В алгебре модуль без кручения — это модуль над кольцом , в котором ноль — единственный элемент, аннулируемый регулярным элементом ( не делителем нуля ) кольца. Другими словами, модуль свободен от кручения , если его подмодуль кручения содержит только нулевой элемент.
В областях целостности регулярные элементы кольца являются его ненулевыми элементами, поэтому в этом случае модуль без кручения — это такой модуль, что ноль является единственным элементом, аннулируемым некоторым ненулевым элементом кольца. Некоторые авторы работают только с областями целостности и используют это условие как определение модуля без кручения, но это не работает хорошо для более общих колец, поскольку если кольцо содержит делители нуля, то единственным модулем, удовлетворяющим этому условию, является нулевой модуль .
Над коммутативным кольцом R с полным кольцом частных K модуль M не имеет кручения тогда и только тогда, когда Tor 1 ( K / R , M ) равен нулю. Поэтому плоские модули , и в частности свободные и проективные модули , не имеют кручения, но обратное не обязательно. Примером модуля без кручения, который не является плоским, является идеал ( x , y ) кольца многочленов k [ x , y ] над полем k , интерпретируемый как модуль над k [ x , y ].
Любой модуль без кручения над доменом является модулем без кручения, но обратное неверно, поскольку Q является Z -модулем без кручения , который не является модулем без кручения.
Над нётеровой областью целостности модули без кручения — это модули, единственным ассоциированным простым числом которых является ноль. В более общем смысле над нётеровым коммутативным кольцом модули без кручения — это те модули, все ассоциированные простые числа которых содержатся в ассоциированных простых числах кольца.
Над нётеровой целозамкнутой областью любой конечно порождённый модуль без кручения имеет свободный подмодуль такой, что фактор-модуль по нему изоморфен идеалу кольца.
Над областью Дедекинда конечно-порожденный модуль свободен от кручения тогда и только тогда, когда он проективен, но в общем случае не свободен. Любой такой модуль изоморфен сумме конечно-порожденного свободного модуля и идеала, а класс идеала однозначно определяется модулем.
Над областью главных идеалов конечно-порожденные модули не имеют кручения тогда и только тогда, когда они свободны.
Над областью целостности каждый модуль M имеет покрытие без кручения F → M из модуля без кручения F на M , обладающее свойствами, что любой другой модуль без кручения, отображающийся на M, пропускается через F , и любой эндоморфизм F над M является автоморфизмом F . Такое покрытие без кручения для M единственно с точностью до изоморфизма. Покрытия без кручения тесно связаны с плоскими покрытиями .
Квазикогерентный пучок F над схемой X — это пучок -модулей , такой что для любой открытой аффинной подсхемы U = Spec( R ) ограничение F | U связано с некоторым модулем M над R . Говорят, что пучок F не имеет кручения , если все эти модули M не имеют кручения над своими соответствующими кольцами. С другой стороны, F не имеет кручения тогда и только тогда, когда он не имеет локальных секций кручения. [1]
