпуклого множества , в том смысле, что множество точек , где лежит в указанной выше области, является выпуклым множеством. В более общем смысле можно показать, что при c=0 внутренняя часть области абсолютной сходимости всегда является логарифмически выпуклым множеством в этом смысле.) С другой стороны, внутри этой области сходимости можно дифференцировать и интегрировать под знаком ряда, как и с обычными степенными рядами. ^[4] ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$ $\{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}$ $(\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)$ $(x_{1},x_{2})$

Порядок степенного ряда

Пусть $α$ — мультииндекс для степенного ряда $f (x 1, x 2, \dots, x n)$ . Порядок степенного ряда f определяется как наименьшее значение, такое, что существует α ≠ 0 при , или если _f ≡ 0. В частности, для степенного ряда f ( x ) от одной переменной x порядок f — это наименьшая степень x с ненулевым коэффициентом. Это определение легко распространяется на ряды Лорана . $r$ $r=|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$ $\infty$

Примечания

^ Говард Леви (1967). Полиномы, степенные ряды и исчисление. Ван Ностранд. стр. 24.
^ Эрвин Крейциг, Высшая инженерная математика, 8-е изд., стр. 747
^ Вацлав Серпинский (1916). «Sur une série potentielle qui, étant convernte en tout point de son cercle de конвергенции, représente sur ce cercle une fonction прекращено. (Французский)». Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 41 . Палермо Рэнд.: 187–190. дои : 10.1007/BF03018294. ЖФМ 46.1466.03. S2CID 121218640.
^ Бекенбах, ЭФ (1948). «Выпуклые функции». Бюллетень Американского математического общества . 54 (5): 439–460. doi : 10.1090/S0002-9904-1948-08994-7 .

Ссылки

Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], "Степенные ряды", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Формальные степенные ряды». MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. "Ряды степеней". MathWorld .
Степени комплексных чисел, Михаэль Шрайбер, Wolfram Demonstrations Project .