Свободная энергия Гельмгольца

Термодинамический потенциал

В термодинамике свободная энергия Гельмгольца ( или энергия Гельмгольца ) — это термодинамический потенциал , который измеряет полезную работу , которую можно получить из замкнутой термодинамической системы при постоянной температуре ( изотермической ). Изменение энергии Гельмгольца в ходе процесса равно максимальному количеству работы, которую система может выполнить в термодинамическом процессе, в котором температура поддерживается постоянной. При постоянной температуре свободная энергия Гельмгольца минимизируется в равновесии.

Напротив, свободная энергия Гиббса или свободная энтальпия чаще всего используется как мера термодинамического потенциала (особенно в химии ), когда это удобно для приложений, которые происходят при постоянном давлении . Например, в исследованиях взрывчатых веществ часто используется свободная энергия Гельмгольца, поскольку взрывные реакции по своей природе вызывают изменения давления. Она также часто используется для определения фундаментальных уравнений состояния чистых веществ.

Концепция свободной энергии была разработана Германом фон Гельмгольцем , немецким физиком, и впервые представлена ​​в 1882 году в лекции под названием «О термодинамике химических процессов». ^[1] От немецкого слова Arbeit (работа) Международный союз теоретической и прикладной химии (ИЮПАК) рекомендует символ A и название энергия Гельмгольца . ^[2] В физике символ F также используется по отношению к свободной энергии или функции Гельмгольца .

Определение

Свободная энергия Гельмгольца определяется как ^[3], где $${\displaystyle F\equiv U-TS,}$$

• F — свободная энергия Гельмгольца (иногда также называемая A , особенно в области химии ) ( СИ : джоули , СГС : эрг ),
• U — внутренняя энергия системы (СИ: джоули, СГС: эрги),
• T — абсолютная температура ( в градусах Кельвина ) окружающей среды, смоделированная как тепловая ванна,
• S — энтропия системы (СИ: джоули на кельвин, СГС: эрг на кельвин).

Энергия Гельмгольца представляет собой преобразование Лежандра внутренней энергии U , в котором температура заменяет энтропию в качестве независимой переменной.

Формальное развитие

Первый закон термодинамики в замкнутой системе предусматривает

${\displaystyle \mathrm {d} U=\delta Q\ +\delta W,}$

где - внутренняя энергия, - энергия, добавленная в виде тепла, и - работа, выполненная в системе. Второй закон термодинамики для обратимого процесса дает . В случае обратимого изменения выполненная работа может быть выражена как (игнорируя электрическую и другую нефотоэлектрическую работу ) и так: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \delta Q}$ ${\displaystyle \delta W}$ ${\displaystyle \delta Q=T\,\mathrm {d} S}$ ${\displaystyle \delta W=-p\,\mathrm {d} V}$

${\displaystyle \mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V.}$

Применяя правило произведения для дифференциации к , следует ${\displaystyle \mathrm {d} (TS)=T\mathrm {d} S\,+S\mathrm {d} T}$

${\displaystyle \mathrm {d} U=\mathrm {d} (TS)-S\,\mathrm {d} T-p\,\mathrm {d} V,}$

и

${\displaystyle \mathrm {d} (U-TS)=-S\,\mathrm {d} T-p\,\mathrm {d} V.}$

Определение позволяет нам переписать это как ${\displaystyle F=U-TS}$

${\displaystyle \mathrm {d} F=-S\,\mathrm {d} T-p\,\mathrm {d} V.}$

Поскольку F является термодинамической функцией состояния , это соотношение справедливо также для процесса (без электрической работы или изменения состава), который необратим.

Принципы минимума свободной энергии и максимума работы

Законы термодинамики напрямую применимы только к системам в тепловом равновесии. Если мы хотим описать такие явления, как химические реакции, то лучшее, что мы можем сделать, это рассмотреть соответствующим образом выбранные начальные и конечные состояния, в которых система находится в (метастабильном) тепловом равновесии. Если система поддерживается в фиксированном объеме и находится в контакте с тепловой баней при некоторой постоянной температуре, то мы можем рассуждать следующим образом.

Поскольку термодинамические переменные системы хорошо определены в начальном и конечном состоянии, увеличение внутренней энергии , увеличение энтропии и общий объем работы, который может быть извлечен, выполненный системой, являются хорошо определенными величинами. Сохранение энергии подразумевает ${\displaystyle \Delta U}$ ${\displaystyle \Delta S}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \Delta U_{\text{bath}}+\Delta U+W=0.}$

Объем системы сохраняется постоянным. Это означает, что объем тепловой бани также не меняется, и мы можем сделать вывод, что тепловая баня не выполняет никакой работы. Это означает, что количество тепла, которое поступает в тепловую баню, определяется по формуле

${\displaystyle Q_{\text{bath}}=\Delta U_{\text{bath}}=-(\Delta U+W).}$

Тепловая ванна остается в тепловом равновесии при температуре T независимо от того, что делает система. Следовательно, изменение энтропии тепловой ванны равно

${\displaystyle \Delta S_{\text{bath}}={\frac {Q_{\text{bath}}}{T}}=-{\frac {\Delta U+W}{T}}.}$

Таким образом, полное изменение энтропии определяется выражением

${\displaystyle \Delta S_{\text{bath}}+\Delta S=-{\frac {\Delta U-T\Delta S+W}{T}}.}$

Поскольку система находится в тепловом равновесии с термостатом в начальном и конечном состояниях, T также является температурой системы в этих состояниях. Тот факт, что температура системы не меняется, позволяет нам выразить числитель как изменение свободной энергии системы:

${\displaystyle \Delta S_{\text{bath}}+\Delta S=-{\frac {\Delta F+W}{T}}.}$

Поскольку общее изменение энтропии всегда должно быть больше или равно нулю, получаем неравенство

${\displaystyle W\leq -\Delta F.}$

Мы видим, что общее количество работы, которое может быть извлечено в изотермическом процессе, ограничено уменьшением свободной энергии, и что увеличение свободной энергии в обратимом процессе требует выполнения работы над системой. Если работа не извлечена из системы, то

${\displaystyle \Delta F\leq 0,}$

и, таким образом, для системы, поддерживаемой при постоянной температуре и объеме и не способной выполнять электрическую или другую нефотоэлектрическую работу , общая свободная энергия во время спонтанного изменения может только уменьшаться.

Этот результат, по-видимому, противоречит уравнению d F = − S d T − P d V , поскольку сохранение постоянных значений T и V , по-видимому, подразумевает d F = 0, и, следовательно, F = константа. На самом деле противоречия нет: в простой однокомпонентной системе, на которую распространяется действие уравнения d F = − S d T − P d V , ни один процесс не может происходить при постоянных значениях T и V , поскольку существует уникальная связь P ( T , V ), и, таким образом, значения T , V , и P фиксированы. Чтобы разрешить спонтанные процессы при постоянных значениях T и V , необходимо расширить термодинамическое пространство состояний системы. В случае химической реакции необходимо разрешить изменения в числах N _j частиц каждого типа j . Дифференциал свободной энергии тогда обобщается до

${\displaystyle dF=-S\,dT-P\,dV+\sum _{j}\mu _{j}\,dN_{j},}$

где — числа частиц типа j, а — соответствующие химические потенциалы . Это уравнение снова справедливо как для обратимых, так и для необратимых изменений. В случае спонтанного изменения при постоянных T и V последний член будет, таким образом, отрицательным. ${\displaystyle N_{j}}$ ${\displaystyle \mu _{j}}$

В случае наличия других внешних параметров приведенное выше соотношение далее обобщается до

${\displaystyle dF=-S\,dT-\sum _{i}X_{i}\,dx_{i}+\sum _{j}\mu _{j}\,dN_{j}.}$

Здесь — внешние переменные, а — соответствующие им обобщенные силы . ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

Связь с канонической статистической суммой

Система, поддерживаемая при постоянном объеме, температуре и числе частиц, описывается каноническим ансамблем . Вероятность нахождения системы в некотором собственном энергетическом состоянии r для любого микросостояния i определяется как где $${\displaystyle P_{r}={\frac {e^{-\beta E_{r}}}{Z}},}$$

• ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{kT}},}$
• ${\displaystyle E_{r}}$это энергия доступного состояния ${\displaystyle r}$
• ${\textstyle Z=\sum _{i}e^{-\beta E_{i}}.}$

Z называется функцией распределения системы. Тот факт, что система не имеет уникальной энергии, означает, что различные термодинамические величины должны быть определены как ожидаемые значения. В термодинамическом пределе бесконечного размера системы относительные флуктуации этих средних значений будут стремиться к нулю.

Средняя внутренняя энергия системы представляет собой математическое ожидание энергии и может быть выражена через Z следующим образом:

${\displaystyle U\equiv \langle E\rangle =\sum _{r}P_{r}E_{r}=\sum _{r}{\frac {e^{-\beta E_{r}}E_{r}}{Z}}=\sum _{r}{\frac {-{\frac {\partial }{\partial \beta }}e^{-\beta E_{r}}}{Z}}={\frac {-{\frac {\partial }{\partial \beta }}\sum _{r}e^{-\beta E_{r}}}{Z}}=-{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta }}.}$

Если система находится в состоянии r , то обобщенная сила, соответствующая внешней переменной x, определяется выражением

${\displaystyle X_{r}=-{\frac {\partial E_{r}}{\partial x}}.}$

Тепловое среднее значение этого можно записать как

${\displaystyle X=\sum _{r}P_{r}X_{r}={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial \log Z}{\partial x}}.}$

Предположим, что система имеет одну внешнюю переменную . Тогда изменение температурного параметра системы на и внешней переменной на приведет к изменению : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle d\beta }$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle \log Z}$

${\displaystyle d(\log Z)={\frac {\partial \log Z}{\partial \beta }}\,d\beta +{\frac {\partial \log Z}{\partial x}}\,dx=-U\,d\beta +\beta X\,dx.}$

Если мы напишем как ${\displaystyle U\,d\beta }$

${\displaystyle U\,d\beta =d(\beta U)-\beta \,dU,}$

мы получаем

${\displaystyle d(\log Z)=-d(\beta U)+\beta \,dU+\beta X\,dx.}$

Это означает, что изменение внутренней энергии определяется выражением

${\displaystyle dU={\frac {1}{\beta }}\,d(\log Z+\beta U)-X\,dx.}$

В термодинамическом пределе должно выполняться фундаментальное термодинамическое соотношение :

${\displaystyle dU=T\,dS-X\,dx.}$

Это означает, что энтропия системы определяется выражением

${\displaystyle S=k\log Z+{\frac {U}{T}}+c,}$

где c — некоторая константа. Значение c можно определить, рассматривая предел T → 0. В этом пределе энтропия становится , где — вырождение основного состояния. Статистическая сумма в этом пределе равна , где — энергия основного состояния. Таким образом, мы видим, что и что ${\displaystyle S=k\log \Omega _{0}}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle \Omega _{0}e^{-\beta U_{0}}}$ ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle c=0}$

Микроскопическое определение : ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \,F=-kT\log Z.}$

Связь свободной энергии с другими переменными

Объединение определения свободной энергии Гельмгольца

${\displaystyle F=U-TS}$

наряду с фундаментальным термодинамическим соотношением

$${\displaystyle dF=-S\,dT-P\,dV+\mu \,dN,}$$

можно найти выражения для энтропии, давления и химического потенциала: ^[4]

${\displaystyle S=\left.-\left({\frac {\partial F}{\partial T}}\right)\right|_{V,N},\quad P=\left.-\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)\right|_{T,N},\quad \mu =\left.\left({\frac {\partial F}{\partial N}}\right)\right|_{T,V}.}$

Эти три уравнения, вместе со свободной энергией в терминах статистической суммы,

${\displaystyle F=-kT\log Z,}$

позволяют эффективно вычислять интересующие термодинамические переменные с учетом функции распределения и часто используются в расчетах плотности состояний. Также можно выполнять преобразования Лежандра для различных систем. Например, для системы с магнитным полем или потенциалом верно, что

${\displaystyle m=\left.-\left({\frac {\partial F}{\partial B}}\right)\right|_{T,N},\quad V=\left.\left({\frac {\partial F}{\partial Q}}\right)\right|_{N,T}.}$

неравенство Боголюбова

Вычисление свободной энергии является неразрешимой проблемой для всех моделей, кроме самых простых в статистической физике. Мощным методом приближения является теория среднего поля , которая является вариационным методом, основанным на неравенстве Боголюбова. Это неравенство можно сформулировать следующим образом.

Предположим, что мы заменяем реальный гамильтониан модели пробным гамильтонианом , который имеет различные взаимодействия и может зависеть от дополнительных параметров, которые отсутствуют в исходной модели. Если мы выберем этот пробный гамильтониан таким образом, что ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}}$

${\displaystyle \left\langle {\tilde {H}}\right\rangle =\langle H\rangle ,}$

где оба средних значения берутся относительно канонического распределения, определяемого пробным гамильтонианом , тогда неравенство Боголюбова утверждает ${\displaystyle {\tilde {H}}}$

${\displaystyle F\leq {\tilde {F}},}$

где — свободная энергия исходного гамильтониана, а — свободная энергия пробного гамильтониана. Мы докажем это ниже. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}}$

Включая большое количество параметров в пробный гамильтониан и минимизируя свободную энергию, мы можем рассчитывать получить близкое приближение к точной свободной энергии.

Неравенство Боголюбова часто применяется следующим образом. Если мы запишем гамильтониан в виде

${\displaystyle H=H_{0}+\Delta H,}$

где — некоторый точно решаемый гамильтониан, тогда мы можем применить приведенное выше неравенство, определив ${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle {\tilde {H}}=H_{0}+\langle \Delta H\rangle _{0}.}$

Здесь мы определили как среднее значение X по каноническому ансамблю, определенному как . Поскольку определенное таким образом отличается от на константу, мы имеем в общем случае ${\displaystyle \langle X\rangle _{0}}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ ${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle \langle X\rangle _{0}=\langle X\rangle .}$

где все еще среднее значение по , как указано выше. Следовательно, ${\displaystyle \langle X\rangle }$ ${\displaystyle {\tilde {H}}}$

${\displaystyle \left\langle {\tilde {H}}\right\rangle ={\big \langle }H_{0}+\langle \Delta H\rangle {\big \rangle }=\langle H\rangle ,}$

и, таким образом, неравенство

${\displaystyle F\leq {\tilde {F}}}$

Свободная энергия — это свободная энергия модели, определяемой знаком плюс . Это означает, что ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle \langle \Delta H\rangle }$

${\displaystyle {\tilde {F}}=\langle H_{0}\rangle _{0}-TS_{0}+\langle \Delta H\rangle _{0}=\langle H\rangle _{0}-TS_{0},}$

и таким образом

${\displaystyle F\leq \langle H\rangle _{0}-TS_{0}.}$

Доказательство неравенства Боголюбова

Для классической модели неравенство Боголюбова можно доказать следующим образом. Обозначим канонические распределения вероятностей для гамильтониана и пробного гамильтониана через и соответственно. Из неравенства Гиббса мы знаем, что: ${\displaystyle P_{r}}$ ${\displaystyle {\tilde {P}}_{r}}$

${\displaystyle \sum _{r}{\tilde {P}}_{r}\log \left({\tilde {P}}_{r}\right)\geq \sum _{r}{\tilde {P}}_{r}\log \left(P_{r}\right)\,}$

выполняется. Чтобы увидеть это, рассмотрим разницу между левой и правой сторонами. Мы можем записать это как:

${\displaystyle \sum _{r}{\tilde {P}}_{r}\log \left({\frac {{\tilde {P}}_{r}}{P_{r}}}\right)\,}$

С

${\displaystyle \log \left(x\right)\geq 1-{\frac {1}{x}}\,}$

отсюда следует, что:

${\displaystyle \sum _{r}{\tilde {P}}_{r}\log \left({\frac {{\tilde {P}}_{r}}{P_{r}}}\right)\geq \sum _{r}\left({\tilde {P}}_{r}-P_{r}\right)=0\,}$

где на последнем шаге мы использовали, что оба распределения вероятностей нормализованы к 1.

Мы можем записать неравенство как:

${\displaystyle \left\langle \log \left({\tilde {P}}_{r}\right)\right\rangle \geq \left\langle \log \left(P_{r}\right)\right\rangle \,}$

где средние значения берутся относительно . Если теперь подставить сюда выражения для распределений вероятностей: ${\displaystyle {\tilde {P}}_{r}}$

${\displaystyle P_{r}={\frac {\exp \left[-\beta H\left(r\right)\right]}{Z}}\,}$

и

${\displaystyle {\tilde {P}}_{r}={\frac {\exp \left[-\beta {\tilde {H}}\left(r\right)\right]}{\tilde {Z}}}\,}$

мы получаем:

${\displaystyle \left\langle -\beta {\tilde {H}}-\log \left({\tilde {Z}}\right)\right\rangle \geq \left\langle -\beta H-\log \left(Z\right)\right\rangle }$

Поскольку средние значения и , по предположению, идентичны, имеем: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}}$

${\displaystyle F\leq {\tilde {F}}}$

Здесь мы использовали тот факт, что статистические суммы являются константами относительно усреднения и что свободная энергия пропорциональна минус логарифму статистических сумм.

Мы можем легко обобщить это доказательство на случай квантово-механических моделей. Обозначим собственные состояния через . Обозначим диагональные компоненты матриц плотности для канонических распределений для и в этом базисе как: ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ ${\displaystyle \left|r\right\rangle }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}}$

${\displaystyle P_{r}=\left\langle r\left|{\frac {\exp \left[-\beta H\right]}{Z}}\right|r\right\rangle \,}$

и

${\displaystyle {\tilde {P}}_{r}=\left\langle r\left|{\frac {\exp \left[-\beta {\tilde {H}}\right]}{\tilde {Z}}}\right|r\right\rangle ={\frac {\exp \left(-\beta {\tilde {E}}_{r}\right)}{\tilde {Z}}}\,}$

где — собственные значения ${\displaystyle {\tilde {E}}_{r}}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}}$

Мы снова предполагаем, что средние значения H и в каноническом ансамбле, определяемом как, одинаковы: ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}}$

${\displaystyle \left\langle {\tilde {H}}\right\rangle =\left\langle H\right\rangle \,}$

где

${\displaystyle \left\langle H\right\rangle =\sum _{r}{\tilde {P}}_{r}\left\langle r\left|H\right|r\right\rangle \,}$

Неравенство

${\displaystyle \sum _{r}{\tilde {P}}_{r}\log \left({\tilde {P}}_{r}\right)\geq \sum _{r}{\tilde {P}}_{r}\log \left(P_{r}\right)\,}$

по-прежнему справедливо, поскольку и сумма, и равна 1. В левой части мы можем заменить: ${\displaystyle P_{r}}$ ${\displaystyle {\tilde {P}}_{r}}$

${\displaystyle \log \left({\tilde {P}}_{r}\right)=-\beta {\tilde {E}}_{r}-\log \left({\tilde {Z}}\right)\,}$

С правой стороны мы можем использовать неравенство

${\displaystyle \left\langle \exp \left(X\right)\right\rangle _{r}\geq \exp \left(\left\langle X\right\rangle _{r}\right)\,}$

где мы ввели обозначение

${\displaystyle \left\langle Y\right\rangle _{r}\equiv \left\langle r\left|Y\right|r\right\rangle \,}$

для ожидаемого значения оператора Y в состоянии r. Доказательство см. здесь . Логарифмирование этого неравенства дает:

${\displaystyle \log \left[\left\langle \exp \left(X\right)\right\rangle _{r}\right]\geq \left\langle X\right\rangle _{r}\,}$

Это позволяет нам написать:

${\displaystyle \log \left(P_{r}\right)=\log \left[\left\langle \exp \left(-\beta H-\log \left(Z\right)\right)\right\rangle _{r}\right]\geq \left\langle -\beta H-\log \left(Z\right)\right\rangle _{r}\,}$

