В дифференциальной геометрии G - структура на n - многообразии M для заданной структурной группы [1] G является главным G - подрасслоением касательного расслоения реперов F M (или GL( M )) многообразия M .
Понятие G -структур включает в себя различные классические структуры, которые могут быть определены на многообразиях, которые в некоторых случаях являются тензорными полями . Например, для ортогональной группы O( n )-структура определяет риманову метрику , а для специальной линейной группы SL( n , R )-структура совпадает с формой объема . Для тривиальной группы { e }-структура состоит из абсолютного параллелизма многообразия.
Обобщая эту идею на произвольные главные расслоения на топологических пространствах, можно спросить, «происходит ли» главное -расслоение над группой из . Это называется редукцией структурной группы (к ).
Некоторые структуры на многообразиях, такие как комплексная структура , симплектическая структура или кэлерова структура , являются G -структурами с дополнительным условием интегрируемости .
Можно спросить, « происходит ли» главное -расслоение над группой из подгруппы . Это называется редукцией структурной группы (до ), и имеет смысл для любого отображения , которое не обязательно должно быть отображением включения (несмотря на терминологию).
В дальнейшем пусть — топологическое пространство , топологические группы и гомоморфизм групп .
Если задано главное -расслоение над , то редукция структурной группы (от до ) является -расслоением и изоморфизмом ассоциированного расслоения на исходное расслоение.
Если задано отображение , где — классифицирующее пространство для -расслоений, то редукция структурной группы является отображением и гомотопией .
Редукция структурной группы не всегда существует. Если она существует, то обычно она не является по сути уникальной, поскольку изоморфизм является важной частью данных.
В качестве конкретного примера, каждое четномерное действительное векторное пространство изоморфно базовому действительному пространству комплексного векторного пространства: оно допускает линейную комплексную структуру . Действительное векторное расслоение допускает почти комплексную структуру тогда и только тогда, когда оно изоморфно базовому действительному расслоению комплексного векторного расслоения. Тогда это редукция по включению GL ( n , C ) → GL (2 n , R )
В терминах отображений перехода G - расслоение может быть редуцировано тогда и только тогда, когда отображения перехода могут иметь значения в H. Обратите внимание, что термин редукция вводит в заблуждение: он предполагает, что H является подгруппой G , что часто имеет место, но не обязательно (например, для спиновых структур ): это правильно называть лифтингом .
Более абстрактно, " G -расслоения над X " - это функтор [2] в G : если задан гомоморфизм групп Ли H → G , то можно получить отображение из H -расслоений в G -расслоения путем индуцирования (как выше). Редукция структурной группы G -расслоения B заключается в выборе H -расслоения, образом которого является B .
Индуцирующее отображение из H -расслоений в G -расслоения в общем случае не является ни на, ни взаимно-однозначным, поэтому структурная группа не всегда может быть редуцирована, а когда это возможно, эта редукция не обязательно должна быть единственной. Например, не каждое многообразие является ориентируемым , а те, которые являются ориентируемыми, допускают ровно две ориентации.
Если H — замкнутая подгруппа G , то существует естественное взаимно-однозначное соответствие между редукциями G -расслоения B к H и глобальными сечениями расслоения B / H , полученными путем факторизации B по правому действию H. В частности, расслоение B → B / H является главным H -расслоением над B / H . Если σ : X → B / H — сечение, то расслоение-пуллбэк B H = σ −1 B является редуцией B. [3]
Каждое векторное расслоение размерности имеет каноническое -расслоение, расслоение фрейма . В частности, каждое гладкое многообразие имеет каноническое векторное расслоение, касательное расслоение . Для группы Ли и гомоморфизма групп , -структура является редукцией структурной группы расслоения фрейма к .
Следующие примеры определены для действительных векторных расслоений , в частности, для касательного расслоения гладкого многообразия .
Некоторые -структуры определяются через другие: если задана риманова метрика на ориентированном многообразии, -структура для двукратного накрытия является спиновой структурой . (Обратите внимание, что гомоморфизм групп здесь не является включением.)
Хотя теория главных расслоений играет важную роль в изучении G -структур, эти два понятия различны. G -структура является главным подрасслоением касательного фреймового расслоения , но тот факт, что расслоение G -структуры состоит из касательных фреймов, рассматривается как часть данных. Например, рассмотрим две римановы метрики на Rn . Связанные O( n )-структуры изоморфны тогда и только тогда, когда метрики изометричны. Но, поскольку Rn стягиваемо, базовые O( n )-расслоения всегда будут изоморфны как главные расслоения, поскольку единственные расслоения над стягиваемыми пространствами являются тривиальными расслоениями.
Это фундаментальное различие между двумя теориями может быть зафиксировано путем предоставления дополнительной части данных о базовом G -расслоении G -структуры: форме припоя . Форма припоя - это то, что связывает базовое главное расслоение G -структуры с локальной геометрией самого многообразия, определяя канонический изоморфизм касательного расслоения M с ассоциированным векторным расслоением . Хотя форма припоя не является формой соединения , ее иногда можно рассматривать как предшественника таковой.
В деталях предположим, что Q является главным расслоением G -структуры. Если Q реализуется как редукция расслоения рамок M , то форма припоя задается обратным протягиванием тавтологической формы расслоения рамок вдоль включения. Абстрактно, если рассматривать Q как главное расслоение независимо от его реализации как редукция расслоения рамок, то форма припоя состоит из представления ρ группы G на R n и изоморфизма расслоений θ : TM → Q × ρ R n .
Несколько структур на многообразиях, такие как комплексная структура, симплектическая структура или кэлерова структура , являются G -структурами (и, таким образом, могут быть затруднены), но должны удовлетворять дополнительному условию интегрируемости . Без соответствующего условия интегрируемости структура называется «почти» структурой, как в почти комплексной структуре , почти симплектической структуре или почти кэлеровой структуре .
В частности, симплектическая структура многообразия является более сильным понятием, чем G -структура для симплектической группы . Симплектическая структура на многообразии - это 2-форма ω на M , которая невырождена (что является -структурой , или почти симплектической структурой), вместе с дополнительным условием, что d ω = 0; это последнее называется условием интегрируемости .
Аналогично, слоения соответствуют G -структурам, полученным из блочных матриц , вместе с условиями интегрируемости, так что применима теорема Фробениуса .
Плоская G -структура — это G -структура P , имеющая глобальное сечение ( V 1 ,..., V n ), состоящее из коммутирующих векторных полей . G -структура интегрируема (или локально плоская ) , если она локально изоморфна плоской G -структуре.
Множество диффеоморфизмов M, сохраняющих G - структуру, называется группой автоморфизмов этой структуры. Для O( n )-структуры они являются группой изометрий римановой метрики, а для SL( n , R )-структуры — сохраняющими объем отображениями.
Пусть P — G -структура на многообразии M , а Q — G -структура на многообразии N. Тогда изоморфизм G -структур — это диффеоморфизм f : M → N такой, что прямой прогон линейных фреймов f * : FM → FN ограничивается, чтобы задать отображение P в Q. (Заметим, что достаточно, чтобы Q содержалось в образе f * .) G - структуры P и Q локально изоморфны , если M допускает покрытие открытыми множествами U и семейство диффеоморфизмов f U : U → f ( U ) ⊂ N такое, что f U индуцирует изоморфизм P | U → Q | f ( U ) .
Автоморфизм G - структуры — это изоморфизм G -структуры P с собой. Автоморфизмы часто возникают [ 6] при изучении групп преобразований геометрических структур, поскольку многие важные геометрические структуры на многообразии могут быть реализованы как G -структуры.
Широкий класс проблем эквивалентности может быть сформулирован на языке G -структур. Например, пара римановых многообразий (локально) эквивалентна тогда и только тогда, когда их пучки ортонормированных фреймов являются (локально) изоморфными G -структурами. С этой точки зрения общая процедура решения проблемы эквивалентности заключается в построении системы инвариантов для G -структуры, которые затем достаточны для определения того, является ли пара G -структур локально изоморфной или нет.
Пусть Q — G -структура на M. Главная связность на главном расслоении Q индуцирует связность на любом ассоциированном векторном расслоении: в частности, на касательном расслоении. Линейная связность ∇ на TM , возникающая таким образом, называется совместимой с Q. Связности , совместимые с Q, также называются адаптированными связностями .
Конкретно говоря, адаптированные связи можно понимать в терминах движущейся рамки . [7] Предположим, что V i является базисом локальных сечений TM (т.е. рамкой на M ), которая определяет сечение Q. Любая связь ∇ определяет систему зависящих от базиса 1-форм ω посредством
где, как матрица 1-форм, ω ∈ Ω 1 (M)⊗ gl ( n ). Адаптированная связность — это связность, для которой ω принимает свои значения в алгебре Ли g группы G .
С любой G -структурой связано понятие кручения, относящееся к кручению связи. Обратите внимание, что данная G -структура может допускать множество различных совместимых связей, которые в свою очередь могут иметь различные кручения, но, несмотря на это, можно дать независимое понятие кручения G-структуры следующим образом. [8]
Разность двух адаптированных связностей является 1-формой на M со значениями в присоединенном расслоении Ad Q. То есть пространство A Q адаптированных связностей является аффинным пространством для Ω 1 (Ad Q ).
Кручение адаптированного соединения определяет отображение
к 2-формам с коэффициентами в TM . Это отображение линейно; его линеаризация
называется алгебраическим отображением кручения . При наличии двух адаптированных связностей ∇ и ∇′ их тензоры кручения T ∇ , T ∇′ отличаются на τ(∇−∇′). Следовательно, образ T ∇ в coker(τ) не зависит от выбора ∇.
Образ T ∇ в coker(τ) для любой адаптированной связности ∇ называется кручением G -структуры . Говорят, что G -структура не имеет кручения , если ее кручение равно нулю. Это происходит в точности тогда, когда Q допускает адаптированную связность без кручения.
Примером G -структуры является почти комплексная структура , то есть редукция структурной группы четномерного многообразия к GL( n , C ). Такая редукция однозначно определяется C ∞ -линейным эндоморфизмом J ∈ End( TM ) таким, что J 2 = −1. В этой ситуации кручение можно вычислить явно следующим образом.
Простой подсчет размеров показывает, что
где Ω 2,0 ( TM ) — пространство форм B ∈ Ω 2 ( TM ), которые удовлетворяют
Поэтому кручение почти комплексной структуры можно рассматривать как элемент в Ω 2,0 ( TM ). Легко проверить, что кручение почти комплексной структуры равно ее тензору Нейенхейса .
Наложение условий интегрируемости на конкретную G -структуру (например, в случае симплектической формы) можно осуществить с помощью процесса продолжения . В таких случаях продолженная G -структура не может быть отождествлена с G -подрасслоением расслоения линейных фреймов. Во многих случаях, однако, продолжение является главным расслоением само по себе, и его структурная группа может быть отождествлена с подгруппой группы струй более высокого порядка . В этом случае она называется G -структурой более высокого порядка [Кобаяши]. В общем случае, метод эквивалентности Картана применим к таким случаям.
