Диаграмма (теория категорий)

Индексированная коллекция объектов и морфизмов в категории

В теории категорий , разделе математики , диаграмма является категориальным аналогом индексированного семейства в теории множеств . Основное отличие состоит в том, что в категориальной постановке имеются морфизмы , которые также нуждаются в индексации. Индексированное семейство множеств — это набор множеств, индексированных фиксированным набором; что эквивалентно, функция из фиксированного индексного набора в класс множеств . Диаграмма — это набор объектов и морфизмов, индексированных фиксированной категорией; что эквивалентно, функтор из фиксированной индексной категории в некоторую категорию .

Определение

Формально диаграмма типа J в категории C является ( ковариантным ) функтором

Д  : Ж → С.

Категория J называется индексной категорией или схемой диаграммы D ; функтор иногда называется J -образной диаграммой . ^[1] Фактические объекты и морфизмы в J в значительной степени не имеют значения; важен только способ, которым они взаимосвязаны. Диаграмма D рассматривается как индексация коллекции объектов и морфизмов в C, скопированной с J .

Хотя технически нет никакой разницы между отдельной диаграммой и функтором или между схемой и категорией , изменение терминологии отражает изменение перспективы, как и в случае теории множеств: фиксируется индексная категория и допускается изменение функтора (и, во-вторых, целевой категории).

Чаще всего интерес представляет случай, когда схема J является малой или даже конечной категорией. Диаграмма называется малой или конечной всякий раз, когда J является.

Морфизм диаграмм типа J в категории C является естественным преобразованием между функторами. Тогда можно интерпретировать категорию диаграмм типа J в C как категорию функторов C ^J , и тогда диаграмма является объектом в этой категории.

Примеры

• Для любого объекта A в C имеется постоянная диаграмма , которая отображает все объекты в J в A и все морфизмы J в тождественный морфизм в A. В нотации часто используется подчеркивание для обозначения постоянной диаграммы: таким образом, для любого объекта в C имеется постоянная диаграмма . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$
• Если J — (малая) дискретная категория , то диаграмма типа J по сути является просто индексированным семейством объектов в C (индексированным J ). При использовании в построении предела результатом является произведение ; для копредела получается копроизведение . Так, например, когда J — дискретная категория с двумя объектами, результирующий предел — просто бинарное произведение.
• Если J = −1 ← 0 → +1, то диаграмма типа J ( A ← B → C ) является span , а ее копредел — pushout . Если бы кто-то «забыл», что диаграмма имела объект B и две стрелки B → A , B → C , то результирующая диаграмма была бы просто дискретной категорией с двумя объектами A и C , а копредел был бы просто бинарным копроизведением. Таким образом, этот пример показывает важный способ, которым идея диаграммы обобщает идею индексного множества в теории множеств: включая морфизмы B → A , B → C , мы обнаруживаем дополнительную структуру в конструкциях, построенных из диаграммы, структуру, которая не была бы очевидна, если бы у нас был только индексный набор без связей между объектами в индексе.
• Двойственно предыдущему, если J = −1 → 0 ← +1, то диаграмма типа J ( A → B ← C ) является коспаном , а ее пределом является обратный прогон .
• Индекс называется «два параллельных морфизма», или иногда свободный колчан или шагающий колчан . Диаграмма типа тогда является колчаном ; ее предел — уравнитель , а ее копредел — соуравнитель . ${\displaystyle J=0\rightrightarrows 1}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle (f,g\colon X\to Y)}$
• Если J — это категория частично упорядоченных множеств , то диаграмма типа J — это семейство объектов D _i вместе с уникальным морфизмом f _ij  : D _i → D _j всякий раз, когда i ≤ j . Если J направлен , то диаграмма типа J называется прямой системой объектов и морфизмов. Если диаграмма контравариантна , то она называется обратной системой .

Конусы и пределы

Конус с вершиной N диаграммы D  : J → C является морфизмом из постоянной диаграммы Δ( N ) в D. Постоянная диаграмма — это диаграмма, которая переводит каждый объект из J в объект N из C , а каждый морфизм — в тождественный морфизм на N .

Предел диаграммы D — это универсальный конус к D . То есть конус, через который все другие конусы однозначно факторизуются. Если предел существует в категории C для всех диаграмм типа J, то получается функтор

предел : C ^J → C

что доводит каждую диаграмму до ее предела.

Двойственно, копредел диаграммы D является универсальным конусом из D. Если копредел существует для всех диаграмм типа J, то имеется функтор

colim : C ^J → C

что отправляет каждую диаграмму к ее копределу.

Универсальным функтором диаграммы является диагональный функтор ; его правый сопряженный элемент является пределом, а его левый сопряженный элемент является копределом. ^[2] Конус можно рассматривать как естественное преобразование из диагонального функтора в некоторую произвольную диаграмму.

Коммутативные диаграммы

Диаграммы и категории функторов часто визуализируются с помощью коммутативных диаграмм , особенно если категория индекса является конечной категорией посетов с небольшим количеством элементов: рисуется коммутативная диаграмма с узлом для каждого объекта в категории индекса и стрелкой для порождающего множества морфизмов, опуская тождественные отображения и морфизмы, которые могут быть выражены как композиции. Коммутативность соответствует уникальности отображения между двумя объектами в категории посетов. Наоборот, каждая коммутативная диаграмма представляет диаграмму (функтор из категории индекса посетов) таким образом.

Не каждая диаграмма коммутирует, как и не каждая индексная категория является категорией частично упорядоченных множеств: проще говоря, диаграмма одного объекта с эндоморфизмом ( ) ${\displaystyle f\colon X\to X}$ или с двумя параллельными стрелками ( ; ) не обязательно коммутирует. Кроме того, диаграммы может быть невозможно нарисовать (потому что они бесконечны) или просто беспорядочно (потому что слишком много объектов или морфизмов); однако схематические коммутативные диаграммы (для подкатегорий индексной категории или с эллипсами, например, для направленной системы) используются для пояснения таких сложных диаграмм. ${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$ ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$

Смотрите также

• Диагональный функтор
• Прямая система
• Обратная система

Ссылки

1. May, JP (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Издательство Чикагского университета. стр. 16. ISBN 0-226-51183-9.
2. Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топосов . Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 20–23. ISBN 9780387977102.

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6.Теперь доступно бесплатное онлайн-издание (4,2 МБ PDF).
• Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2002). Топосы, триплеты и теории (PDF) . ISBN 0-387-96115-1.Пересмотренная и исправленная бесплатная онлайн-версия Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).
• диаграмма в n Lab

Внешние ссылки

• Погоня за диаграммами в MathWorld
• WildCats — пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , коммутативных диаграмм, категорий, функторов , естественных преобразований .