Скалярное умножение

Algebraic operation

Скалярное умножение вектора в 3 раза растягивает вектор.

Скалярные умножения − a и 2 a вектора a

В математике скалярное умножение является одной из основных операций, определяющих векторное пространство в линейной алгебре ^{[1] [2]} [ ^3] (или, в более общем смысле, модуль в абстрактной алгебре ^{[4] [5]} ). В обычных геометрических контекстах скалярное умножение действительного евклидова вектора на положительное действительное число умножает величину вектора без изменения его направления. Скалярное умножение — это умножение вектора на скаляр (где произведение является вектором), и его следует отличать от внутреннего произведения двух векторов (где произведение — скаляр).

Определение

В общем, если K — поле , а V — векторное пространство над K , то скалярное умножение — это функция от K × V до V. Результат применения этой функции к k в K и v в V обозначается k v .

Характеристики

Скалярное умножение подчиняется следующим правилам (вектор выделен жирным шрифтом ) :

• Аддитивность в скаляре: ( c + d ) v = c v + d v ;
• Аддитивность в векторе: c ( v + w ) = c v + c w ;
• Совместимость произведения скаляров со скалярным умножением: ( cd ) v = c ( d v );
• Умножение на 1 не меняет вектор: 1 v = v ;
• Умножение на 0 дает нулевой вектор : 0 v = 0 ;
• Умножение на -1 дает аддитивную обратную величину : (-1) v = - v .

Здесь + — сложение либо в поле, либо в векторном пространстве, в зависимости от обстоятельств; и 0 — аддитивная идентичность в любом из них.Сопоставление указывает либо на скалярное умножение, либо на операцию умножения в поле.

Интерпретация

Пространство векторов можно рассматривать как координатное пространство , где элементы связаны со списком элементов из K . Единицы поля образуют группу K ^× , а умножение скалярного вектора является групповым действием в координатном пространстве на K ^× . Нуль поля действует на координатное пространство, сжимая его до нулевого вектора.

Когда K — поле действительных чисел, существует геометрическая интерпретация скалярного умножения: оно растягивает или сжимает векторы в постоянный коэффициент. В результате он создает вектор в том же или противоположном направлении от исходного вектора, но другой длины. ^[6]

В частном случае V можно принять за сам K , а скалярное умножение тогда можно считать просто умножением в поле.

Когда V равно K ⁿ , скалярное умножение эквивалентно умножению каждого компонента на скаляр и может быть определено как таковое.

Та же идея применима, если K — коммутативное кольцо , а V — модуль над K. K может быть даже буровой установкой , но тогда не будет аддитивного обратного. Если K не является коммутативным , могут быть определены различные операции левого скалярного умножения c v и правого скалярного умножения v c .

Скалярное умножение матриц

Левое скалярное умножение матрицы A на скаляр λ дает другую матрицу того же размера, что и A . Он обозначается λ A , элементы которого λ A определяются формулой

${\displaystyle (\lambda \mathbf {A} )_{ij}=\lambda \left(\mathbf {A} \right)_{ij}\,,}$

явно:

${\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\lambda A_{12}&\cdots &\lambda A_{1m}\\\lambda A_{21}&\lambda A_{22}&\cdots &\lambda A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda A_{n1}&\lambda A_{n2}&\cdots &\lambda A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,.}$

Точно так же, хотя не существует общепринятого определения, правое скалярное умножение матрицы A на скаляр λ можно определить как

${\displaystyle (\mathbf {A} \lambda )_{ij}=\left(\mathbf {A} \right)_{ij}\lambda \,,}$

явно:

${\displaystyle \mathbf {A} \lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\lambda ={\begin{pmatrix}A_{11}\lambda &A_{12}\lambda &\cdots &A_{1m}\lambda \\A_{21}\lambda &A_{22}\lambda &\cdots &A_{2m}\lambda \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}\lambda &A_{n2}\lambda &\cdots &A_{nm}\lambda \\\end{pmatrix}}\,.}$

Когда элементы матрицы и скаляры взяты из одного и того же коммутативного поля, например, поля действительных чисел или поля комплексных чисел, эти два умножения одинаковы и их можно просто назвать скалярным умножением . Для матриц над более общим полем , которое не является коммутативным, они могут не быть равными.

Для реального скаляра и матрицы:

${\displaystyle \lambda =2,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle 2\mathbf {A} =2{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\!\cdot \!a&2\!\cdot \!b\\2\!\cdot \!c&2\!\cdot \!d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\!\cdot \!2&b\!\cdot \!2\\c\!\cdot \!2&d\!\cdot \!2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}2=\mathbf {A} 2.}$

Для кватернионных скаляров и матриц:

${\displaystyle \lambda =i,\quad \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ij\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i^{2}&0\\0&ji\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i\,,}$

где i , j , k — единицы кватернионов. Некоммутативность умножения кватернионов предотвращает переход замены ij = + k на ji = − k .

Смотрите также

• Скалярное произведение
• Умножение матрицы
• Умножение векторов
• Продукт (математика)

Рекомендации

1. Лэй, Дэвид К. (2006). Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN 0-321-28713-4.
2. Стрэнг, Гилберт (2006). Линейная алгебра и ее приложения (4-е изд.). Брукс Коул . ISBN 0-03-010567-6.
3. Экслер, Шелдон (2002). Линейная алгебра сделана правильно (2-е изд.). Спрингер . ISBN 0-387-98258-2.
4. Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-43334-9.
5. Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для аспирантов по математике . Спрингер . ISBN 0-387-95385-Х.
6. Вайсштейн, Эрик В. «Скалярное умножение». mathworld.wolfram.com . Проверено 6 сентября 2020 г.