В теории чисел суперсовершенное число — это целое положительное число n , удовлетворяющее условию
где σ — сумматорная функция делителей . Сверхсовершенные числа не являются обобщением совершенных чисел , но имеют общее обобщение. Термин был придуман Д. Сурьянараяной (1969). [1]
Первые несколько суперсовершенных чисел:
Для иллюстрации: можно увидеть, что 16 — суперсовершенное число, так как σ(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 и σ(31) = 1 + 31 = 32 , таким образом σ(σ(16) ) знак равно 32 знак равно 2 × 16 .
Если n — четное сверхсовершенное число, то n должно быть степенью 2 , 2 k , такой, что 2 k +1 − 1 — простое число Мерсенна . [1] [2]
Неизвестно, существуют ли нечетные сверхсовершенные числа. Нечетное суперсовершенное число n должно быть квадратным числом таким, что либо n , либо σ ( n ) делится как минимум на три различных простых числа. [2] Не существует нечетных суперсовершенных чисел меньше 7 × 10.24 . [1]
Совершенные и сверхсовершенные числа являются примерами более широкого класса m -сверхсовершенных чисел, которые удовлетворяют
соответствующие m =1 и 2 соответственно. Для m ≥ 3 не существует четных m -сверхсовершенных чисел. [1]
m- сверхсовершенные числа , в свою очередь, являются примерами ( m , k )-совершенных чисел, которые удовлетворяют [3]
В этих обозначениях совершенные числа являются (1,2)-совершенными, мультисовершенные числа являются (1, k )-совершенными, сверхсовершенные числа являются (2,2)-совершенными, а m -сверхсовершенные числа являются ( m ,2)-совершенными. [4] Примеры классов ( m , k )-совершенных чисел:
