Сбалансированный премьер

В теории чисел сбалансированное простое число — это простое число с промежутками между простыми числами одинакового размера выше и ниже, так что оно равно среднему арифметическому ближайших простых чисел выше и ниже. Или, выражаясь алгебраически , i-е простое число является сбалансированным простым числом, если ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle p_{n}={{p_{n-1}+p_{n+1}} \over 2}.}$

Например, 53 — шестнадцатое простое число; пятнадцатое и семнадцатое простые числа, 47 и 59, в сумме дают 106, а половина этой суммы равна 53; таким образом, 53 — сбалансированное простое число.

Примеры

Первые несколько сбалансированных простых чисел:

5 , 53 , 157 , 173 , 211 , 257 , 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, 1123, 1187, 1223, 1367, 1511, 1747, 53, 1907, 2287, 2417, 2677, 2903 (последовательность A006562 в OEIS ).

Бесконечность

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много сбалансированных простых чисел?

(еще нерешенные задачи по математике)

Предполагается , что существует бесконечно много сбалансированных простых чисел.

Три последовательных простых числа в арифметической прогрессии иногда называют CPAP-3. Сбалансированное простое число по определению является вторым простым числом в CPAP-3. По состоянию на 2023 год ^{[обновлять]}самый крупный известный CPAP-3 имеет 15004 десятичных знака и был найден Сержем Баталовым. Это: ^[1]

${\displaystyle p_{n}=2494779036241\times 2^{49800}+7,\quad p_{n-1}=p_{n}-6,\quad p_{n+1}=p_{n}+6.}$

(Значение n , то есть его положение в последовательности всех простых чисел, неизвестно.)

Обобщение

Сбалансированные простые числа можно обобщить до сбалансированных простых чисел порядка n . Сбалансированное простое число порядка n — это простое число, равное среднему арифметическому ближайших n простых чисел сверху и снизу. Алгебраически, i-е простое число является сбалансированным простым числом порядка , если ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle p_{k}={\sum _{i=1}^{n}({p_{k-i}+p_{k+i})} \over 2n}.}$

Таким образом, обычное сбалансированное простое число является сбалансированным простым числом 1-го порядка. Последовательности сбалансированных простых чисел 2-го, 3-го и 4-го порядков равны A082077 , A082078 и A082079 в OEIS соответственно.

Смотрите также

• Сильное простое число — простое число, которое больше среднего арифметического двух соседних простых чисел.
• Interprime — составное число, сбалансированное между двумя простыми соседями.

Рекомендации

1. Самый крупный известный CPAP. Проверено 6 января 2023 г.