Функция Урселла

В статистической механике функция Урселла или связанная корреляционная функция — это кумулянт случайной величины . Часто ее можно получить путем суммирования по связанным диаграммам Фейнмана (сумма по всем диаграммам Фейнмана дает корреляционные функции ).

Функция Урселла была названа в честь Гарольда Урселла , который ввел ее в 1927 году.

Определение

Если X — случайная величина, то моменты s _n и кумулянты (те же, что и функции Урселла) u _n являются функциями X, связанными экспоненциальной формулой :

${\displaystyle \operatorname {E} (\exp(zX))=\sum _{n}s_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n}u_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}\right)}$

(где ожидание ) . ${\displaystyle \operatorname {E} }$

Функции Урселла для многомерных случайных величин определяются аналогично вышеизложенному и таким же образом, как многомерные кумулянты. ^[1]

${\displaystyle u_{n}\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)=\left.{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\cdots {\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\log \operatorname {E} \left(\exp \sum z_{i}X_{i}\right)\right|_{z_{i}=0}}$

Функции Урселла одной случайной величины X получаются из них, полагая X = X ₁ = … = X _n .

Первые несколько даны

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}(X_{1})={}&\operatorname {E} (X_{1})\\u_{2}(X_{1},X_{2})={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\\u_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2}X_{3})-\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3}X_{1})-\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{1}X_{2})+2\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\\u_{4}\left(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\right)={}&\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2}X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{1}X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{4})-\operatorname {E} (X_{4})\operatorname {E} (X_{1}X_{2}X_{3})\\&-\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\operatorname {E} (X_{3}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1}X_{3})\operatorname {E} (X_{2}X_{4})-\operatorname {E} (X_{1}X_{4})\operatorname {E} (X_{2}X_{3})\\&+2\operatorname {E} (X_{1}X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{4})+2\operatorname {E} (X_{1}X_{3})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{4})+2\operatorname {E} (X_{1}X_{4})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})+2\operatorname {E} (X_{2}X_{3})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{4})\\&+2\operatorname {E} (X_{2}X_{4})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{3})+2\operatorname {E} (X_{3}X_{4})\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})-6\operatorname {E} (X_{1})\operatorname {E} (X_{2})\operatorname {E} (X_{3})\operatorname {E} (X_{4})\end{aligned}}}$

Характеристика

Перкус (1975) показал, что функции Урселла, рассматриваемые как полилинейные функции нескольких случайных величин, однозначно определяются с точностью до константы тем фактом, что они обращаются в нуль всякий раз, когда переменные X _i можно разделить на два непустых независимых множества.

Смотрите также

• Кумулянт

Ссылки

1. Шлосман, СБ (1986). «Знаки функций Урселла модели Изинга». Сообщения по математической физике . 102 (4): 679–686. Bibcode :1985CMaPh.102..679S. doi :10.1007/BF01221652. S2CID  122963530.

• Глимм, Джеймс ; Джаффе, Артур (1987), Квантовая физика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96476-8, МР  0887102
• Перкус, Дж. К. (1975), «Корреляционные неравенства для спиновых решеток Изинга» (PDF) , Comm. Math. Phys. , 40 (3): 283–308, Bibcode : 1975CMaPh..40..283P, doi : 10.1007/bf01610004, MR  0378683, S2CID  120940116
• Ursell, HD (1927), «Оценка фазового интеграла Гиббса для несовершенных газов», Proc. Cambridge Philos. Soc. , 23 (6): 685–697, Bibcode : 1927PCPS...23..685U, doi : 10.1017/S0305004100011191, S2CID  123023251