Тот факт, что средние значения H и одинаковы, приводит к тому же выводу, что и в классическом случае: ${\displaystyle {\tilde {H}}}$

${\displaystyle F\leq {\tilde {F}}}$

Обобщенная энергия Гельмгольца

В более общем случае механический член должен быть заменен произведением объема, напряжения и бесконечно малой деформации: ^[5] ${\displaystyle p\mathrm {d} V}$

${\displaystyle \mathrm {d} F=V\sum _{ij}\sigma _{ij}\,\mathrm {d} \varepsilon _{ij}-S\,\mathrm {d} T+\sum _{i}\mu _{i}\,\mathrm {d} N_{i},}$

где - тензор напряжений, а - тензор деформаций. В случае линейно- упругих материалов, подчиняющихся закону Гука , напряжение связано с деформацией соотношением ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$

${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\varepsilon _{kl},}$

где мы теперь используем обозначения Эйнштейна для тензоров, в которых повторяющиеся индексы в произведении суммируются. Мы можем интегрировать выражение для для получения энергии Гельмгольца: ${\displaystyle \mathrm {d} F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F&={\frac {1}{2}}VC_{ijkl}\varepsilon _{ij}\varepsilon _{kl}-ST+\sum _{i}\mu _{i}N_{i}\\&={\frac {1}{2}}V\sigma _{ij}\varepsilon _{ij}-ST+\sum _{i}\mu _{i}N_{i}.\end{aligned}}}$

Применение к фундаментальным уравнениям состояния

Функция свободной энергии Гельмгольца для чистого вещества (вместе с ее частными производными) может быть использована для определения всех других термодинамических свойств вещества. См., например, уравнения состояния для воды , как указано IAPWS в их выпуске IAPWS-95.

Применение для обучения автокодировщиков

Хинтон и Земель ^[6] «выводят целевую функцию для обучения автокодировщика на основе принципа минимальной длины описания (MDL)». «Длина описания входного вектора с использованием конкретного кода является суммой стоимости кода и стоимости реконструкции. Они определяют это как энергию кода. Учитывая входной вектор, они определяют энергию кода как сумму стоимости кода и стоимости реконструкции». Истинная ожидаемая комбинированная стоимость равна

${\displaystyle F=\sum _{i}p_{i}E_{i}-H,}$

«которая имеет в точности форму свободной энергии Гельмгольца».

Смотрите также

• Свободная энергия Гиббса и термодинамическая свободная энергия для термодинамики обзор истории и обсуждение свободной энергии
• Большой потенциал
• Энтальпия
• Статистическая механика
• На этой странице подробно рассматривается энергия Гельмгольца с точки зрения тепловой и статистической физики .
• Коэффициент принятия Беннета для эффективного способа расчета разницы свободной энергии и сравнения с другими методами.

Ссылки

1. фон Гельмгольц, Х. (1882). Физические мемуары, выбранные и переведенные из иностранных источников . Тейлор и Фрэнсис .
2. Gold, Victor, ред. (2019). Gold Book. IUPAC . doi :10.1351/goldbook . Получено 19 августа 2012 г. .
3. Левин, Айра. Н. (1978). « Физическая химия » Макгроу-Хилл: Бруклинский университет.
4. "4.3 Энтропия, свободная энергия Гельмгольца и статистическая сумма". theory.physics.manchester.ac.uk . Получено 2016-12-06 .
5. Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1986). Теория упругости (Курс теоретической физики Том 7) . (Перевод с русского JB Sykes и WH Reid) (Третье изд.). Бостон, Массачусетс: Butterworth Heinemann. ISBN 0-7506-2633-X.
6. Хинтон, GE; Земель, RS (1994). "Автоэнкодеры, минимальная длина описания и свободная энергия Гельмгольца" (PDF) . Достижения в области нейронных систем обработки информации : 3–10.

Дальнейшее чтение

• Физическая химия Аткинса , 7-е издание, Питер Аткинс и Хулио де Паула, Oxford University Press
• Гиперфизика Свободная энергия Гельмгольца Свободные энергии Гельмгольца и Гиббса